കോസൈന്‍ നിയമം

മാത്‌സ് അധ്യാപകര്‍ക്കും ഗണിതസ്നേഹികള്‍ക്കും പിന്നെ ഗണിതതല്പരരായ കുട്ടികള്‍ക്കുമായി ജന്മംകൊണ്ട മാത്‌സ് ബ്ലോഗില്‍ ഗണിതം കുറയുന്നുവെന്ന് പരിഭവം പറഞ്ഞത് ക്ലസ്റ്ററില്‍ പങ്കെടുത്ത ചില അധ്യാപികമാരും കേരളത്തില്‍തന്നെ അറിയപ്പെടുന്ന ചില വിശിഷ്ടവ്യക്തികളുമാണ്. അത് എല്ലാ ഗൗരവത്തോടെയും കാണുന്നു. മനഃപൂര്‍വ്വമല്ല. വിഷയദാരിദ്ര്യവുമല്ല. സമയക്കുറവ് മാത്രമാണ്. ഈ കഴിഞ്ഞ ക്ലസ്റ്ററില്‍ ഒരു ചര്‍ച്ചാവിഷയം ഉണ്ടായിരുന്നു. പാഠപുസ്തകത്തില്‍ നേരിട്ട് പറയാത്ത എന്നാല്‍ പാഠഭാഗങ്ങളുമായി നേര്‍ബന്ധമുള്ള ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനം തയ്യാറാക്കുക.ക്ലസ്റ്ററില്‍ ഈ ആവശ്യം ഉയര്‍ന്നപ്പോള്‍ ആര്‍.പി അല്ലാതിരുന്ന എനിക്ക് ഒരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കേണ്ടിവന്നു. അത് ത്രികോണമിതിയില്‍നിന്നാകണമെന്ന് പറഞ്ഞപ്പോള്‍ പണ്ട് ഒരുക്കിവെച്ച ഒരു പ്രവര്‍ത്തനം മനസില്‍ ഓടിയെത്തി.
പാഠപുസ്തകത്തില്‍ എണ്‍പത്തി ആറാമത്തെ പേജില്‍ കോസൈന്‍ നിയമം കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. a , b , c ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും A , B , C അവയ്ക്കെതിരെയുള്ള കോണുകളുമായാല്‍ $a^2 = b^2 +c^2 - 2bc \cos A $എന്നതാണ് നിയമം .
‌
ചിത്രം നോക്കിയല്ലോ. നമുക്ക് പരിചയമുള്ള പല ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങളും സ്വയം വെളിവാകുന്നില്ലേ? അര്‍ദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോണ്‍ , പരസ്പരം ഖണ്ഡിക്കുന്ന PB , CD എന്നീ ഞാണുകള്‍ എന്നിങ്ങനെ. പിന്നെ ഒരു കൊച്ചുത്രികോണം കാണാം . ത്രികോണം OQB തന്നെ. വൃത്തത്തിന്റെ ആരം a ആണെന്നെടുക്കുക. കൊച്ചുത്രികോണത്തില്‍ B യുടെ എത്ിര്‍വശം b യും BQ = c യും ആകട്ടെ . OB = aആണല്ലോ?
ത്രികോണം APB യില്‍ $‌‌\cos B = \frac{PB}{AB} $ , $ PB = 2a \cos B$ . അതിനാല്‍
$ PQ = 2a \cos B - c$ആകുമല്ലോ.
ഇനി ഞാണ്‍ ഖണ്ഡന ബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം .
$PQ \times QB = QD \times QC $
QD = a-b ആണല്ലോ. അപ്പോള്‍ $(a - b) \times (a+b) = c \times (2a\cos B -c)$
$a^2 -b^2 = 2ac \cos B - c^2$
$b^2 = a^2 + c^2-2ac \cos B $

ഇനി മറ്റൊരു കാര്യം
ബ്ലോഗ് സന്ദര്‍ശകരായ അധ്യാപകരുടെ പ്രശംസ പിടിച്ചുപറ്റിയ നമ്മുടെ അര്‍ജ്ജുന്‍ എഴുതുന്നു....
സര്‍

പത്താം ക്ലാസിലെ ഫിസിക്സ് ക്വസ്റ്റ്യന്‍ ബാങ്കിന്റെ മെച്ചപ്പെടുത്തിയതും തെറ്റു തിരുത്തിയതുമായ ഉത്തരങ്ങള്‍ ഇതോടൊപ്പം അയയ്ക്കുന്നു. തെറ്റു തിരുത്താന്‍ എന്നെ സഹായിച്ച എല്ലാ സുമനസ്സുകള്‍ക്കും നന്ദി. ബ്ലോഗിലെ മാന്യ വായനക്കാരുടെ കമന്റില്‍നിന്നും കൂടുതല്‍ കാര്യങ്ങള്‍ മനസ്സിലാക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞു.

കുറെ കുട്ടികള്‍ക്കെങ്കിലും ഇതു പ്രയോജനപ്പെടുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട് ,

അര്‍ജുന്‍ വിജയന്‍
പുനലുരിലെ ക്ലസ്റ്ററില്‍ ഈ ഉത്തരങ്ങള്‍ വിശദമായി ചര്‍ച്ചചെയ്തെന്ന് നമ്മുടെ നസീര്‍ സാര്‍ അറിയിച്ചു. അവര്‍ നല്‍കിയ നിര്‍ദ്ദേശങ്ങള്‍ നസീര്‍സാര്‍ വഴി അര്‍ജുന് കിട്ടിയതായും അറിഞ്ഞു . നന്ദി .
Click here to download the corrected answers of Onam Question Bank