#39 Math Models

കേരളീയ പുഷ്പങ്ങള്‍ ടക്സ് പെയിന്റില്‍

എറണാകുളം ജില്ലയിലെ, തൃപ്പൂണിത്തുറയ്ക്കടുത്തുള്ള ഇരുമ്പനം ഹൈസ്കൂളിലെ അധ്യാപകരായ എം.ആര്‍. സനല്‍കുമാറും, തോമസ് യോയാക്ക് സാറും ഐ.ടി. യില്‍, പ്രത്യേകിച്ച് സ്വതന്ത്ര സോഫ്റ്റ്​വെയറില്‍ അവഗാഹമുള്ള ഞങ്ങളുടെ സുഹൃത്തുക്കളാണ്. വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു മുമ്പ്, സമ്പൂര്‍ണ്ണമായും മലയാളത്തില്‍ ഒരു മികച്ച വെബ്​സൈറ്റ് തയ്യാറാക്കുക മാത്രമല്ല, കൃത്യമായി അത് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്ത് കൊണ്ടുപോകുകയും ചെയ്യുന്നതിലൂടെ അഭിനന്ദനാര്‍ഹമായ മികവുകാണിക്കുന്ന ഈ സ്കൂളില്‍ (സ്കൂളിന്റെ വെബ്​സൈറ്റിന്റെ ലിങ്ക് നമ്മുടെ "Links" പേജിലുണ്ട്.) സംസ്ഥാനത്ത് ഒരു പക്ഷേ ആദ്യമായി ഒരു ഫ്രീ സോഫ്റ്റ്​വെയര്‍ ഗ്രൂപ്പ് കുട്ടികളുടെ നേതൃത്വത്തില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുണ്ട്. ഇതിനെല്ലാം നേതൃത്വം കൊടുക്കുന്ന ഈ അധ്യാപകരുടെ മികവ് വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടോയെന്ന് സംശയമാണ്. കേരളത്തില്‍ കാണപ്പെടുന്ന നാടന്‍ പൂവുകളുടെ ഒരു ശേഖരം അവര്‍ നമുക്കായി സമ്മാനിക്കുകയാണിവിടെ. സ്കൂള്‍ ഗ്നൂ ലിനക്സില്‍ ഉള്‍പ്പെട്ട, കുട്ടികള്‍ക്ക് വളരെ താത്പര്യമുള്ള ഒരു പെയിന്റ് സോഫ്റ്റ്​വെയറായ ടക്സ് പെയിന്റിലാണ് ഇവര്‍ സമ്മാനിക്കുന്ന ഈ ചിത്രങ്ങള്‍ വിടര്‍ന്നു വരുന്നത്. ഇനി, അവരുടെ വാക്കുകളിലേക്ക്.....

#38 Web Maths

പരീക്ഷകളോ, പരീക്ഷണങ്ങളോ..?

"നമ്മുടെ പരീക്ഷകളും മറ്റും ശാസ്ത്രീയമാണോ?എല്ലാ കുട്ടികള്‍ക്കും (5ലക്ഷം!)ഒരേ സമയം. ഇന്നു മലയാളം, നാളെ ഇംഗ്ലീഷ്…അങ്ങനെ. കുട്ടിയെ വ്യക്തിയായല്ല, വ്യഷ്ടിയായാണ് പരിഗണന. ആണ്‍കുട്ടിയേയും പെണ്‍കുട്ടിയേയും ഒന്നിച്ചാണ് പരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നത്. വയറുവേദനക്കാരിയേയും കയ്യൊടിഞ്ഞവനേയുമൊക്കെ ഒന്നിച്ചിരുത്തി പരീക്ഷിക്കും. പഠനവേഗത കൂടിയവരേയും കുറഞ്ഞവരേയും ഒന്നിച്ചു പരിഗണിക്കുന്നു. രോഗിയേയും ആരോഗ്യമുള്ളവനേയും ഒക്കെ ഒരുപോലെ കാണുന്നു. 10 മുതല്‍ 12 വരെ പരീക്ഷ. പരീക്ഷാസമയം കഴിഞ്ഞാല്‍ പിന്നെ ഒരു രക്ഷയുമില്ല. ഒരു പരിഗണനയും ആര്‍ക്കും ഇല്ല. ഒരിക്കല്‍ തോറ്റാല്‍ തോറ്റതു തന്നെ! പിന്നെ ജയിച്ചിട്ടും വലിയ കാര്യമില്ലല്ലോ. കുട്ടി വ്യക്തിയാണ്. പഠിക്കുന്നതും എഴുതുന്നതും ജയിക്കുന്നതും സന്തോഷിക്കുന്നതും ജോലിചെയ്യുന്നതും കടം വീട്ടുന്നതും ഒക്കെ വ്യക്തിയാണ്. ഈ പരിഗണന പരീക്ഷക്കുമാത്രം ഇല്ലെന്നരാണാവോ നിശ്ചയിച്ചത്?"
ചോദ്യം നമ്മുടെ രാമനുണ്ണിമാഷുടേതാണ്. ഏറെ ചര്‍ച്ചചെയ്യപ്പെടേണ്ടതുണ്ടെന്നു ഞങ്ങള്‍ക്കു തോന്നുന്ന ഈ വിഷയമാകട്ടെ ഈ ഞായറാഴ്ച. ഇപ്പോഴത്തെ പരീക്ഷാ സമ്പ്രദായത്തെ വിലയിരുത്തുന്ന അദ്ദേഹത്തിന്റെ ലേഖനം മുഴുവന്‍ വായിച്ച ശേഷം കമന്റ്സില്‍ ക്ലിക്ക് ചെയ്ത് പ്രതികരിച്ചോളൂ.........


ചര്‍ച്ച 1

സംഭവം:

ഒരു ദിവസം ഹെഡ്​മാസ്റ്റര്‍ ടീച്ചറെ വിളിച്ചു പറഞ്ഞു:
"ടീച്ചര്‍, ഇന്നലെ നടന്ന പി.ടി.എ യോഗത്തിന്റെ ഒരു വാര്‍ത്ത പത്രത്തില്‍ കൊടുക്കണം. നല്ലൊരു റിപ്പോര്‍ട്ട് ഉണ്ടാക്കൂ."
"അയ്യോ, ഞാനായാല്‍ ശരിയാവില്ല, മധുമാഷ് പോരേ?"
"ആയിക്കൊട്ടെ , മാഷേം കൂട്ടി എഴുതിക്കോളൂ."
"നാളേക്ക് പോരെ?"
"മതി മതി."
മനസ്സില്ലാ മനസോടെ ടീച്ചര്‍ പോയി
റിപ്പോര്‍ട്ട് എഴുതി ഒരു നാലുപേരേ കാണിച്ചു. ശരിയായില്ലേ? മാറ്റിയെഴുതി. കൊടുത്തു.
പരീക്ഷക്ക് കുട്ടികള്‍ക്ക് ഭാഷാവിഷയങ്ങളില്‍ ഉണ്ടാവുന്ന ഒരു സ്ഥിരം ചോദ്യം ഇതാണല്ലോ. പത്രവാര്‍ത്ത തയ്യാറാക്കുക. നോട്ടീസ് തയ്യാറാക്കുക. ഉപന്യാസം തയ്യാറാക്കുക. ആസ്വാദനം തയ്യാറാക്കുക. കിട്ടുന്ന സമയമോ 10 മിനുട്ട് മാത്രവും! എന്നാല്‍ വാല്യുവേഷന്‍ സമയത്തോ? ഏറ്റവും മികച്ചതിന്നു മുഴുവന്‍ സ്കോറും. നല്ലതല്ലെങ്കില്‍ വെട്ടിക്കളയും. സ്കോര്‍ കുറയും.
ഇതു നാം ചര്‍ച്ചചെയ്യേണ്ട സംഗതിയല്ലേ? അധ്യാപിക/പകനുപോലും സ്വയം ചെയ്യാന്‍ സമയം ഏറെ വേണ്ട, എന്നിട്ടും ആത്മവിശ്വാസമില്ലാത്ത, ഒരു ഭാഷാപ്രവര്‍ത്തനം കുട്ടി നിശ്ചിതസമയത്തിന്നുള്ളില്‍ തീര്‍ക്കേണ്ടിവരുന്നു. മന:പ്പാഠം പഠിച്ചെഴുതാവുന്ന ഒന്നല്ലിത്. എഴുതിയത് ഒന്നുകൂടി പരിശോധിക്കാനോ, അടുത്തിരിക്കുന്നവരോട് ഒന്നു ചോദിക്കാനോ, മികവ് പരിശോധിക്കാനോ ഒന്നും കഴിയാത്ത അവസ്ഥ. എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും അസ്സല്‍ ആയി പരിശോധകന്‍ പരിഗണിക്കുന്നു. ശരിക്കാലോചിച്ചാല്‍ ഇതെല്ലാം ഡ്രാഫ്ടുകള്‍ മാത്രമല്ലേ?

(ടാഗോറിന്റെ കൈപ്പട / നെറ്റില്‍ നിന്നെടുത്തത്)

ഒരു ഉത്തരം നിറയെ വെട്ടുകളും തിരുത്തുകളും ഉള്ളതാണെങ്കില്‍ നാം സ്കോര്‍ കുറയ്ക്കുമോ, കൂട്ടുമോ? വെട്ടുകളും തിരുത്തുകളും രചന മികച്ചതാക്കാനുള്ളതല്ലേ? മികച്ചതാക്കുന്ന പ്രവര്‍ത്തനത്തില്‍ സംഭവിക്കുന്ന തിരുത്തുകള്‍, കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ എല്ലാം കുട്ടിയുടെ സ്കോര്‍ കുറയ്ക്കുന്നു എന്നാണനുഭവം . അതായത് കുട്ടിയുടെ രചന അതിന്റെ പൂര്‍ണ്ണരൂപത്തിലെന്ന് തന്നെ പരിഗണിച്ചാണ് മൂല്യനിര്‍ണ്ണയം നടത്തുന്നത്.

ചര്‍ച്ച 2

സംഭവം:

കുഞ്ഞിരാമന്‍ (60 വയസ്സ്) ചന്തക്ക് പോകയാണ്. നടന്നിട്ടാണ്-4 കി.മി.ദൂരം!
"എന്താ കുഞ്ഞിരാമാ ബസ്സില്‍ പോയിക്കൂടെ?"
"പൂവാം. പക്ഷെ , അതെവിടെയെങ്കിലും തട്ടേ മുട്ടേ ചെയ്താല്‍ പ്രശ്നമായി."
"അതിനു കുഞ്ഞിരാമന്‍ മാത്രല്ലല്ലോ ബസ്സില്‍?"
"അതതെ. പക്ഷെ ഇന്റോടക്ക് ഞാന്‍ തന്നെള്ളൂ."
പരീക്ഷാസമയക്രമം ശാസ്ത്രീയമാണോ?എല്ലാ കുട്ടികള്‍ക്കും (5ലക്ഷം!)ഒരേ സമയം. ഇന്നു മലയാളം, നാളെ ഇംഗ്ലീഷ്…അങ്ങനെ. കുട്ടിയെ വ്യക്തിയായല്ല, വ്യഷ്ടിയായാണ് പരിഗണന. ആണ്‍കുട്ടിയേയും പെണ്‍കുട്ടിയേയും ഒന്നിച്ചാണ് പരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നത്. വയറുവേദനക്കാരിയേയും കയ്യൊടിഞ്ഞവനേയുമൊക്കെ ഒന്നിച്ചിരുത്തി പരീക്ഷിക്കും. പഠനവേഗത കൂടിയവരേയും കുറഞ്ഞവരേയും ഒന്നിച്ചു പരിഗണിക്കുന്നു. രോഗിയേയും ആരോഗ്യമുള്ളവനേയും ഒക്കെ ഒരുപോലെ കാണുന്നു. 10 മുതല്‍ 12 വരെ പരീക്ഷ. പരീക്ഷാസമയം കഴിഞ്ഞാല്‍ പിന്നെ ഒരു രക്ഷയുമില്ല. ഒരു പരിഗണനയും ആര്‍ക്കും ഇല്ല. ഒരിക്കല്‍ തോറ്റാല്‍ തോറ്റതു തന്നെ! പിന്നെ ജയിച്ചിട്ടും വലിയ കാര്യമില്ലല്ലോ. കുട്ടി വ്യക്തിയാണ്. പഠിക്കുന്നതും എഴുതുന്നതും ജയിക്കുന്നതും സന്തോഷിക്കുന്നതും ജോലിചെയ്യുന്നതും കടം വീട്ടുന്നതും ഒക്കെ വ്യക്തിയാണ്. ഈ പരിഗണന പരീക്ഷക്കുമാത്രം ഇല്ലെന്നരാണാവോ നിശ്ചയിച്ചത്?

ചര്‍ച്ച 3

സംഭവം:

"പിന്നേ, നമ്മുടെ ഹരിമാഷിന്റെ ഫോണ്‍ നമ്പ്ര് എത്രയാ?"
"എപ്പോഴും വിളിക്കുന്നതാ; ഇപ്പൊ ഓര്‍മ്മയില്ല"
ഏതു ദിവസത്തെ പത്രം?
ആരെഴുതിയ ലേഖനം?
വെള്ളത്തിന്റെ രാസനാമം?
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
...............

ഇതൊന്നും അറിയാത്തതല്ല. പക്ഷെ, ഉടനെ ഓര്‍മ്മയില്ല. പരീക്ഷയിലോ? അപ്പോള്‍ ഓര്‍മ്മയില്ലെങ്കില്‍ തോല്‍വി നിശ്ചയം. ഓര്‍മ്മയില്ലാത്തതുകൊണ്ട് ജീവിതത്തില്‍ ഒരിക്കലും തോല്‍ക്കില്ല; പക്ഷെ, പരീക്ഷക്ക് തോല്‍ക്കും. ഇതു ജീവശാസ്ത്രപരമായി നോക്കുമ്പോള്‍ എത്ര അശാസ്ത്രീയം? ചില പരീക്ഷകള്‍ കണ്ടിട്ടില്ലേ? കുറെ ചോദ്യങ്ങള്‍ നേരത്തെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കും. ഒരു മാസം-15 ദിവസം സമയം കൊടുക്കും. ഉത്തരം എഴുതാം. മത്സരത്തില്‍ ജയിക്കാം. കൂളോഫ് സമയം ഇല്ല.ടെന്‍ഷന്‍ ഇല്ല.
വിശദമായി , വളരെ പൊതുവായ, കുട്ടിയെ നേരില്‍ ബാധിക്കുന്ന ചില സംഗതികള്‍ ചര്‍ച്ചക്കായി വെക്കുന്നുവെന്നേ ഉള്ളൂ.ചര്‍ച്ച ചെയ്യേണ്ട ചില കാര്യങ്ങള്‍ അജണ്ടയില്‍ നിന്നും ഒഴിവാക്കിയാല്‍ ഒരിക്കലും പ്രശ്നപരിഹാരം ഉണ്ടാവില്ലല്ലോ..!

#37 Ars Mathematica

#36 Mathematics Videos

SSLC റിവിഷന്‍ : പോളിനോമിയല്‍

ഇന്ന് കേരളത്തിലെ പല ജില്ലകളിലും മികവ് പ്രദര്‍ശനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്ര ക്ലസ്റ്റര്‍ നടക്കുകയാണല്ലോ. അധ്യാപകരെ സഹായിക്കുക എന്ന ഉദ്ദേശത്തോടെ ആരംഭിച്ച ഈ ബ്ലോഗിനെ കഴിഞ്ഞ ക്ലസ്റ്ററുകളില്‍ പരിചയപ്പെടുത്താതിരുന്നവര്‍ ഇത്തവണയെങ്കിലും പരിചയപ്പെടുത്തുമല്ലോ. അതുവഴി നമുക്ക് കിട്ടുന്ന പുതിയ വായനക്കാരിലെ ഒരാളെങ്കിലും നമ്മുടെ പസിലുകളും ഗണിതപ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കാന്‍ താല്പര്യത്തോടെ മുന്നോട്ടു വന്നാല്‍ അതിന്റെ ഗുണം കേരളത്തിലെ അധ്യാപകര്‍ക്കും കുട്ടികള്‍ക്കുമാണല്ലോ. മാത്രമല്ല, നിങ്ങളുടെ ക്ലസ്റ്ററില്‍ മികവ് എന്ന പേരില്‍ അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ട ഇനങ്ങളേതല്ലാമെന്ന് ഞങ്ങള്‍ക്ക് അയച്ചു തരികയോ കമന്റു ചെയ്യുകയോ ചെയ്താല്‍ അതും ബ്ലോഗ് വഴി പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം. അതു കൊണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്രാധ്യാപകര്‍ ഇനി ഓരോ പുതിയ കണ്ടെത്തലുകളെയും ആശയങ്ങളെയും ബ്ലോഗ് വഴി പങ്കുവെക്കാനുള്ള സന്നദ്ധത പ്രകടിപ്പിക്കുമല്ലോ. ഇനി ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റിലേക്ക്. കുട്ടികള്‍ക്ക് എളുപ്പത്തില്‍ മാര്‍ക്ക് കരസ്ഥമാക്കാന്‍ കഴിയുന്ന ഒരു പാഠമാണ് പോളിനോമിയല്‍. അതിലെ ചോദ്യങ്ങളാണ് താഴെയുള്ള ലിങ്കില്‍ നല്‍കിയിരിക്കുന്നത്. നോക്കാം.

പാഠ്യപദ്ധതി ഉദ്ദേശ്യങ്ങള്‍

• P(x) എന്ന പോളിനോമിയലിനെ (x-a) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം P(a) ലഭിക്കും എന്ന് തിരിച്ചറിയുന്നതിന്
• P(x) നെ ax+b കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം P(-b/a) ആണെന്ന് തിരിച്ചറിയുന്നതിന്
• P(x) എന്ന പോളിനോമിയലില്‍ P(a) = 0 ആയാല്‍ P(x) ന്റെ ഘടകമാണ് x-a എന്നു തിരിച്ചറിയുന്നതിന്
• P(x) എന്ന പോളിനോമിയലിന്റെ ഒരു ഘടകമാണ് x-a എങ്കില്‍ P(a)=0 ആയിരിക്കും എന്നറിയുന്നതിന്
• ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി ദ്വിമാന പോളിനോമിയലിനെ ഘടകക്രിയ ചെയ്യുന്ന രീതി അറിയുന്നതിന്
• കൃതി മൂന്ന് ആയ പോളിനോമിയലുകളുടെ ഘടകക്രിയ ചെയ്യുന്ന വിധം അറിയുന്നതിന്

Click here for download the Questions from Polynomials

Quick Triangle Sum & Pythagorean Proof

Just a quick, pretty unoriginal sketch to help secondary/tertiary students think through the justification for the sum of the angles in a triangle.

As a dynamic webpage or the original geogebra file.

EDIT:  As my students investigated (see these sketches elsewhere), they got interested in proofs of the Pythagorean Theorem.  Since they were investigating so nicely on their own, with interesting results, I had time to draw up a familiar proof in Geogebra.  Webpage or geogebra file.  The webpage has some additional hints to help towards a proof.

#35 Figures Speak Mathematics

ഈ ക്ലോക്കുകളിലെ സമയം ശരിയാക്കാമോ?

പസിലുകള്‍ ഇഷ്ടപ്പെടുന്ന നല്ലൊരു വിഭാഗം നമ്മുടെ അധ്യാപകരും ആഴ്ചയിലൊരിക്കലെ ങ്കിലും പസിലുകള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കണമെന്ന് അഭ്യര്‍ത്ഥിക്കുകയുണ്ടായി. ഉത്തരം കണ്ടു പിടിക്കാമെന്നു വിചാരിക്കുമ്പോഴേക്കും ആരെങ്കിലുമായി ഉത്തരങ്ങള്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടാകുമെന്നൊരു പരിഭവവും പറഞ്ഞു കേട്ടിട്ടുണ്ട്. യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ പസിലുകള്‍ക്ക് വേണ്ടത് അത്തരമൊരു സ്പിരിറ്റ് അല്ലേ? ചോദ്യം പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഉടനേ തന്നെ ഉത്തരം നല്‍കാന്‍ ശേഷിയുള്ളവര്‍ നമ്മുടെ ഒപ്പമുണ്ടെന്നുള്ളത് മാത്​സ് ബ്ലോഗിന് അഭിമാനിക്കാന്‍ വക നല്‍കുന്നു. അതു കൊണ്ടു തന്നെ നമ്മുടെ അധ്യാപകര്‍ക്ക് എന്താണോ ആവശ്യം അത് നല്‍കാന്‍ ബ്ലോഗ് ടീം സദാ സന്നദ്ധമാണ്. അസീസ് സാറും വിജയന്‍ മാഷുമെല്ലാം ഒട്ടേറെ പസിലുകള്‍ നമുക്ക് നേരത്തേ തന്നെ അയച്ചു തന്നിട്ടുണ്ട്. റിവിഷന്‍ പാക്കേജ് അവസാനിക്കുന്ന മുറയ്ക്ക് അവ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതാണ്. താഴെ നല്‍കിയിരിക്കുന്ന പസില്‍ യുക്തിപരമായി സമീപിക്കേണ്ട ഒന്നാണ്. ആരാണ് ഈ പ്രഹേളികയ്ക്ക് ഉത്തരം നല്‍കുന്നതെന്നറിയാന്‍ ആകാംക്ഷയോടെ കാത്തിരിക്കുന്നു. രണ്ട് ക്ലോക്കുകളിലെ സമയം ശരിയായ രീതിയില്‍ ക്രമീകരിക്കുന്ന വിധത്തെപ്പറ്റിയാണ് ചോദ്യം. ഇനി പസിലിലേക്ക്...

പണ്ട് പണ്ട് ക്ലോക്കുകളോ വാച്ചുകളോ ഇല്ലാത്ത ഒരു അന്റോഡിയ എന്ന ഒരു നാടുണ്ടായിരുന്നു. പക്ഷെ അന്നാട്ടിലെ പ്രസിദ്ധമായ വിന്റര്‍ സ്പാഷ് എന്ന കുന്നിന്റെ മുകളിലും ചുവട്ടിലുമായി ഓരോ ക്ലോക്കുകളുണ്ട്. ആളുകള്‍ക്ക് സമയം അറിയാനുള്ള ഒരേ ഒരു മാര്‍ഗം ഈ കുന്നിലെ ക്ലോക്കുകള്‍ തന്നെയായിരുന്നു. കുന്നിന്‍ മുകളിലെ തേയിലത്തോട്ടത്തില്‍ പണിക്ക് പോകുന്നവര്‍ക്ക് മുകളിലുള്ള ക്ലോക്ക് ഒരു സഹായമായിരുന്നു. താഴെയുള്ളവര്‍ക്ക് ചുവട്ടിലെ ക്ലോക്കും. ഒരു ദിവസം അന്റോഡിയയിലെ ജനങ്ങളെ വിഷമിപ്പിച്ച ആ സംഭവം നടന്നു. ചുവട്ടിലുള്ള ക്ലോക്ക് കൃത്യമായി സമയം കാണിക്കുന്നു. മുകളിലുള്ളതാകട്ടെ കൃത്യം സമയം കാണിക്കുന്നില്ല. ആളുകള്‍ വിഷമത്തിലായി. ഈ ക്ലോക്കുകളിലെ സമയം കൃത്യമായി ക്രമീകരിക്കണം. എന്നാല്‍ ഉറപ്പിച്ചു വച്ചിരിക്കുന്ന ക്ലോക്കുകളുടെ സ്ഥാനം മാറ്റി ക്രമീകരിക്കാന്‍ സാധ്യവുമ്ലല. കുന്നിന്‍ മുകളില്‍ കയറുവാന്‍ ഒരു കുതിരയുടെ സേവനം ഉപയോഗിക്കാം. ഒരു കാര്യം നിങ്ങള്‍ക്കറിയാമല്ലോ? മുകളില്‍ എത്താനുള്ള സമയവും താഴെ എത്താനുള്ള സമയവും തുല്യമായിരിക്കില്ല. അതെ. അതൊരിക്കലും ശരിയാവുകയില്ലല്ലോ. ഈ നിബന്ധനകളെല്ലാം പാലിച്ചു കൊണ്ട് കുന്നിന്‍ മുകളിലെ തെറ്റായ സമയം കാണിക്കുന്ന ഈ ക്ലോക്ക് എങ്ങനെ കൃത്യമാക്കാം?

#34 Homeschool Math blog

മച്ചാന്‍ വര്‍ഗീസിന് ആദരാഞ്ജലികള്‍

നിരവധി നര്‍മ്മ മൂഹൂര്‍ത്തങ്ങളിലൂടെ മലയാള സിനിമാ പ്രേക്ഷകര്‍ക്ക് സുപരിചിതനായ നടന്‍ മച്ചാന്‍ വര്‍ഗീസ് (50) അന്തരിച്ചു. രോഗബാധയെ തുടര്‍ന്ന് കോഴിക്കോട്ടെ ഒരു സ്വകാര്യ ആസ്​പത്രിയില്‍ ചികിത്സയിലായിരുന്നു അദ്ദേഹം. ഇന്ന് (3-2-2011) ഉച്ചതിരിഞ്ഞ് 4.15 ഓടെയായിരുന്നു അന്ത്യം.

സിദ്ദിഖ്-ലാല്‍, റാഫി-മെക്കാര്‍ട്ടിന്‍ എന്നീ കൂട്ടുകെട്ടുകളുടെ ചിത്രങ്ങളിലൂടെയാണ് മച്ചാന്‍ വര്‍ഗീസ് സിനിമയില്‍ സജീവമാകുന്നത്. അമ്പതിലധികം ചിത്രങ്ങളില്‍ നര്‍മ്മപ്രധാന വേഷങ്ങള്‍ കൈകാര്യം ചെയ്തു. എറണാകുളം എളമക്കര സ്വദേശിയാണ്. മൂത്രാശയ സംബന്ധമായ രോഗത്തെ തുടര്‍ന്ന് ഒരു മാസം മുമ്പാണ് കോഴിക്കോട്ടെ ആസ്​പത്രിയില്‍ പ്രവേശിപ്പിച്ചതെങ്കിലും പിന്നീട് അര്‍ബുദമാണെന്ന് തിരിച്ചറിയുകയായിരുന്നു.

മിമിക്രി-നാടക രംഗത്തുനിന്നാണ് മച്ചാന്‍ വര്‍ഗീസിന്റെ സിനിമയിലേക്കുള്ള രംഗപ്രവേശം. സംവിധായകന്‍ സിദ്ദിഖിന്റെ സുഹൃത്തായിരുന്ന മച്ചാന്‍ വര്‍ഗീസ് കാബൂളിവാല എന്ന സിദ്ദിഖ്-ലാല്‍ ചിത്രത്തിലൂടെയാണ് സിനിമയിലെത്തിയത്. എം.എല്‍.വര്‍ഗീസ് എന്നാണ് യഥാര്‍ത്ഥ പേര്.

ബെസ്റ്റ് ഓഫ് ലക്ക് ആണ് അവസാനമായി റിലീസ് ചെയ്ത ചിത്രം. ബോംബെ മിഠായി ആണ് പുറത്തിറങ്ങാനുള്ള ചിത്രം. ഭാര്യ എല്‍സി. മാന്നാര്‍ മത്തായി സ്​പീക്കിങ്, ഹിറ്റ്‌ലര്‍, തെങ്കാശിപ്പട്ടണം, മീശ മാധവന്‍, സിഐഡി മൂസ, പഞ്ചാബി ഹൗസ്, തൊമ്മനും മക്കളും, കൊച്ചി രാജാവ്, ചതിക്കാത്ത ചന്തു...തുടങ്ങി നിരവധി ചിത്രങ്ങളില്‍ ശ്രദ്ധേയമായ വേഷങ്ങള്‍ കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.

വാര്‍ത്തയ്ക്ക് മാതൃഭൂമിയോട് കടപ്പാട്

SSLC Revision: സ്പര്‍ശരേഖകള്‍

കഴിഞ്ഞ രണ്ടു ദിവസങ്ങളിലേയും പേജ് ഹിറ്റുകളുടെ എണ്ണം മൂവായിരത്തിന് മുകളിലായിരുന്നു എന്നത് ഞങ്ങളുടെ മേല്‍ നമ്മുടെ അധ്യാപകര്‍ക്കും അഭ്യുദയകാംക്ഷികള്‍ക്കുമുള്ള സ്നേഹവും പ്രതീക്ഷയും വ്യക്തമാക്കുന്നു. ഫെബ്രുവരി 1 ന് പേജ് ഹിറ്റ് 3655 ആയിരുന്നെങ്കില്‍ രണ്ടാം തിയതി രാത്രി പത്തു മണിക്ക് ഹിറ്റുകള്‍ 3000 കടന്നിരുന്നു. (image) സന്ദര്‍ശനങ്ങള്‍ കൂടുമ്പോള്‍ ഉത്തരവാദിത്വബോധം വര്‍ദ്ധിക്കുന്നുവെന്നതിനാല്‍ ഞങ്ങളില്‍ പലരുടെയും ഉറക്കം വെളുപ്പിന് 2 മണിക്ക് ശേഷമാണെന്നതിന് കമന്റ് ബോക്സില്‍ വരുന്ന ബ്ലോഗ് ടീമിന്റെ കമന്റുകളിലെ സമയം തന്നെ സാക്ഷി. അതു കൊണ്ട് തന്നെ തുടര്‍ച്ചയായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു പോരുന്ന പത്താം ക്ലാസിലെ റിവിഷന്‍ പാക്കേജിന്റെ തുടര്‍ച്ചയായി പത്താം ക്ലാസ് ഗണിതത്തിലെ അഞ്ചാം യൂണിറ്റ് സ്പര്‍ശരേഖകളിലെ ചോദ്യങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നു. ആപ്ലിക്കേഷന്‍ തരത്തിലുള്ള ചോദ്യങ്ങളാണ് ഇവിടെ ഉള്‍​പ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്. താഴെ ലിങ്കില്‍ നിന്നും അവ ഡൗണ്‍ലോഡ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്.

ശുദ്ധ ജ്യാമിതിയിലെ അടിസ്ഥാനതത്വങ്ങള്‍ ഉള്‍​ക്കൊള്ളുന്ന യൂണിറ്റാണിത്. പത്താം ക്ലാസ് പരീക്ഷയ്ക്ക് വരുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ പലതും വൃത്തങ്ങള്‍ സ്പര്‍ശരേഖകള്‍ എന്നീ പരണ്ട് യൂണിറ്റുകളിലെ ആശയങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്ത് വച്ച് ചിന്തിക്കേണ്ടയായിരിക്കും. വൃത്തത്തിന്റെ ബാഹ്യബിന്ദുവില്‍ നിന്നും വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പര്‍ശരേഖയുടെ നീളം, കേന്ദ്രത്തില്‍ നിന്നും ബാഹ്യബിന്ദുവിലേക്കുള്ള അകലം, ആരം എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ആദ്യഭാഗത്ത് വിശകലനം ചെയ്യുന്നു. ബാഹ്യബിന്ദുവില്‍ നിന്നും വൃത്തത്തിലേക്ക് രണ്ട് സ്പര്‍ശരേഖകള്‍ വരക്കാമെന്നും അവയുടെ നീളങ്ങള്‍ തുല്യമാണെന്നും തിരിച്ചറിയണം. വൃത്തത്തിലെ ഒരു ഞാണും, ഞാണിന്റെ അഗ്രബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള സ്പര്‍ശരേഖയും നിര്‍ണയിക്കുന്ന കോണ്‍ മറുഖണ്ഡത്തിലെ കോണിന് തുല്യമാണെന്നും കുട്ടി മനസ്സിലാക്കണം. ഒപ്പം, വൃത്തത്തിലെ ഒരു ഞാണും, ഞാണിന്റെ അഗ്രബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള സ്പര്‍ശരേഖയും സൃഷ്ടിക്കുന്ന കോണ്‍ മറുഖണ്ഡത്തിലെ കോണിന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയേണ്ടതുണ്ട്. പിന്നെ സ്പര്‍ശരേഖയും ഛേദകരേഖ നിര്‍ണയിക്കുന്ന ഖണ്ഡങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം മനസ്സിലാക്കണം. ജ്യാമിതീയ തത്വങ്ങളുടെ പ്രായോഗികതയാണ് നിര്‍മ്മിതികള്‍. സ്പര്‍ശരേഖകളുടെ നിര്‍മ്മിതിയും ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തര്‍വൃത്ത നിര്‍മ്മിതിയും നന്നായി പഠിച്ചിരിക്കണം.

പ്രധാന പോയിന്റുകള്‍

• വൃത്തത്തിന്റെ സ്പര്‍ശരേഖ എന്നആശയം രൂപീകരിക്കുന്നതിന്
• വൃത്തത്തിലെ ഒരു ആരത്തിന് ലംബമായ രേഖ വൃത്തത്തിന്റെ സ്പര്‍ശരേഖയായിരിക്കും എന്നു തെളിയിക്കുന്നതിന്
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഏതൊരു ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടിയും സ്പര്‍ശരേഖ നിര്‍മ്മിക്കുന്നതിന്
• ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സ്പര്‍ശരേഖയും സ്പര്‍ശബിന്ദുവില്‍ക്കൂടിയുള്ള ആരവും പരസ്പരം ലംബമാണ് എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്
• ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം, കേന്ദ്രത്തില്‍ നിന്നും ബാഹ്യബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം, ബാഹ്യബിന്ദുവില്‍ നിന്നും സ്പര്‍ശബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം ഇവ കണ്ടെത്തുന്നതിന്
• ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ബാഹ്യബിന്ദുവില്‍ നിന്നും വൃത്തത്തിലേക്ക് രണ്ട് സ്പര്‍ശരേഖകളുണ്ട് എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്
• ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ബാഹ്യബിന്ദുവില്‍ നിന്ന് രണ്ട് സ്പര്‍ശരേഖയുടേയും സ്പര്‍ശബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം തുല്യമാണ് എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്
• ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു സ്പര്‍ശരേഖയും സ്പര്‍ശരേഖയില്‍ കൂടിയുള്ള ഒരു ഞാണും തമ്മിലുള്ള ഓരോ കോണും ആ കോണിന്റെ മറുഭാഗത്തുള്ള വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണിന് തുല്യമാണ് എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്
• തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ബാഹ്യബിന്ദുവില്‍ നിന്നുള്ള സ്പര്‍ശരേഖകള്‍ നിര്‍മ്മിക്കുന്നതിന്
• രണ്ട് രേഖകളെ സ്പര്‍ശിക്കുന്ന വൃത്തം വരക്കുന്നതിന്
• ഒരു കോണിന്റെ രണ്ട് ഭുജങ്ങളേയും സ്പര്‍ശിക്കുന്ന വൃത്തങ്ങളുടെയെല്ലാം കേന്ദ്രങ്ങള്‍ കോണിന്റെ സമഭാജിയിലാണെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്
• ഒരു കോണിന്റെ സമഭാജി നിര്‍മ്മിക്കുന്ന വിധം കണ്ടെത്തുന്നതിന്
• അന്തര്‍വൃത്തം എന്ന് ആശയം രൂപീകരിക്കുന്നതിന്
• ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തര്‍വൃത്തം നിര്‍മ്മിക്കുന്നതിന്
• ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ 3 കോണുകളുടേയും സമഭാജികള്‍ ഒരു ബിന്ദുവില്‍ കൂട്ടി മുട്ടുന്നു എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്

ചിത്രങ്ങള്‍ വരക്കാനുള്ള ചോദ്യം എന്തായാലും ഈ പാഠത്തില്‍ നിന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാം. അതുകൊണ്ട് അത് കുട്ടികള്‍ ദിവസവും വരച്ചു പഠിക്കട്ടെ.

Click here for download the questions from Tangents

#33 Math Notations

#32 The Broken Parabola