സമാന്തരശ്രേണി: ഈ ചോദ്യം കുഴക്കുമോ?

മാത്‍സ് ബ്ലോഗിലൂടെ കേരളം കണ്ട മിടുക്കരായ ഗണിതാധ്യാപകരില്‍ ഒരാളാണ് മുരളീധരന്‍ മാഷ്. മാത്‍സ് ബ്ലോഗിന്റെ ആരംഭ ദശയില്‍ ഏതൊരു ഗണിതപ്രശ്നം ചര്‍ച്ചയ്ക്കെടുത്താലും അതിന് ആദ്യം ഉത്തരമെഴുതുക അദ്ദേഹമായിരിക്കും. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അസാമാന്യമായ പാടവം കൊണ്ടു തന്നെ അദ്ദേഹത്തെ മാത്‍സ് ബ്ലോഗ് ടീമിലേക്ക് ഉള്‍പ്പെടുത്തുകയായിരുന്നു. വ്യത്യസ്തമായ ചിന്തയില്‍ അഗ്രഗണനീയനായതു കൊണ്ടു തന്നെ അദ്ദേഹം അയച്ചു തന്ന ചോദ്യം സസന്തോഷം മാത്സ് ബ്ലോഗില്‍ ചര്‍ച്ചയ്കിടുന്നു. അതോടൊപ്പം വിപിന്‍ മഹാത്മ തയ്യാറാക്കി അയച്ചു തന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ മനോഹരമായൊരു വര്‍ക്ക് ഷീറ്റ് താഴെ നല്‍കിയിട്ടുണ്ട്. കൂടാതെ ഇതേ അധ്യായവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അങ്ങാടിപ്പുറം ദേവന്‍സ് മെമ്മോറിയല്‍ ഇന്‍സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിലെ അധ്യാപകനായ അരുണ്‍ബാബു സാര്‍ തയ്യാറാക്കിത്തന്ന മലയാളം, ഇംഗ്ലീഷ് മീഡിയങ്ങളിലേക്കു വേണ്ട സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ചോദ്യങ്ങളും കാണാം. ചുവടെ നിന്നവ ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്തെടുക്കാം. നോക്കുമല്ലോ. മുരളി സാര്‍ ഉന്നയിച്ച പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാന്‍ എത്ര പേര്‍ക്കു കഴിയുമെന്നറിയാന്‍ കാത്തിരിക്കുന്നു.

പത്താം ക്ലാസിലെ ടെക്സ്റ്റിലെ അവസാന പ്രശ്നം അവതരിപ്പിക്കുകയാണ് നമ്മുടെ കണക്കു ടീച്ചര്‍. പ്രശ്നം ഇതാണ്. "ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ഒന്നാം പദവും രണ്ടാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 2:3 ആണ്. എങ്കില്‍ ആ ശ്രേണിയിലെ മൂന്നാം പദവും അഞ്ചാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എത്രയായിരിക്കും?"
പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം 2:3 എന്ന് എല്ലാവര്‍ക്കും ബോധ്യമായി. ഇതേ അംശബന്ധം വരുന്ന മറ്റുപദങ്ങള്‍ ഈ ശ്രേണിയില്‍ ഉണ്ടാകുമോ എന്ന് ടീച്ചര്‍ ചോദിച്ചു. മറുപടി കിട്ടാതിരുന്നപ്പോള്‍ ടീച്ചര്‍ പറഞ്ഞു. അഞ്ചാം പദവും എട്ടാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം കണ്ടു നോക്കൂ. അതും 2:3 എന്നു തന്നെ ഉത്തരം കിട്ടി.
7-ം പദവും 11-ം പദവും തമ്മിലുള്ളതോ? അതും 2:3 തന്നെ. ഇവയെല്ലാം ടീച്ചര്‍ പട്ടികപ്പെടുത്തി.
$x_1:x_2 = 2:3$
$x_3:x_5 = 2:3$
$x_5:x_8 = 2:3$
$x_7:x_{11}= 2:3$

പദങ്ങളുടെ പ്രത്യേകത കുട്ടികള്‍ക്ക് ബോധ്യപ്പെടുത്തിയതിനു ശേഷം ടീച്ചര്‍ ഇതിനെ സാമാന്യവല്ക്കരിച്ചു.
$x_1, x_2, x_3\cdots$ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയില്‍
$x_m:x_n = p:q$ ആണെങ്കില്‍ $x_{m+p}:x_{n+q} = p:q$ തന്നെ ആയിരിക്കും.
ഏതു സമാന്തരശ്രേണിയിലും ഇത് ശരിയായിരിക്കുമോ? ശരത്തിന് ഒരു സംശയം.
നമുക്ക് നോക്കാം എന്ന് ടീച്ചര്‍ പറഞ്ഞു.
$x_m:x_n = p:q $ആണെങ്കില്‍
$x_m = pk$ എന്നും $x_n=qk$ എന്നും എടുക്കാമല്ലോ.
അതിനാല്‍ $x_{m+p}\times$ പൊതുവ്യത്യാസം $= pk+pd = p(k+d)$
ഇതുപോലെ
$x_n+q= xn+q \times$ പൊതുവ്യത്യാസം $= qk+qd = q(k+d)$
അതിനാല്‍ $x_m+p:x_n+q= p:q$ തന്നെ ആകുമല്ലോ.
ഇനി നിങ്ങള്‍ ഒരു സമാന്തരശ്രേണി എഴുതി ഇത് ശരിയാകുമോ എന്ന് പരിശോധിച്ചു നോക്കൂ. അതായത് ഇഷ്ടമുള്ള 2 പദങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എടുക്കുക. ഇത് മുകളില്‍ കാണിച്ചതു പോലുള്ള പദങ്ങള്‍ക്ക് ശരിയാകുമോ എന്നു നോക്കൂ.

കുറച്ചു സമയത്തിനു ശേഷം ശരത് എഴുന്നേറ്റു. ഞാന്‍ എടുത്ത ശ്രേണിയില്‍ ഇത് ശരിയാകുന്നില്ലല്ലോ ടീച്ചര്‍?
ചെയ്തതെവിടെയങ്കിലും തെറ്റിയിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. അല്ലെങ്കില്‍ എടുത്തത് സമാന്തരശ്രേണി ആയിരിക്കില്ല. എന്നായി ടീച്ചര്‍.
എന്റെ ശ്രേണിയിലെ മൂന്നാം പദവും എട്ടാം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $7:2$ ആണ്. അങ്ങിനെയാണെങ്കില്‍ പത്താം പദവും പപത്താം പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം $7:2$ ആയിരിക്കേണ്ടേ? അതു ശരിയല്ലല്ലോ. ഒരു പദം അതിനോടു തന്നെയുള്ള അംശബന്ധം $1:1$ അല്ലേ.
ടീച്ചര്‍ പെട്ടന്ന് അന്തം വിട്ടു. എല്ലാ സമാന്തരശ്രേണിക്കും ഇത് ശരിയാകുമെന്ന് നേരത്തേ കണ്ടെത്തിയതാണല്ലോ. ശരത്ത് എടുത്തിരിക്കുന്നത് സമാന്തരശ്രേണി തന്നെയല്ലേ എന്ന് ടീച്ചര്‍ പരിശോധിച്ചു. ശരി തന്നെ. പിന്നെന്തേ ഇങ്ങനെ വരാന്‍?

കണക്കില്‍ മിടുക്കിയായ ഹിത അപ്പോള്‍ ഇടപെട്ടു. $14:4$ ഉം $7:2$ ഉം തന്നെയാണല്ലോ. അതു കൊണ്ട് $7:2$ നു പകരം $14:4$ എന്നെടുത്താല്‍ പോരേ?

അപ്പോഴും ടീച്ചറുടെ ചിന്ത പത്താം പദത്തിലായിരുന്നു. ഈ പദത്തിന് എന്തു കൊണ്ടിതു ശരിയാകുന്നില്ല എന്ന് ടീച്ചറുടെ മനസ്സില്‍ ചോദ്യം പ്രകമ്പനം കൊണ്ടിരുന്നു. അപ്പോഴേക്കും ബെല്ലടിച്ചു. ഈ പത്താം പദത്തിനെന്താ കൊമ്പുണ്ടോ? അവനെ കണ്ടെത്തിയിട്ടു തന്നെ ബാക്കി കാര്യം എന്നു പിറുപിറുത്തു കൊണ്ട് ടീച്ചര്‍ സ്റ്റാഫ് റൂമിലേക്ക് നീങ്ങി. ആരായിരിക്കും ഈ പത്താം പദം? ഉത്തരം കണ്ടെത്തി കമന്റ് ചെയ്യുമല്ലോ. അഭിപ്രായങ്ങള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

Click here for download the work sheet from Arithmetic Progression
Prepared By Vipinkumar, Mahatma

Click here to download Questions from Arithmetic Progression
Malayalam Medium | English Medium
Prepared By Arunbabu. R, Devans memorial Institute, Angadippuram