സമാന്തരശ്രേണികള്‍-1

സംഖ്യാശ്രേണികള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന വിവിധ സാഹചര്യങ്ങള്‍ നല്‍കിക്കൊണ്ട് പാഠം തുടങ്ങുന്നു.കുട്ടിയുടെ സ്വതന്ത്രചിന്തകളാണ് പ്രധാനപ്പെട്ടത്.അതുകൊണ്ടുതന്നെ, എല്ലാം തുറന്നുകാട്ടുന്ന തരത്തില്‍ ഒരു അധ്യാപനരീതി നല്ലതല്ല.ജ്യാമിതീയ പാറ്റേണുകളിലും ഭൗതീക സാഹചര്യങ്ങളിലും ഒളിഞ്ഞുകിടക്കുന്ന സംഖ്യാശ്രേണികളെ കുട്ടി വെളിച്ചത്തുകൊണ്ടുവരട്ടെ. അത് മൂന്നോ നാലോ പേര്‍ ചേര്‍ന്നുള്ള പ്രവര്‍ത്തനമാകുമ്പോള്‍ സൃഷ്ടിപരമായ ചില കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഉണ്ടാകും. അവ പൊതു ചര്‍ച്ചയില്‍ ഉള്‍പ്പെടുത്താവുന്നതാണ്.ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന ശ്രേണികളില്‍ പലതും സമാന്തരശ്രേണികളായിരിക്കും.അവ ലിസ്റ്റ് ചെയ്ത് പൊതുസ്വഭാവം കണ്ടെത്താം.ഒരേ സംഖ്യ കൂട്ടുക എന്ന നിര്‍വചനം ഉപയോഗിക്കാമെങ്കിലും ശ്രേണി സമാന്തരമാണോ എന്നറിയാന്‍ അടുത്തടുത്തുള്ള പദങ്ങള്‍ കുറച്ചുനോക്കണം.അതായത് ഒരു പദത്തില്‍ നിന്നും അതിന് തൊട്ടുമുന്‍പ് എഴുതിയ പദം കുറക്കണം.അത് പൊതുവ്യത്യാസം എന്ന ആശയത്തിലേയ്ക്ക് എത്തിക്കുന്നു.സമാന്തരശ്രേണിയുടെ രണ്ടുപദങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ ഗുണിതമാണെന്നും ,പൊതുവ്യത്യാസത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്നുമൊക്കെ പറയാം.നിശ്ചിത സ്ഥാനത്തുള്ള രണ്ടു പദങ്ങള്‍ തന്നാല്‍ ശ്രേണിതന്നെ എഴുതാന്‍ പറ്റുന്നതാണ് ഇത്.

ഇനി സമാന്തരശ്രേണിയുടെ തനതായ ഒരു പ്രത്യേകത വെളിച്ചത്തുകൊണ്ടുവരാനുള്ള ശ്രമമാണ്. എണ്ണല്‍സംഖ്യകളെല്ലാം ക്രമത്തില്‍ ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യ കൂട്ടിയാണ് ഒരു സമാന്തരശ്രേണി ഉണ്ടാകുന്നത്. ബീജഗണിതത്തിലെ ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദവുമായി സമാന്തരശ്രേണി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ചിന്ത സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത്തിലേയ്ക്ക് നമ്മെ നയിക്കുന്നു. ഒരു ശ്രേണിയില്‍ പദങ്ങള്‍ എഴുതാന്‍ സ്വീകരിക്കുന്ന ക്രമമാണ് (നിയമം)അതിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം വെളിവാക്കുന്നത്. ഒരു പദത്തില്‍ നിന്നും തൊട്ടടുത്ത പദത്തിലേയ്ക്കുള്ള വളര്‍ച്ചയെ കാണിക്കുന്നതാണ് അതിന്റെ നേര്‍രൂപം. ഒരു ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങള്‍ക്ക് എണ്ണല്‍ അവയുടെ പദസ്ഥാനങ്ങളായ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുമായുള്ള ബന്ധമാണ് ശ്രേണിയുടെ തുടര്‍രൂപം.

1, 3, 5, 7 ,9... എന്ന സമാന്തരശ്രേണി പരിഗണിക്കാം. ഇതിന്റെ നേര്‍രൂപം,തുടര്‍രൂപം എന്നിവ താഴെ കാണാം
നേര്‍രൂപം x₁ = 1, x_n = x_n-1 +2, n>1
തുടര്‍രൂപം x_n = 2n-1
തുടര്‍രൂപത്തിന്റെ പ്രസക്തി ​എന്താണ്?
3,5,7 ... എന്ന ശ്രേണിയാണോ ? എന്ന് ചോദിക്കുന്നു.മൂന്നു പദങ്ങള്‍ മാത്രമേ ഇവിടെയുള്ളൂ. ശ്രേണി എഴുതിയ ആളുടെ മനസിലെ സംഖ്യാബന്ധം നമുക്കറിയില്ല. ഒരു പക്ഷേ ഒറ്റസംഖ്യകളായ അഭാജ്യസംഖ്യകളാണെങ്കിലോ? അപ്പോള്‍ അടുത്തപദം 11 ആകും. തുടര്‍രൂപം തന്നാല്‍ ഈ പ്രശ്നം ഉണ്ടാകില്ലല്ലോ? തുടര്‍രൂപം ശ്രേണിയുടെ generating source ആണെന്നുപറയാം. കുട്ടികളെ വിവിധ സംഘങ്ങളാക്കി ഓരോ സംഘത്തിലേയും ഓരോ കുട്ടിയും അഞ്ച് സമാന്തരശ്രേണികള്‍ വീതം തെരഞ്ഞെടുത്ത് അവയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതട്ടെ. ശ്രേണി ആദ്യപദം പൊതുവ്യത്യാസം, n-ാമത്തെ പദം, n ന്റെ ഗുണകം, ഗുണകങ്ങളുടെ തുക എന്നിവ എഴുതി അപഗ്രഥിച്ച് നിഗമനത്തിലെത്തട്ടെ.
n ന്റെ ഗുണകം ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസമാണ്. ഗുണകങ്ങളുടെ തുക ശ്രേണിയുടെ ആദ്യപദമാണ്. ഇവയുടെ കണ്ടെത്തലുകളില്‍ ചിലതാണ
സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ക്കും ബീജഗണിതരീതികള്‍ക്കും അമിതപ്രാധാന്യം പാഠപുസ്തകത്തിലില്ല. ഇവ തീരെ ഒഴിവാക്കിയിട്ടുമില്ല. സമാന്തരശ്രേണിയുടെ n മത്തെ പദം f+(n-1)d എന്നും dn +(f-d) എന്നും എഴുതിയിരിക്കുന്നു. അത് വളരെ സ്വാഭാവികമായി രൂപംകൊള്ളുന്നവ തന്നെയാണ്.
തുടര്‍ന്ന് 1 മുതല്‍ തുടര്‍ച്ചയായ നിശ്ചിത എണ്ണം എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ തുക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതി അവതരിപ്പിക്കുന്നു. അത് ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ക്കായി പ്രയോഗിക്കുന്നത് ഒരു പ്രശ്നമായാണ് നല്‍കിയിരിക്കുന്നത്. ഇതില്‍നിന്നുതന്നെ പദങ്ങളുടെ തുക കാണാനുള്ള രീതി കണ്ടെത്തുന്നു.

ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടര്‍ച്ചയായ കുറേ പദങ്ങളുടെ തുക ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും പദങ്ങളുടെ തുകയെ എണ്ണം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ പകുതിയാണ് എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. അവിടെ ചില ബീജഗണിത ചിന്തകളുണ്ട് . പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ തനതായ പ്രത്യേകതകളാണല്ലോ side boxകള്‍.അവ നല്ല നിലവാരമുള്ളവയും സന്ദര്‍ഭത്തിന് യോജിച്ചവയുമാണ്.
തുടരും......

സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കായി ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക