എണ്ണലിന്റെ ഗണിതകൗതുകങ്ങള്‍

എണ്ണലിന്റെ ഗണിതകൗതുകത്തെക്കുറിച്ചാണ് ഈ കുറിപ്പ് .ഒരു കുട്ടി ആദ്യമായി അഭ്യസിക്കുന്ന ഗണിതപാഠം എണ്ണലാണെന്നുപറയാം.എണ്ണല്‍ ഒരു ഗണിതരീതിയായി വളന്ന് നൂതനമായ ചിന്തകളിലേയ്ക്ക് വ്യാപിക്കുന്ന രസകരമായകാഴ്ച ആസ്വാദ്യകരമാണ് . ചില മാതൃകകള്‍ കാണാം . നേര്‍വരകള്‍ ഒരു പരന്നപ്രതലത്തെ ഭാഗിക്കുന്ന കാഴ്ചതന്നെയാവട്ടെ.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം കാണുക. ധാരാളം നേര്‍വരകളുണ്ട് ഇവിടെ . രണ്ടില്‍കൂടുതല്‍ നേര്‍വരകള്‍ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുകയോ , ഒരു വര മറ്റോരുവരയ്ക്ക് സമാന്തരമാകുയോ ചെയ്യരുത് . ആദ്യചിത്രത്തില്‍ ഒരു വര പ്രതലത്തെ രണ്ടായി മുറിച്ചിരിക്കുന്നു.

രണ്ടുവരകള്‍ പ്രതലത്തെ നാലായി മുറിക്കുന്നു. അതുപോലെ മൂന്നുവരകള്‍ പ്രതലത്തെ ആറ് ഭാഗങ്ങളായും നാല് വരകള്‍ പ്രതലത്തെ പതിനൊന്ന് ഭാഗങ്ങളായും മുറിച്ചിരിക്കുന്നതുകാണാം

ഇതില്‍ നിന്നും രൂപീകരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യാശ്രേണിയുണ്ട് . താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടികയിലെ രണ്ടാംവരി സംഖ്യാശ്രേണിയാണ് . ഈ ശ്രേണിയുടെ ബിജഗണിതരൂപത്തെക്കുറിച്ച് ആലോചിച്ചുനോക്കൂ. പത്താംക്ലാസ് കുട്ടികള്‍ക്ക് നല്‍കാവുന്ന ഒരു അധികപ്രവര്‍ത്തനം തന്നെയല്ലേ ഇത്? ജനറല്‍ചാര്‍ട്ട് വിഭാഗത്തില്‍ ഇത് പ്രദര്‍ശിപ്പിക്കാമല്ലോ. ചാര്‍ട്ട് പേപ്പറില്‍ വരച്ച് വിവിധഭാഗങ്ങള്‍ നിറം നല്‍കിനോക്കിയാല്‍ നല്ലൊരു ചാര്‍ട്ടാകുമെന്ന് തീര്‍ച്ചയാണ് .

ഇനി വിശകലനപ്പട്ടിക കാണാം

ഇനി ശ്രേണിയുടെ നേര്‍രൂപം ​എഴുതാമല്ലോ? $T_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$ എണ്ണലിന്റെ മറ്റൊരു പാറ്റേണ്‍ കാണാം. ഇത് വൃത്തവും ഞാണുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് . വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ഞാണ്‍ വരച്ചപ്പോള്‍ വൃത്തം രണ്ടായി മുറിഞ്ഞു. മൂന്നു ബിന്ദുക്കള്‍ പരസ്പരം യോജിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് വൃത്തത്തെ നാല് ഭാഗങ്ങളാക്കാം.

നാലുബിന്ദുക്കളും അഞ്ചുബിന്ദുക്കളുമൊക്കെ അടയാളപ്പെടുത്തി ഇപ്രകാരം ചെയ്താലോ? നാലു ബിന്ദുക്കള്‍ യോജിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ 8 ഭാഗങ്ങളും അഞ്ചെണ്ണം യോജിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ 16 ഭാഗങ്ങളും കിട്ടും . ആറെണ്ണം യോജിപ്പിച്ചാലോ? 32 എണ്ണമല്ല കിട്ടുന്നത് മറിച്ച് 31 എണ്ണമേ കിട്ടുകയുള്ളൂ. $2, 4, 8,16,---$ എന്ന ശ്രേണിയിലെ അടുത്തപദമായ 32 അല്ല എന്ന് ചിത്രംവരച്ച് ബോധ്യപ്പെടാവുന്നതാണ് . 32 ആയിരുന്നെങ്കില്‍ നേര്‍രൂപം $ 2^{n-1}$ എന്ന് എഴുതാമായിരുന്നു. $\frac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}$എന്നതല്ലേ നേര്‍രൂപം . ഇതിന്റെ തെളിവ് കമന്റായി വരുമെന്ന് ഉറപ്പുണ്ട് . എണ്ണലിന്റെ ഗണിതവിസ്മയം മറ്റൊരു പോസ്റ്റില്‍ ശ്രാവണിടീച്ചര്‍ കുട്ടികള്‍ക്ക് കൊടുത്ത പ്രോജക്ടായി മുന്‍പൊരിക്കല്‍ നല്‍കിയത് ഓര്‍ക്കുന്നുണ്ടല്ലോ. ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ഇനിയുമുണ്ട് എണ്ണലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ധാരാളം ഗണിതകൗതുകങ്ങള്‍.ഒരു ചെസ്ബോഡില്‍ ചെറുതുംവലുതുമായി ആകെ എത്ര സമചതുരങ്ങള്‍ ഉണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ടോ?

തിരശ്ചീനമായി 8 ചെറിയ സമചതുരങ്ങളും ലംബമായി 8 ചെറിയകളങ്ങളും ഉണ്ടാകും . ഇത്തരം $8^2$സമചതുരങ്ങളുണ്ടാകും . ഇത്തരം സമചതുരങ്ങളെ $1\times1$ സമചതുരങ്ങള്‍ എന്നുവിളിക്കാം. രണ്ടെണ്ണം വലത്തേയ്ക്കും രണ്ടെണ്ണം വീതം താഴേയ്ക്കും എടുക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളെ $2\times2$ സമചതുരങ്ങളെന്നുപറയാം .ഇങ്ങനെ തുടര്‍ന്നും പേരുനല്‍കാം. ആകെ സമചതുരങ്ങളുടെ ​എണ്ണം $8^2+7^2+6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\=\frac{8\times9\times 17}{6}=204$ ഇത് ക്വിസ് മല്‍സരങ്ങളുടെ കാലം . എണ്ണല്‍ക്രീയയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ തരുന്നു . ഉത്തരം കണ്ടെത്താനും കമന്റ്ചെയ്യാനും കുട്ടികളെ തയ്യാറാക്കുമല്ലോ.

1. What is the digit in the ones place of $2^{50}$?
2. The sequence of natural numbers up to 100 is $1,2,3,4 \cdots 100$ . Divide each of the numbers by 3 and add the remainders . What is the sum of the remainders?
3. $1^2,2^2,3^2 \cdots 100^2$. Divide each of the number by 3 and add the remainders . What is the sum of the remainders?
4. What is the 2005 th term of the sequence $1,23,456,78910,\cdots$
5. Consider the following sequence . $\frac{2}{1},\frac{5}{2},\frac{10}{3},\frac{17}{4} ,\frac{26}{5}\cdots$.What is the $100^{th}$ term?
6. The sequence of natural numbers are grouped as follows. $(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10) \cdots $The $n^{th}$ group of this sequence has n natural numbers. In which group the natural number 100 lie?
7. $S_n=1-2+3-4+ 5-6 \cdots up to n terms$. What is the value of $S_{2004}+S_{2005}+S_{2006}$
8. What is the sum of the remainders obtained by dividing each of the first 20triangular numbers by 3 ?
9.  What is the 25 th term of $12,21, 112, 121, 211, 1112, 1121, 1211, 2111, 11112 \cdots $ ?
10. What is th product of 2005 terms of the sequence $1, (1-\frac{1}{2}), (1-\frac{1}{3}) , (1-\frac{1}{4}) \cdots $?