ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും

ഭൗതിക പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്ക് ഗണിതപരിഹാരം കാണുന്നതിന് ജ്യാമിതീയരീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് സര്‍വ്വസാധാരണമാണ്. പത്താംക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ 'ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും' ​എന്ന പാഠഭാഗത്തിന്റെ സൈഡ്ബോക്സില്‍ നിറഞ്ഞുനില്‍ക്കുന്നതും ഇതുതന്നെയാണ്. ഗണിതചിന്തകളുടെ പ്രായോഗികത നിറഞ്ഞുനില്‍ക്കുന്ന ഭൗതികശാസ്ത്രം രസതന്ത്രം എന്നിവയുടെ പഠനത്തിലും ആസ്വാദനത്തിലും ചിട്ടയായ ഗണിതപഠനം അനിവാര്യമത്രേ. ചലനസമവാക്യങ്ങള്‍ ജ്യാമിതീയമായി തെളിയിക്കുകയും ഒപ്പം ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും എന്ന പാഠഭാഗത്തുനിന്ന് പരിശീലനചോദ്യങ്ങള്‍ നല്‍കുകയുമാണ് ഈ പോസ്റ്റിന്റെ ലക്ഷ്യം. പോസ്റ്റിനൊടുവില്‍ പരിശീലനചോദ്യങ്ങളുടെ പി.ഡി.എഫ് ഫയല്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ട്.

x സൂചകാക്ഷത്തില്‍ സമയവും y സൂചകാക്ഷത്തില്‍ പ്രവേഗവും(velocity) എടുത്തുകൊണ്ടാണ് പ്രവേഗ-സമയ ഗ്രാഫ് (velocity-time graph)വരക്കുന്നത് . പ്രവേഗസമയ ഗ്രാഫിന്റെ ചരിവ് ത്വരണമായിരിക്കും(acceleration). $t_1$ സമയത്തിലെ പ്രവേഗം $v_1$ , $t_2$ സമയത്തിലെ പ്രവേഗം $v_2$ആയാല്‍ $\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$എന്നത് ത്വരണമാണ്. നേര്‍രേഖയില്‍ സമാനത്വരണത്തോടെ(uniform acceleration) സഞ്ചരിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ ചലനം പരിഗണിച്ചുകൊണ്ട് വരക്കുന്ന v-t ഗ്രാഫ് ഒരു നേര്‍രേഖയായിരിക്കും. x അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായ നേര്‍രേഖയുടെ പ്രസക്തി അതിന്റെ ചരിവ് (slope)പൂജ്യമാണെന്നതാണ് . അതായത് ത്വരണം പൂജ്യമായ ചലനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ്. കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാല്‍ ഇത് സമാനചലനത്തിന്റെ പ്രവേഗ-സമയ ഗ്രാഫാണ്.

ഇനി താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫ് നോക്കാം. ഇവിടെ AB എന്ന വര സമാനത്വരണത്തോടെ ചലിക്കുന്ന വസ്തുവിന്റെ V-T ഗ്രാഫാണ് .ഈ വര സമയ അക്ഷവുമായി(axis) ചേര്‍ന്നുണ്ടാക്കുന്ന ഒരു ലംബകം (trapezium)കാണാം. ഈ ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവാണ്(area) വസ്തു സഞ്ചരിച്ച ദൂരം അഥവാ സ്ഥാനാന്തരം (distance or displacement). ഈ പരപ്പളവ് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. ചില ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകള്‍(coordinates) എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്ന AB എന്ന വര ആദ്യപ്രവേഗം(initial velocity) u , ത്വരണം a ആയ ചലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫാണ് . ഈ വര സമയ അക്ഷവുമായി രൂപീകരിക്കുന്ന ഭാഗത്തിന്റെ പരപ്പളവ് വസ്തു സഞ്ചരിച്ച ദൂരമാണ് . ഈ പരപ്പളവ് ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കാണുന്ന രീതിയില്‍ കണ്ടെത്തിയാല്‍ നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ചലനസമവാക്യമായിരിക്കും (equation of mation)കിട്ടുന്നത് .
ലംബകം OABD യുടെ പരപ്പളവ് = $\frac{1}{2} h (a+b)$
ലംബകം OABD യുടെ പരപ്പളവ് = $\frac{1}{2} h (a+b)$
$\frac{1}{2} \times OD \times (OA+BD)$
$\frac{1}{2} \times t \times (u+v)$
$\frac{1}{2} \times t \times (u+u+at)$
$\frac{1}{2} \times t \times (2u+at)$
$ut+\frac{1}{2} a t^2$
ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും ഒത്തുചേര്‍ന്ന് രണ്ടാം ചലനസമവാക്യം രുപീകരിച്ചിരിക്കുന്നതാണ് ഇത് . ഇപ്രകാരം മൂന്നാമത്തെ ചലനസമവാക്യം ജ്യാമിതീയമായി തെഴിയിക്കാന്‍ പറ്റുമോയെന്ന് നോക്കുക. മൂന്നാമത്തെ ചലനസമവാക്യം ഒന്‍പതാംക്ലാസില്‍ പഠിച്ചിട്ടുണ്ടല്ലോ. $v^2=u^2+2as$എന്നതാണ് സമവാക്യം

ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും: പരിശീലനചോദ്യങ്ങള്‍"
ചലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ ലേഖനം

കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ തയ്യാറാക്കിയ പുതിയ ചോദ്യങ്ങള്‍