15 ഡിഗ്രിയുടെ ത്രികോണമിതി അളവുകള്‍

കോട്ടയം കാഞ്ഞിരപ്പിള്ളിയിലെ ഗവണ്‍മെന്റ് ടെക്നിക്കല്‍ ഹൈസ്ക്കൂളിലെ അധ്യാപകനായ എം.ഡി വിജയകുമാര്‍ സാറാണ് ഈ ലേഖനം തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നത്. 30°, 45°, 60°, 90° കോണുകളുടെ വില ചിത്ര സഹായത്തോടെ കണ്ടെത്താന്‍ കുട്ടികള്‍ക്കറിയാം. ഉയര്‍ന്ന നിലവാരം പുലര്‍ത്തുന്നവര്‍ക്ക് 15° കോണിന്റെ ത്രികോണമിതി വിലകള്‍ കണ്ടെത്താനുള്ള ഒരു അസൈന്‍മെന്റ് നല്‍കിയാലോ? അസൈന്‍മെന്റിനൊടുവില്‍ അവര്‍ക്കു വേണ്ടിത്തന്നെ മറ്റൊരു പ്രവര്‍ത്തനവും നല്‍കിയിട്ടുണ്ട്. ഈ അസൈന്‍മെന്റ് പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ ഉപയോഗിച്ച രീതി മനസ്സിലാക്കിക്കൊണ്ട് ഈ പ്രവര്‍ത്തനത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താമോ?

15° കോണിന്റെ ത്രികോണമിതി അളവുകള്‍ കണ്ടെത്തുന്ന വിധം.
സമപാര്‍ശ്വത്രികോണം ABC യില്‍ ∠B= 90°, BD=1 യൂണിറ്റ്, ∠BAD = 30° ആകത്തക്ക വിധത്തില്‍ BCയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് D. Dയില്‍ നിന്ന് AC യ്ക്ക് DE എന്ന ലംബം വരച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതില്‍ നിന്നും sin 15° എത്രയെന്ന് കണ്ടെത്താം.

സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണം ABC യില്‍ ∠BAC = ∠BCA = 45°
Δ ADB യുടെ കോണുകള്‍ 30°, 60°, 90° ആയതുകൊണ്ട് വശങ്ങള്‍ 1: √3 : 2 എന്ന അംശബന്ധത്തിലാണ്.
∴AB = √3, AD = 2
BC = AB ആയതിനാല്‍ BC=√3
∴ DC = BC – BD = √3 – 1

Δ DEC യിലെ ∠C= 45°, ∠DEC= 90° ആയതുകൊണ്ട് ∠CDE=45°
അതായത് CDE ഒരു സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണമാണ്.
അതിന്റെ കര്‍ണ്ണം, DC = √3-1

ΔCDE യുടെ വശങ്ങള്‍ 1:1:√2 എന്ന അംശബന്ധത്തിലായതു കൊണ്ട്
$$CE = DE =\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}$$
∠DAE = ∠BAC - ∠DAB=45°- 35°=15°

മട്ടത്രികോണം ADE യില്‍ നിന്ന്
$$sin 15° = ‌‌\frac{DE}{AD} = \frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\div 2 = \frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$$
15° കോണിന്റെ മറ്റ് ത്രികോണമിതി അളവുകള്‍ ഈ രീതിയില്‍ കണ്ടെത്താമല്ലോ?

Work corner
sin 22.5° ന്റെ വില കണ്ടെത്താമോയെന്ന് ശ്രമിച്ചു നോക്കുക. (State Syllabus ന് അനുസരിച്ചുള്ള ഉത്തരം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.)