പൈതഗോറസ് തത്വം : തെളിവുകള്‍

ഒന്‍പതാംക്ലാസിലെ സദൃശത്രികോണങ്ങളെന്ന (Similar Triangles) പാഠഭാഗത്തെക്കുറിച്ച് ശാക്തീകരണ മൊഡ്യൂളില്‍ പരാമര്‍ശിക്കുന്നുണ്ട്. സദൃശത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതയുപയോഗിച്ച് പൈതഗൊറസ് തത്വം തെളിയിക്കാന്‍ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. പൈതഗൊറസ് തത്വത്തിന്റെ വിവിധതരം തെളിവുകള്‍ അമ്പേഷിക്കാന്‍ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. സെപ്റ്റംബര്‍ 25 ന് നടക്കുന്ന ശാക്തീകരണ പരിപാടിയുടെ ഭാഗമായി വരുന്ന ഒരു ചര്‍ച്ചയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഈ പോസ്റ്റ് കുറെയെങ്കിലും അധ്യാപകര്‍ക്ക് സഹായകമാകുമെന്ന് പ്രത്യാശിക്കുന്നു. പോസ്റ്റിലേക്ക്.


ABC ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്. AB എന്ന കര്‍ണ്ണത്തെ വശമാക്കി AEDB എന്ന സമചതുരം വരച്ചിരിക്കുന്നു. BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി Aയിലൂടെയും, Dയിലൂടെയും വരച്ചിരിക്കുന്നു. അതുപോലെ ACക്ക് സമാന്തരമായി Bയിലൂടെയും Eയിലൂടെയും വരച്ചിരിക്കുന്നു. നടുക്ക് ഒരു സമചതുരം ഉണ്ടാകും. അത് യുക്തിപരമായി തെളിയിക്കാനും പറ്റുമല്ലോ. അതിനു ചുറ്റുമായി നാലു മട്ടത്രികോണങ്ങള്‍ കാണാം.അവ സര്‍വ്വസമങ്ങള്‍ തന്നെ. കര്‍ണ്ണം cയും മറ്റുവശങ്ങള്‍ a,bവീതമാണ്. ഇവ മുറിച്ചെടുത്ത് ചേര്‍ത്തുവെച്ചാല്‍ ഒരു ചതുരവും ബാക്കി നടുവിലുള്ള സമചതുരവും കിട്ടും.

ഇവയുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുക ABDE യുടെ പരപ്പളവായിരിക്കുമല്ലോ.
(b – a)² + 2ab = c²
ഇത് b² + a² = c² എന്ന് എഴുതാം. ഇങ്ങനെ പൈതഗോറസ് തത്വം തെളിയിക്കാമല്ലോ.
ഇനി മറ്റൊരു തെളിവു നോക്കാം.


ABCD ഒരു സമചതുരമാണ്.അതിന്റെ വശങ്ങളില്‍ AP = BQ =CR = DS എന്ന തരത്തില്‍ P, Q , R , S എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തുക. അവ ക്രമത്തില്‍ യോജിപ്പിക്കാമല്ലോ.അപ്പോള്‍ മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം കിട്ടും.PQRS എന്നത് ഒരു സമചതുരമാണ്
DR = CQ = BP = AS = b ​എന്നും AP = BQ = CR = DS എന്നും , PQRS ന്റെ വശം c എന്നുമെടുക്കുക. സര്‍വ്വസമങ്ങളായ നാലു മട്ടത്രികോണങ്ങളും സമചതുരവും ചേര്‍ത്താല്‍ വലിയസമചതുരം കിട്ടുമല്ലോ.




2ab + c² = (a+b)²
ഇതില്‍ നിന്നും a² + b² = c² എന്നു കിട്ടുമല്ലോ.

ഇനി മറ്റൊരു തെളിവുനോക്കാം

സമാന്തര വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ തുക സമാന്തരവശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അകലമാകത്തക്ക വിധത്തില്‍ ഒരു ലംബകം വരക്കാം .


BC = AP , AD = PB ആകും വിധം P അടയാളപ്പെടുത്തുക.
ത്രികോണം APD , ത്രികോണം BPC എന്നിവ മട്ടത്രികോണങ്ങളാണ്.അവ സര്‍വ്വസമങ്ങളുമാണ്.
ത്രികോണം DPC സമപാര്‍ശ്വമട്ടത്രികോണവുമാണ്. അതിന്റെ കര്‍ണ്ണമല്ലാത്ത തുല്യവശങ്ങള്‍ c വീതം
ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവിനെ മൂന്നു ത്രികോണങ്ങളുടെ തുകയായെഴുതി തത്വം തെളിയിക്കാം.ശ്രമിക്കുമല്ലോ?
ഇരുപത്തിയഞ്ചാം തിയതി നടക്കുന്ന രണ്ടാംദിവസപരിശീലനത്തില്‍ ,സദ്യശത്രികോണങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുമ്പോള്‍ ഈ തെളിവുകള്‍ കൂടി പരിഗണിക്കാം.
ഇതൊരു ലാബ് പ്രവര്‍ത്തനമായി വികസിപ്പിച്ചെടുക്കാവുന്നതാണ്.പിന്നെ നല്ലൊരു വര്‍ക്കിങ്ങ് മോഡലാണ്.