എസ്.എസ്.എല്‍.സി കഴിഞ്ഞാല്‍....

കമന്റ് ബോക്സ് തിരിച്ചുകൊണ്ടുവരുന്ന തിരക്കില്‍ ഒരു മിന്നായം പോലെ മിന്നിമറഞ്ഞ ഈ പോസ്റ്റ് കൂടുതല്‍ കമന്റുകള്‍ അര്‍ഹിക്കുന്നുവെന്ന് തോന്നിയതുകൊണ്ട് പുന:പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയാണിവിടെ...............
SSLC പരീക്ഷാഫലം മെയ് 3 തിങ്കളാഴ്ച പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയാണല്ലോ. കുട്ടികള്‍ക്കൊപ്പം രക്ഷിതാക്കളുടെ മനസ്സിലും ആധിയും ആവലാതിയും കൂടി പെരുമ്പറ മുഴക്കാന്‍ തുടങ്ങിക്കാണും!! കാരണം, അവരുടെ മുന്നിലെ അടുത്ത ചോദ്യം "ഇനി എന്ത് ?" എന്നതാണ്. വിദ്യാഭ്യാസ ജീവിതത്തിന്റെ പ്രധാനവഴിത്തിരിവില്‍ കുട്ടികളെത്തി നില്‍ക്കുമ്പോള്‍ പല രക്ഷിതാക്കളും ചോദിക്കാറുണ്ട് : ടീച്ചറേ, ഏതു കോഴ്സാണ് നല്ലത്? പ്ലസ് ടൂവിനു പോയാല്‍ ഏതെല്ലാം വിഷയങ്ങള്‍ എടുക്കണം? വെക്കെഷനില്‍ എന്തിനെങ്കിലും ചേര്‍ത്താലോ ? tallyക്ക് ചേര്‍ത്താല്‍ എങ്ങിനെയാ? PCയുടെ അടുത്ത് admission എന്ത് ചെയ്യണം ? ഇപ്പോഴേ ബുക്ക്‌ ചെയ്യണോ ? ഇങ്ങനെ സംശയങ്ങള്‍ അനേകമനേകം. ഇതെല്ലാം ചോദിക്കുമ്പോഴും അവരുടെ മനസ്സില്‍ ഒരു തീരുമാനം ഉണ്ടായിരിക്കും . എന്റെ "മകന്‍ /മകള്‍" ഒരു "ഡോക്ടര്‍ / എഞ്ചിനീയര്‍ "ആകണം. എന്നാല്‍ വിദ്യാഭ്യാസപരമായും സാമൂഹ്യപരമായും പിന്നോക്കം നില്‍ക്കുന്നവര്‍ എന്നും നമ്മുടെ സമൂഹത്തില്‍ ഉണ്ട് . അവര്‍ക്ക് മക്കളെ നല്ല നിലയില്‍ എത്തിക്കണമെന്ന ആഗ്രഹം ഉണ്ട് . എന്നാല്‍ അത് എങ്ങിനെ വേണം എന്നറിയില്ല . SSLC വരെ നല്ല നിലയില്‍ പഠിച്ചു. ഇനിയുള്ള പഠനം ഏതു തരത്തിലാകണം, ഏതെല്ലാം വിഷയങ്ങള്‍ എടുക്കണം , അവരുടെ ലക്‌ഷ്യം എന്തായിരിക്കണം , ...... ഇവയൊക്കെ നിര്‍ണയിക്കുവാന്‍ വിദ്യാര്ത്ഥികള്‍ക്കും രക്ഷിതാക്കള്‍ക്കും ഒരു സഹായഹസ്തമാകാന്‍ നമുക്ക് സാധിക്കുന്നുവെങ്കില്‍ ........................

ഗുരുകുലത്തിലെ ഉമേഷ്ജി

ആദരവ് ചോദിച്ചു വാങ്ങേണ്ടതല്ല, അത് തേടിവരുന്നവയാണ് എന്നുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിന് തെളിവായി മാത്‍സ് ബ്ലോഗിന് ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാനുള്ള അപൂര്‍വ്വം വ്യക്തിത്വങ്ങളിലൊരാണ് ഉമേഷ് ജി. ഇവിടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കപ്പെടുന്ന പല പസിലുകള്‍ക്കും വളരെ പെട്ടന്നു തന്നെ ഉത്തരം നല്‍കുന്നുവെന്നു മാത്രമല്ല പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണത്തില്‍ അധ്യാപകര്‍ അടക്കമുള്ള ഗണിതസ്നേഹികളെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തുന്ന പാടവമാണ് അദ്ദേഹം‍ കാഴ്ചവെച്ചിരിക്കുന്നത്. 2009 ഫെബ്രുവരിയില്‍ ആരംഭിച്ച ഈ ബ്ലോഗിലെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ കമന്റുകള്‍ കണ്ടപ്പോഴേ ഒട്ടും വൈകാതെ തന്നെ 2009 ലെ ഏപ്രിലില്‍ അദ്ദേഹത്തെ മാത്‍സ് ബ്ലോഗ് ടീമിലേക്ക് ക്ഷണിച്ചിരുന്നതാണെന്ന രഹസ്യം കൂടി ഇവിടെ വ്യക്തമാക്കട്ടെ. പല കാരണങ്ങളാലും പുറമെ നിന്നൊരു പിന്തുണ വാഗ്ദാനം ചെയ്ത അദ്ദേഹം ഇന്നു വരെ അതു പാലിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഗണിതപ്രേമികള്‍ക്ക് ഉപകാരപ്രദമാകുന്ന വിധത്തില്‍ മാത്‍സ് ബ്ലോഗില്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്ന പസിലുകളെ സമാഹരിച്ച് ഒരു പി.ഡി.എഫ് പുസ്തകം തയ്യാറാക്കിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന വിവരവും നമ്മുടെ വായനക്കാര്‍ക്ക് അറിയാമല്ലോ. അദ്ദേഹത്തിന്റെ നിഷ്ക്കാമമായ പിന്തുണയ്ക്കും കഠിനപരിശ്രമത്തിനും അര്‍പ്പണമനോഭാവത്തിനും ഏറ്റവും മികച്ച ഉദാഹരണമാണത്. അതുകൊണ്ട് തന്നെ മാത്‍സ് ബ്ലോഗ് ടീമിന്റെ ഈ നമോവാകം അല്പം വൈകിപ്പോയെന്ന ധാരണയും ഞങ്ങള്‍ക്കില്ലാതില്ല. കേവലം ചോദ്യോത്തരരീതിയില്‍ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി ഓരോ ചോദ്യത്തിനും ചരിത്രപശ്ചാത്തലമുണ്ടെങ്കില്‍ അതുകൂടി ഉള്‍പ്പെടുത്തിക്കൊണ്ടുള്ള ശാസ്ത്രീയമായൊരു അപഗ്രഥനരീതിയാണ് ഉമേഷ്ജി ആ പുസ്തകത്തില്‍ അവലംബിച്ചിരിക്കുന്നത്. അദ്ദേഹത്തില്‍ നിന്നും മാത്‍സ് ബ്ലോഗിന് ലഭിച്ച ഒരു പസിലാണ് ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്.

പല അധ്യാപകരും മാത്‍സ് ബ്ലോഗില്‍ കമന്റു ചെയ്യുന്നവരെക്കുറിച്ചറിയാന്‍ താല്പര്യം പ്രകടിപ്പിക്കാറുണ്ട്. അക്കൂട്ടത്തില്‍ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ അന്വേഷണങ്ങളുണ്ടായിട്ടുള്ള വ്യക്തിയാണ് ശ്രീ.ഉമേഷും. അതുകൊണ്ടു തന്നെ അദ്ദേഹത്തെ നമ്മുടെ വായനക്കാര്‍ക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തുക എന്നൊരു ഉദ്ദേശ്യം കൂടി ഈ പോസ്റ്റിനുണ്ട്. 2006 മുതല്‍ ആരംഭിച്ച ബ്ലോഗിങ്ങില്‍ ഭാരതീയശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളെ ആഴത്തില്‍ സമീപിച്ചു കൊണ്ടുള്ള ലേഖനങ്ങളും അദ്ദേഹം തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. മാത്രമല്ല, അമേരിക്കയിലെ കാലിഫോര്‍ണിയായില്‍ സ്ഥിരതാമസക്കാരനായിട്ടുകൂടി സംസ്കൃതത്തോടും മലയാള ഭാഷയോടുമുള്ള സ്നേഹം തെല്ലും ഉപേക്ഷിച്ചിട്ടില്ലായെന്ന് ഗുരുകുലം എന്ന തന്റെ ബ്ലോഗിലെ ലേഖനങ്ങള്‍ തെളിയിക്കുന്നു.ഓരോ പോസ്റ്റും പലപ്പോഴും മാസങ്ങള്‍ നീളുന്ന റഫറന്‍സിനൊടുവിലാകും പ്രസിദ്ധീകരിക്കപ്പെടുക. മാത്‍സ് ബ്ലോഗിനും ബൂലോകത്തിനും അദ്ദേഹം നല്‍കിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന സമഗ്രസംഭാവനകളെ കണക്കിലെടുത്ത് ബ്ലോഗ് ടീമിന്റെ അഭിനന്ദനങ്ങളും ആദരവും മുകുളീകൃതപാണിയായല്ലാതെ എങ്ങനെയാണ് നല്‍കാനാവുക?

ചെസ് കളിയില്‍ മികവ് പുലര്‍ത്തിയതു കൊണ്ടു തന്നെ 1985-’91 കാലഘട്ടത്തില്‍ 5 കേരള സ്റ്റേറ്റ് ചാമ്പ്യന്‍ഷിപ്പുകളില്‍ പങ്കെടുത്തു. 1995-’99 കാലഘട്ടത്തില്‍ അമേരിക്കയില്‍ കളിച്ചു. United States Chess Federation-ന്റെ റേറ്റിംഗ് ഉണ്ടു് എന്ന് പറയുമ്പോള്‍ കളിയിലുള്ള കേമത്വത്തെക്കുറിച്ചും കൂടുതല്‍ പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ. അക്ഷരശ്ലോകപ്രിയം രണ്ടു വട്ടം കോഴിക്കോട് സര്‍വ്വകലാശാലയുടെ ഒന്നാം സ്ഥാനം കരസ്ഥമാക്കാന്‍ അദ്ദേഹത്തെ സഹായിച്ചു. 2004 ഡിസംബറില്‍ അക്ഷരശ്ലോകം യാഹൂ ഗ്രൂപ്പു സ്ഥാപിക്കുകയും ആ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ആഭിമുഖ്യത്തില്‍ ഒരു ഇ-സദസ്സ് രൂപീകരിക്കുകയും ചെയ്തു. മൂവായിരത്തിന് മുകളില്‍‍ അക്ഷരശ്ലോകങ്ങള്‍ സമാനപഥികരില്‍ നിന്നും ഇന്റര്‍നെറ്റു വഴി ശേഖരിച്ചത് ഇവിടെ കാണാം. നമ്മുടെ സ്ക്കൂളുകളില്‍ അക്ഷരശ്ലോകത്തില്‍ മികവുപുലര്‍ത്തുന്ന കുട്ടികളുണ്ടെങ്കില്‍ ഇതവര്‍ക്ക് നല്‍കുമല്ലോ.

പസിലുകളടക്കം പല വിഷമപ്രശ്നങ്ങളും ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നതിനും തന്റെ ബ്ലോഗില്‍ അദ്ദേഹം ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്. അക്കൂട്ടത്തില്‍പ്പെട്ട ഒരു പസിലാണ് അദ്ദേഹം നമുക്ക് അയച്ചു തന്നിരിക്കുന്നതും. പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്തുമല്ലോ.

നാലു പണിക്കാര്‍, നിര്‍ദ്ദേശിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള അളവിലുള്ള, ഒരു കുഴി കുഴിക്കുകയാ​ണ്. ഒരാള്‍ക്കുശേഷം മറ്റൊരാള്‍ എന്ന ക്രമത്തില്‍ അവര്‍ പണി തീര്‍ത്തു. ഈ നാലുപേരുടേയും വേഗത, ജോലി ചെയ്ത സമയം എന്നിവ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം. പക്ഷേ നാലുപേരും അവരവരുടെ ജോലിചെയ്തു. ഓരോരുത്തരും ചെയ്ത ജോലിസമയത്ത്, മറ്റു മൂന്നുപേരും ഒരുമിച്ചു ചെയ്തിരുന്നെങ്കില്‍, അവര്‍ പാതി പണി തീര്‍ത്തേനേ..! (ഇത്, എല്ലാവര്‍ക്കും ശരിയാണ്.).

ചോദ്യമിതാണ്.

അവര്‍ നാലുപേരും ഒരുമിച്ച് ഈ ജോലി ചെയ്തിരുന്നെങ്കില്‍, അവരോരോരുത്തരും എടുത്ത സമയങ്ങളുടെ തുകയെ അപേക്ഷിച്ച്, എത്ര വേഗത്തില്‍ പണി തീര്‍ന്നേനേ..?
(ഉദാഹരണത്തിന്, വെവ്വേറേ ജോലി ചെയ്ത് തീര്‍ത്ത സമയം 12 മണിക്കൂറാണെങ്കില്‍, ഒന്നിച്ച് ചെയ്താല്‍ എത്ര സമയമെടുക്കും?)

ഇംഗ്ലീഷില്‍,

Four people are digging a ditch of some pre-specified size, one after another, and finished a ditch. These four might have different speed in their work. Each of them might have worked for a different time and finished some portion of the work.

It is observed that each of them dug for such time that, during that time the other three, working together, could have finished half the ditch. This is true for each of the workers.

Question: If they worked together, how faster they would have finished the ditch, when compared to the total time they took (i.e., sum of the individual time each worker spent)?
(For example, if, working one after another, they took 12 hours to finish the work, how much time it would have taken if they worked simultaneously?)

Learning and Teaching Anchor Charts

One of the things that seems to be referenced on this blog are the anchor charts.  My K-8 geometry class this semester really took to them.  I'm posting the public class ones here, but they also made several interesting personal ones in their portfolios.  Several remarked on how they saw new things about what they had learned by putting it all together.  A great example of synthesis.

Deb Smith (who has shared a number of the resources at ReadingLady.com) describes it as follows, quoting from Harvey and Goudvis' Strategies That Work, which is a great comprehension text.

“Synthesizing is the most complex of the comprehension strategies.  Synthesizing lies on a continuum of evolving thinking.  Synthesizing runs the gamut from taking stock of meaning while reading to achieving new insight.  Introducing the strategy of synthesizing in reading, then primarily involves teaching the reader to stop every so often and think about what she has read.  Each piece of additional information enhances the reader’s understanding and allows her to better construct meaning .” (page 144)

“We need to explicitly teach our students to take stock of meaning while they read and use
it to help their thinking evolve, perhaps leading to new insight, perhaps not, but enhancing
understanding in the process.  To nudge readers toward synthesis, we encourage them to
interact personally with the text.  Personal response gives readers an opportunity to
explore their evolving thinking.  Synthesizing information integrates the words and ideas in the text with the reader’s personal thoughts and questions and gives the reader the best
shot at achieving new insight.” (page 144-145)

Synthesizing modes of instruction and the Conditions of Learning.

Looking at the Conditions for Learning against the backdrop of the Teaching-Learning Cycle.

Really trying to put together teacher and learner roles, with conditions, learning theories, instructional modes ... and a flower. 









Boy, they were a good class.  I'm going to miss them!

മരം, എന്റെ മരം (കുട്ടികളുടെ സൃഷ്ടി)

കോട്ടയം മാഞ്ഞൂര്‍ സ്ക്കൂളിലെ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ് വിദ്യാര്‍‍ത്ഥിനിയായ ഭാഗ്യലക്ഷ്മിയുടെ കവിതയാണ് ഇവിടെ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. വേണ്ട പ്രോത്സാഹനങ്ങള്‍ നല്‍കുമല്ലോ. കുട്ടികളുടെ കലാസൃഷ്ടികള്‍ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നതിനായി ഞങ്ങള്‍ http://www.kalasrishti.blogspot.com/ എന്ന പേരില്‍ ഒരു ബ്ലോഗ് നേരത്തേ ആരംഭിച്ചിരുന്നു. മധ്യവേനല്‍ അവധിക്കാലം കഴിഞ്ഞ് സ്ക്കൂളില്‍ തിരിച്ചെത്തുമ്പോള്‍ നിങ്ങളുടെ സ്ക്കൂളിലെ കുട്ടികളുടെ കലാവാസനയെ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കാന്‍ അവരുടെ സൃഷ്ടികള്‍ ഞങ്ങള്‍ക്ക് അയച്ചു തരുമല്ലോ. അയക്കേണ്ട വിലാസം mathsekm@gmail.com തപാല്‍ വിലാസം എഡിറ്റര്‍, ബ്ലോഗ് വിശേഷം, എടവനക്കാട് -682502, എറണാകുളം ജില്ല.

ഇനി ഭാഗ്യലക്ഷ്മി ആലപിച്ചിരിക്കുന്ന കവിതയിലേക്ക്‍

കാറ്റിന്റെ ഈണത്തില്‍ താളമിട്ട്
ഒഴുകുന്ന പുഴയുടെ പാട്ടു കേട്ട്
ശബളമാം കുഞ്ഞിളം കൈകള്‍ വീശി
ആടുന്നു പാടുന്നു എന്റെ മരം

ടീച്ചര്‍മാരും സെന്‍സസിനിടയിലെ പീഡനങ്ങളും

മാത്‍സ് ബ്ലോഗിന് ലഭിച്ച പേര് വെളിപ്പെടുത്താനാഗ്രഹിക്കാത്ത ഒരു ടീച്ചറുടെ ലേഖനം
സര്‍വേകള്‍ അദ്ധ്യാപകര്‍ക്ക്‌ പുതുമയല്ല. തീരദേശ സര്‍വേ, ബി.പി. എല്‍ സര്‍വേ തുടങ്ങിയ കണക്കെടുപ്പുകള്‍ ഏറെ ആത്മാര്‍ത്ഥമായി ചെയ്തു വിജയിപ്പിച്ചിട്ടുള്ളവരാണ് കേരളത്തിലെ അദ്ധ്യാപകര്‍. ഇതില്‍ ഏറ്റവും പുതിയതാണ്‌ സെന്‍സസ്‌ സര്‍വേ അഥവാ ജനസംഖ്യാ കണക്കെടുപ്പ്‌. ഏഷ്യയിലെ തന്നെ ഏറ്റവും വലിയ ജനസംഖ്യാ കണക്കെടുപ്പില്‍ ഒന്നായ 2011 ലെ സെന്‍സസിന്റെ ഒരു ഭാഗമാകാന്‍ കഴിഞ്ഞതില്‍ മറ്റ് അദ്ധ്യാപകരെപ്പോലെ തന്നെ ഞാനും അഭിമാനിക്കുന്നു. എന്നാല്‍ അദ്ധ്യാപകരുടെ ജോലിഭാരത്തെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോഴെല്ലാം അതിനെ പുച്ഛിച്ചു തള്ളുന്ന പലരേയും ഞാന്‍ പലയിടത്തും കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ഇവിടെപ്പോലും. അദ്ധ്യാപകര്‍ വെക്കേഷന്‍ കാലത്ത് സുഖിക്കുന്നു എന്നു പറയുമ്പോഴും ഈ ചുട്ടുപൊള്ളുന്ന പൊരിവെയിലില്‍ കഷ്ടപ്പെടുന്ന നമ്മുടെ സഹപ്രവര്‍ത്തകര്‍ അനുഭവിക്കുന്ന കഷ്ടപ്പാടുകളെപ്പറ്റി സമൂഹം അറിയേണ്ടത് അത്യന്താപേക്ഷിതമാണ്. അദ്ധ്യാപകരുടെ ദൈനംദിനപ്രവര്‍ത്തനങ്ങളുടെ കണ്ണാടിയായി മാറിയ മാത്‍സ് ബ്ലോഗിലൂടെയെങ്കിലും, ഞങ്ങള്‍ വെറുതെയിരിക്കുകയല്ലായെന്ന് ചുറ്റുപാടുകളെ മനസ്സിലാക്കിക്കൊടുക്കാനുള്ള ഒരു ചെറിയ അവസരം എനിക്കും നല്‍കുമല്ലോ. പറയാനുള്ളത് സര്‍വ്വേ ഡ്യൂട്ടികളെപ്പറ്റിത്തന്നെയാണ്. സെന്‍സസ് ഡ്യൂട്ടിക്ക് പോകുന്ന അദ്ധ്യാപകര്‍ക്ക് നേരിടേണ്ട വരുന്ന അപമാനങ്ങളെക്കുറിച്ച് പത്രങ്ങളൊക്കെ സ്ഥിരം കോളങ്ങള്‍ തുടങ്ങിക്കഴിഞ്ഞു. അവയില്‍ ചിലത് ഞാനിവിടെ പങ്കു വെക്കട്ടെ.

കഴിഞ്ഞ ദിവസം ഏലൂരില്‍ സെന്‍സസ് ഡ്യൂട്ടിക്കെത്തിയ അദ്ധ്യാപികയ്ക്ക് മുന്നില്‍ 'പിറന്ന പടി' നിന്ന ഒരു ഗൃഹനാഥനെക്കുറിച്ച് പത്രങ്ങളില്‍ വന്ന വാര്‍ത്ത ഏവരും കണ്ടു കാണുമെന്ന് കരുതുന്നു. തിങ്കളാഴ്ച ഉച്ചയ്ക്ക് രണ്ടു മണിയോടെയാണ് സെന്‍സസ് വിവരങ്ങള്‍ ശേഖരിക്കാന്‍ ടീച്ചര്‍ അവിടെയെത്തിയത്. ഭാര്യയും അമ്മയും വീട്ടിലുണ്ടെന്ന് കുടുംബനാഥനില്‍ നിന്ന് അറിഞ്ഞ പാവം ടീച്ചര്‍ കുടിക്കാന്‍ ഒരു ഗ്ലാസ് വെള്ളം ചോദിച്ചു. തുടര്‍ന്ന് ഫോമുകള്‍ പൂരിപ്പിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കെയാണ് ഗൃഹനാഥന്റെ യഥാര്‍ത്ഥ സ്വഭാവം (?) പുറത്തു വന്നത്. പരിഭ്രാന്തയായ ടീച്ചര്‍ അടുത്ത വീട്ടിലേക്ക് ഓടിക്കയറുകയായിരുന്നു. അവിടെയിരുന്നവര്‍ സ്ഥലത്തേക്ക് തന്റെ ഭര്‍ത്താവിനെ വിളിച്ചു വരുത്തി. തുടര്‍ന്ന് വില്ലേജ് ഓഫീസറെത്തി. പോലീസെത്തി. 'ഗൃഹനാഥനെ' കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങളറിയാന്‍ പോലീസ് കൊണ്ടുപോവുകയും ചെയ്തു. ഈ അദ്ധ്യാപിക ഞങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിലെ ഒരാള്‍ മാത്രം. പറയൂ ഈ സംഭവത്തപ്പറ്റി നിങ്ങള്‍ക്കെന്താണ് പറയാനുള്ളന്നത്?

സെന്‍സസ് നടപടിക്രമങ്ങളില്‍പ്പെട്ട ഓരോ കെട്ടിടത്തെയും തിരിച്ചറിയാന്‍ ആര്‍ക്കും കാണാനാന്‍ കഴിയുന്ന വിധം പെര്‍മനന്റ് മാര്‍ക്കര്‍ ഉപയോഗിച്ച് കെട്ടിടനമ്പറിടണമെന്നത് സര്‍ക്കാരിന്റെ കര്‍ശന നിര്‍ദ്ദേശമാണ്. സെന്‍സസിന്റെ അടുത്ത ഘട്ടത്തില്‍ ഈ നമ്പറിനെക്കൂടി ആശ്രയിച്ചാകും വിവരശേഖരണം. നമ്പറിടാനുള്ള മാര്‍ക്കര്‍ പേന നല്‍കുന്നതും സര്‍ക്കാരാണ്. പടിഞ്ഞാറെ കടുങ്ങല്ലൂരിലെ ഒരു വീട്ടില്‍ സെന്‍സസ് എടുക്കാന്‍ ചെന്ന ടീച്ചര്‍ മുന്‍വശത്തെ ഭിത്തിയില്‍ എഴുതാന്‍ തുടങ്ങുമ്പോഴേക്കും വീട്ടുടമ ദേഷ്യത്തോടെ മാര്‍ക്കര്‍ പേന പിടിച്ച് പറിച്ച് ദൂരേക്കെറിഞ്ഞു. പെയിന്റടിച്ചിട്ട് അധികം നാളായില്ലെന്നതായിരുന്നു കാരണം. ".....സ്റ്റിക്കറുണ്ടെങ്കില്‍ ഒട്ടിച്ചാല്‍ മതി. അല്ലാതെ പേന കൊണ്ടെഴുതാന്‍ സമ്മതിക്കില്ലെ"ന്ന ഗൃഹനാഥന്റെ അസഭ്യവര്‍ഷത്തോടെയുള്ള നിലപാടില്‍ അപമാനിതയായി ആ പാവം അദ്ധ്യാപിക മടങ്ങി. സര്‍ക്കാരിന്റെ നിര്‍ദ്ദേശം നടപ്പാക്കാനെത്തിയ ഈ അദ്ധ്യാപികയോട് ഈ മനുഷ്യന്‍ (?) പറഞ്ഞു കൂട്ടിയതിനെ മുഴുവനും വിവരമില്ലായ്മ എന്ന ലേബലില്‍ ഒതുക്കിക്കളയാമോ?

അദ്ധ്യാപകവൃത്തിക്കു ശേഷം സര്‍വ്വേപ്പണിക്കിറങ്ങുന്ന ഈ പാവങ്ങള്‍ ഭയക്കേണ്ട അടുത്ത ദുരിതങ്ങളിലൊന്നാണ് വളര്‍ത്തു നായകളുടെ ശല്യം. വിവരങ്ങള്‍ ശേഖരിക്കുന്നതിന് ഒരു വീട്ടിലേക്ക് കയറിച്ചെല്ലുമ്പോഴായിരിക്കും ഈ 'കാവല്‍ക്കാര്‍' മണത്ത് മണത്ത് എത്തുക. ഇവരുടെ സ്വഭാവം എന്തായിരിക്കുമെന്ന് ഉടമകള്‍ക്കു പോലും പ്രവചിക്കാനാകില്ല. ചിലരാകട്ടെ വീട്ടിലുള്ളവര്‍ക്ക് കാവലായി പട്ടിയെയും അഴിച്ചിട്ട് പോയിരിക്കുകയാകും. അതിനെ നിയന്ത്രിക്കാന്‍ ഒരാളും ഉണ്ടാവുകയുമില്ല. കഴിഞ്ഞ തവണ ആലുവായിലൊരിടത്ത് സര്‍വ്വേക്കു പോയ ഒരു അദ്ധ്യാപികയെ പട്ടി കടിച്ചു പറിച്ച സംഭവവും നെഞ്ചിടിപ്പോടെയാണ് ഞാന്‍ വായിച്ചത്. ഭാഗ്യം കൊണ്ടാണത്രേ ടീച്ചര്‍ രക്ഷപെട്ടത്.

വിവരങ്ങള്‍ ശേഖരിക്കാന്‍ ഓരോരുത്തര്‍ക്കും കിട്ടിയ സ്ഥലങ്ങളിലെ വീടുകള്‍ മാത്രമല്ല, കടകള്‍ക്കും ആരാധനാലയങ്ങള്‍ക്കും എന്തിനേറെ കള്ളുഷാപ്പിനും ബാറിനും വരെ കെട്ടിട നമ്പറിടണം. ഇതിനു വേണ്ടി ചെല്ലുമ്പോള്‍ ഒരു അദ്ധ്യാപികയ്ക്ക് അനുഭവിക്കേണ്ടി വരുന്ന മാനസിക പീഡനത്തെക്കുറിച്ച് പറയാനുണ്ടോ? കാടുപിടിച്ചു കിടക്കുന്ന വീടാണെങ്കിലും അവിടെ ചെന്ന് കെട്ടിട നമ്പര്‍ ഇടുകയും ഒഴിഞ്ഞ കെട്ടിടം എന്ന് ഫോമില്‍ പൂരിപ്പിക്കുകയും വേണം. ഇവിടെയെല്ലാം ജീവന്‍ തന്നെ അപകടത്തിലാക്കുന്ന പലതിനെയും സ്തീ പുരുഷ ഭേദമില്ലാതെ അദ്ധ്യാപകര്‍ ഭയക്കേണ്ടേ?

തങ്ങള്‍ നല്‍കുന്ന വിവരങ്ങള്‍ സര്‍ക്കാര്‍ ആനുകൂല്യങ്ങള്‍ ലഭിക്കുന്നതിന് തടസ്സമാകുമെന്നാണ് ചിലരുടെ 'വിശ്വാസം'. തങ്ങള്‍ നല്‍കുന്ന വിവരങ്ങള്‍ ആദായനികുതി പ്രശ്നമുണ്ടാക്കിയാലോയെന്ന് മറ്റു ചിലര്‍ ഭയക്കുന്നു. വിവരങ്ങളറിയുന്നതിന് വേണ്ടി എന്യൂമറേറ്റര്‍ ചോദിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് തൃപ്തിയില്ലാതെ മറുപടി നല്‍കുന്നത് യഥാര്‍ത്ഥവിവരങ്ങള്‍ നല്‍കാന്‍ ഇവര്‍ മടിക്കുന്നത് കൊണ്ടാകാമെന്നു കരുതാമ. പക്ഷെ ഫോമിലേക്ക് ഇത് പകര്‍ത്തുമ്പോള്‍ അധികാരികളാരും അറിയുന്നതേയില്ല, എതു വികാരത്തോടെയാണ് ഈ മറുപടി ലഭിച്ചതെന്ന്. ഇതെല്ലാം സംയമനത്തോടെ, അതിലേറെ വേദനയോടെ കേട്ട, ആര്‍ക്കും കൊട്ടാവുന്ന ചെണ്ടയായ, അദ്ധ്യാപകരുടെ മനസ്സ് ആരു കാണാന്‍?

ഇനി സ്ത്രീ പുരുഷ ഭേദമില്ലാതെ അദ്ധ്യാപകരെല്ലാം അനുഭവിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളെപ്പറ്റിയുള്ള ചര്‍ച്ചയാകാം. പരിശീലനം മുതല്‍ തുടങ്ങുന്നൂ സെന്‍സസിലെ പ്രശ്നങ്ങള്‍. പലയിടത്തും മാതൃകാ ഫോമുകളും തയാറെടുപ്പിനുള്ള ബുക്കുകളും താമസിച്ചാണ്‌ എത്തിയത്‌. സെന്‍സസ്‌ കിറ്റ്‌ പരിശീലനത്തിനു ശേഷം നല്‍കുമെന്നു പറഞ്ഞിരുന്നുവെങ്കിലും പിന്നീട്‌ വില്ലേജ്‌ ഓഫീസുകള്‍ വഴി അതു വിതരണംചെയ്യുകയായിരുന്നു. എന്നാല്‍ ലഭിക്കുമെന്നു പറഞ്ഞിരുന്ന ക്യാരി ബാഗ്‌ പോലുള്ളവ ഇനിയും വില്ലേജ്‌ഓഫീസുകളില്‍ എത്തിയില്ലെന്നു പരാതിയുണ്ട്. തയാറെടുപ്പുകളില്‍ ഇത്രയുമാണെങ്കില്‍ സെന്‍സസ്‌ ഫീല്‍ഡിലും സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമല്ല.

ചിലപഞ്ചായത്തുകള്‍ മീറ്റിംഗ്‌ വച്ചു മാതൃകാപരമായാണ് സെന്‍സസ്‌ ഉദ്യോഗസ്ഥരെ സ്വീകരിച്ചത്‌.. എല്ലാ വാര്‍ഡ്‌ മെമ്പര്‍മാരെയും, ഒപ്പം സെന്‍സസ്‌ എന്യൂമറേറ്റര്‍മാരെയും സൂപ്പര്‍വൈസര്‍മാരെയും വിളിച്ചുകൂട്ടി പരസ്പരം പരിചയപ്പെടുത്തി. തുടര്‍ന്ന്‌ വാര്‍ഡ്‌ മെമ്പര്‍മാര്‍ സ്ഥലം കാണിച്ചു കൊടുക്കുകയും ഫോണ്‍നമ്പര്‍ പരസ്പരം കൈമാറുകയും ചെയ്തു. ഈ തരത്തില്‍ മാതൃകാപരമായി പ്രവര്‍ത്തിച്ച പഞ്ചായത്തുകളുണ്ടെങ്കിലും "ഇതു ഞങ്ങളെ അറിയിച്ചിട്ടില്ല, ഇതു ഞങ്ങളുടെ ജോലിയല്ല, നിങ്ങള്‍ക്ക്‌ ആവശ്യമെങ്കില്‍ പോയികണ്ടു പിടിക്കൂ, ചെയ്യൂ... "എന്ന നിലപാടെടുത്ത പഞ്ചായത്തുകളും ഉണ്ട്.

സെന്‍സസുമായി ഉയര്‍ന്നു കേട്ട മറ്റൊരു പ്രശ്നം, വേണ്ടത്ര പ്രചാരം സെന്‍സസിനു ലഭിച്ചിട്ടില്ല എന്നതാണ്‌. പലരും ഇതൊന്നും അറിഞ്ഞിട്ടേയില്ല. ഇതൊരു ആവശ്യമാണെന്ന ചിന്തയും ജനത്തിനില്ല. ആവശ്യമായ വിവരങ്ങളെക്കുറിച്ചൊരു ധാരണ പത്രമാസികകള്‍ വഴി നല്‍കിയിരുന്നുവെങ്കില്‍ ആളുകള്‍ അവ ഒരുക്കി വച്ചേനെ എന്ന അഭിപ്രായവും ചില അദ്ധ്യാപകര്‍ പ്രകടിപ്പിച്ചു. പലപ്പോഴും എന്യൂമറേറ്റര്‍മാര്‍ വീട്ടിലെത്തി ചോദിക്കുമ്പോളാണ്‌ ഈ വിവരങ്ങളും വേണം എന്ന്‌ ആളുകള്‍ അറിയുന്നത്‌.

ഓണം വന്നാലും ഉണ്ണി പിറന്നാലും ബ്രോയിലര്‍ ചിക്കന് രക്ഷയില്ല എന്ന അവസ്ഥയിലേക്കാണ് കാര്യങ്ങള്‍ മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നത്. സെന്‍സസ് അടക്കമുള്ള സര്‍വ്വേകളെല്ലാം രാജ്യത്തിന്റെ സുഗമമായ നടത്തിപ്പിനാവശ്യമായ സംഗതികളാണ്. അത് വിജയിപ്പിക്കേണ്ടത് അതിന്റെ ഭാഗമായ അദ്ധ്യാപകരടക്കമുള്ള ഉദ്യോഗസ്ഥസമൂഹത്തിന്റെ കടമയാണ്. കര്‍ത്തവ്യമാണ്. പക്ഷെ ഇതിനെല്ലാം ഭാഗമാകുന്നവര്‍ അനുഭവിക്കേണ്ടി വരുന്ന ദുരിതങ്ങളെപ്പറ്റി പലപ്പോഴും പുറംലോകം അറിയാറില്ല. കാരണം, അദ്ധ്യാപകര്‍ പൊതുവെ സമാധാനപ്രിയരാണ്. സമൂഹത്തിലെ തങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തെപ്പറ്റി (ഇന്ന് ഒരു സ്ഥാനവുമില്ല എന്നത് വാസ്തവം) ആലോചിച്ച് പരമാവധി പ്രശ്നങ്ങളില്ലാതിരിക്കാന്‍ മനസാ വാചാ കര്‍മ്മണാ ശ്രമിക്കുന്ന ഈ പാവങ്ങള്‍ അനുഭവിക്കുന്ന കഷ്ടപ്പാടുകളില്‍ ചിലത് കേട്ടിട്ട് എന്തു തോന്നുന്നു? ചുരുങ്ങിയ പക്ഷം, ഇനിയുള്ള സര്‍വ്വേകളിലെങ്കിലും ഒറ്റയ്ക്ക് ആരെയും വിവരശേഖരണത്തിനായി പറഞ്ഞുവിടരുതെന്ന് ഒരു പത്തു പേരെങ്കിലും അഭിപ്രായപ്പെട്ടാല്‍ സന്തോഷം. പ്രതികരണങ്ങളറിയാനായി കാത്തിരിക്കുന്നു.

ഗണിതമാമാങ്കം തിരുനാവായയില്‍..!

ചരിത്രപ്രാധാന്യമുള്ള നാടാണ് നിളാതീരത്തുള്ള തിരുനാവായ. ഗണിതപരമായും തിരുനാവായയ്ക്ക് പ്രാധാന്യമുണ്ട്. പല കേരളീയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും തങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ മറ്റുള്ളവരുമായി പങ്കുവച്ചിരുന്നത് നിളാതീരത്തു നടന്നിരുന്ന ഗണിതസദസ്സുകളിലായിരുന്നു. തിരുനാവായില്‍ പന്ത്രണ്ടു വര്‍ഷത്തിലൊരിക്കല്‍ നടന്നിരുന്ന മാമാങ്കമഹോത്സവത്തില്‍ എല്ലാ മേഖലകളിലേയും പ്രഗല്ഭര്‍ പങ്കെടുക്കാറുണ്ടായിരുന്നു എന്നാണ് ചരിത്രം പറയുന്നത്. എ ഡി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ തിരുനാവായില്‍ വച്ചു നടന്ന മാമാങ്കമഹോത്സവത്തിലാണ് അനേകം നൂറ്റാണ്ടുകളായി കേരളത്തില്‍ പ്രചാരമുള്ള ജ്യോതിഷഗണിത രീതിയായ പരഹിതസമ്പ്രദായം അംഗീകരിച്ചത്. ആര്യഭടീയഗണിതത്തില്‍ ചില പരിഷ്കാരങ്ങള്‍ വരുത്തി എ ഡി 683 ല്‍ ഹരിദത്തനാണ് ഈ രീതീക്ക് രൂപം നല്കിയത്.

തിരുനാവായ വീണ്ടും ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രമാമാങ്കത്തിനായി ഒരുങ്ങുന്നു. ആദികാലങ്ങളില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ തങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ മറ്റുള്ളവരുമായി പങ്കുവയ്ക്കാനാണ് മാമാങ്കത്തില്‍ പങ്കെടുത്തിരുന്നതെങ്കില്‍ ഇപ്പോള്‍ ഗണിതത്തില്‍ കഴിവും അഭിരുചിയുമുള്ള കുട്ടികളെ കണ്ടെത്താനാണ് മാമാങ്കം സംഘടിപ്പിക്കുന്നത്. കഴിഞ്ഞ ഒരു വര്‍ഷമായി കേരള ശാസ്ത്ര സാഹിത്യ പരിഷത്ത് മലപ്പുറം ജില്ലയില്‍ നടത്തി വരുന്ന പ്ര വര്‍ത്തനങ്ങളടെ തുടര്‍ച്ചയാണ് ഇത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ബോധനത്തിലെ പൊള്ളുമിടങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തുക, പരിഹാരം ആരായുക എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്ര മാമാങ്കത്തിന്റെ ലക്ഷ്യ ങ്ങളിലൊന്നാണ്. ഈ ലക്ഷ്യ ത്തോടേ മലപ്പുറം ജില്ലയിലെ മൂന്നു വിദ്യാഭ്യാസജില്ലകളിലും പാലക്കാട് ഡയറ്റിലെ അധ്യാപകനായ ശ്രീ നാരായണനുണ്ണിയുടെ നേതൃത്വത്തില്‍ ഗണിതാദ്ധ്യാപകര്‍ക്കായി എകദിന ശില്പശാല നടത്തി പൊള്ളുമിടങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി രേഖപ്പെടുത്തി. ശില്പശാലയോടനുബന്ധിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര മാമാങ്കം എന്ന് എന്തിന്, കേരളത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പാരമ്പര്യം , ഇന്റര്‍പ്ളെ ബിറ്റ് വീന്‍ അനാലിസിസ് ആള്‍ജിബ്ര & ജ്യോമട്രി, സമകാലിക ഗണിതം ബീജഗണിതം മുതല്‍ എന്നീ വിഷയങ്ങളില്‍ സെമിനാര്‍ നടത്തി. ഡോ. എം. പി. പരമേശ്വരന്‍, ഡോ. പി.ടി. രാമചന്ദ്രന്‍, ഡോ. എം. ജെ. പരമേശ്വരന്‍ (ഡയറക്ടര്‍, കേരള സ്ക്കൂള്‍ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്സ്), ജാതവേദന്‍( CUSAT) ഇവരാണ് സെമിനാര്‍ അവതരിപ്പിച്ചത്. കുട്ടികളില്‍ നിന്ന് പൊള്ളുമിടങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തി രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിനു വേണ്ടി വിവിധ ഉപജില്ലകളിലെ വിദ്യാര്‍ത്ഥികളെ പങ്കെടുപ്പിച്ചു കൊണ്ട് ജ്യാമിതീയ നിര്‍മിതികള്‍ ശില്പശാല നടത്തി. ശില്പശാലയ്ക്ക് രശ്മിദാസ് (ആര്‍ക്കിടെക്ട്), ബാലന്‍ (എന്‍ജിനീയര്‍), ബെന്നി അധ്യാപകന്‍, ഗവ. ഹൈസ്ക്കൂള്‍ പുലാങ്കോട് എന്നിവര്‍ നേതൃത്വം നല്കി.

ഗണിതത്തില്‍ കഴിവും അഭിരുചിയുമുള്ള കുട്ടികളെ കണ്ടെത്തുക, കോഴിക്കോട് സര്‍വകലാശാലയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ ഈ കുട്ടികള്‍ക്ക് തുടര്‍പ്രവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ നല്കുക, കേരളത്തിനകത്തും പുറത്തുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര വിദഗ്ദരുമായി സംവദിക്കുന്നതിന് അവസരമൊരുക്കുക എന്നീ ലക്ഷ്യങ്ങളോടെ കേരള പാഠ്യപദ്ധതിയില്‍ ഏഴാം ക്ളാസ്സില്‍ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാര്‍ഥികള്‍ക്കായി ഏപ്രില്‍ 25നു അഭിരുചി പരീക്ഷ നടത്തും. ‌‌
2010 മെയ് 8,9 തിയതികളിലായി തിരുനാവായില്‍ വച്ചു നടത്തുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രമാമാങ്കത്തില്‍ പ്രധാനമായും മൂന്നു തലങ്ങളിലുള്ള സംവാദങ്ങളാണ് നടക്കുന്നത്. കേരളത്തിനകത്തും പുറത്തുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര വിദഗ്ദര്‍ അഭിരുചി പരീക്ഷയിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്ന കുട്ടികളുമായും പൊള്ളുമിടങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്നതിനായി അധ്യാപകരുമായും ഗവേഷണത്തില്‍ താല്പര്യം വളര്‍ത്തുന്നതിന് ഗവേഷണതല്പരരായ വിദ്യാര്‍ഥികള്‍ ,അധ്യാപകര്‍ എന്നിവരുമായും സംവദിക്കും.
‌‌‌
തൂണിലും തുരുമ്പിലും ഗണിതം കാണാന്‍ കഴിയുന്ന രീതിയില്‍ ഗണിതമാമാങ്കനഗരിയാകെ അലങ്കരിക്കാനുള്ള തയ്യാറെടുപ്പിലാണ് സംഘാടകര്‍

Solid Unit

As our semester in geometry drew to a close, we investigated solids.  Rather than dispense formulas (Go, Kate!), we tried to follow the Van Hiele levels.  Play and touch to get some understanding and visual recognition, sorting to start thinking about characteristics, and summarizing findings in definition-like descriptions.  Then we started thinking about measures.  Surface area is so natural, especially combined with the idea of a net.  But what about volume.  It's very interesting to have students sort the power solids by volume.  The sphere and hemisphere are very subtle.  I find it's also very common for students (college math majors) to be unable to remember formulae.  "Isn't there one with a 4/3?"

We filled them with water, and with no instructions from me, they immediately set out to try and verify their conjectured order.  (It's not as messy as you'd think.  The top of the solids container makes a pretty good tray.)  Two methods come up:  adopting a unit, and measuring each of the shapes in terms of the smallest, and filling one and trying to pour it into the next.  The different methods lead to noticing different things.  It seems like the groups that adopt a unit notice more numerical relationships from the data, and the groups that directly compare notice more of the geometric properties of the solids themselves.  ("Where does the water go?")

Usually from this data, you can suggest the idea of comparing solids with similar relationships.  Cone, Sphere, Hemisphere, Cylinder; Triangular Prism-Pyramid, Cube-Square Pyramid, Cylinder-Cone; Square Prism-Rectangular Prism-Cube, Small Triangular Prism-Large Triangular Prism or Hexagonal Prism.  Brilliantly designed little set.  (Although it does get into the experimental error that Dan Meyer cautioned about (was excited by?) in his TEDx talk.)  We compare the exterior of the solids and the water compares the interior.  Significantly different for the smallest objects.  Students have suggested measuring then by immersion, but we have yet to try it.

So this brings us to the boundary of informal and formal argument/reasoning.  How can we relate the volume of the prism and pyramid.  I do like models that fit together, but then that's just one example.  Of course, then, I tried to model it in geogebra.

Webpage or geogebra file.




It didn't help most of the students.





So I tried again:

Webpage or geogebra file.





This was helpful.  Or far more helpful, anyway.





Both sketches make use of Cavalieri's Principle to show equivalent volume.  We got at that in class by doing some block building, where each student had the same number of blocks per level.  This we extended into understanding the volume of a generalized cylinder.

Resources:  One of my favorite resources for this kind of classical problem is David Joyce's Java implementation of Euclid's Elements.  Book XII is the one you need for these problems, especially Proposition 7 and 10.  Our department's java wiz David Austin is the one who connected us to those.  David A's visualization work is literally inspiring, and worth checking out.

We finished this all by building with polydron tiles a plethora of polyhedra.  I love how, left to their own devices, students invent regular polyhedra, antiprisms, various truncations, and completely original solids.  (Unfortunately these are pretty expensive, but they are durable and usable by kids as young as 2nd grade.  Cf.  ETA Cuisinaire.) I set them the challenge of building a polyhedron with volume between 1 and 2 liters as a fancy new container for a boutique.  The need for actual measurement and estimation as well as decomposition and formula use makes this quite a challenging problem.

Extension:  as I was thinking about this and looking for resources, I came across Archimedes' proof that a sphere is 2/3 of the circumscribed cylinder.  Famously, this is the relationship that Archimedes wanted put on his tomb.  I took the translation from the Archimedes' Palimpsest that was posted at Cut the Knot (an invaluable geometry site), added some clarifying comments and made it into a handout with an accompanying geogebra sketch.  The sketch isn't really for visualization, but allows the reader to experimentally test some of Archimedes' unjustified claims.  (All correct, though.  Were it today, the justification of the steps would be left as an exercise for the reader.  Pretty good exercise.)

കോണിസ്ബെര്‍ഗ് പാലങ്ങള്‍ - ഒരു സമസ്യ

ഗണിതശാസ്ത്രം സാമൂഹ്യപ്രശ്നങ്ങളുമായി എങ്ങനെ സംവദിക്കുന്നുവെന്നത് എക്കാലത്തും പ്രസക്തമായ ചോദ്യമാണ്. ആധുനിക വാര്‍ത്താവിനിമയ സംവിധാനത്തിന്റെ ഘടനാപരമായ നിലനില്പിന് കാരണമായ ഒരു കണ്ടെത്തലിനെക്കുറിച്ചാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. പഴയ സോവിയറ്റ് യൂണിയനില്‍, കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പട്ടണത്തിലൂടെ ഒഴുകുന്ന 'പ്രെഗല്‍ നദി'യില്‍ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ പണിതീര്‍ത്ത ഏഴു പാലങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രശ്നം. പില്‍കാലത്ത് 'കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പ്രഹേളിക' എന്ന പേരില്‍ പ്രസിദ്ധമായി. കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പാലങ്ങളുടെ ഘടന ഏതാണ്ട് മുകളിലെ ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നത് പോലെയാണ്. A,B എന്നീ ദ്വീപുകളെ C,D എന്നീ കരകളുമായി 7 പാലങ്ങളുപയോഗിച്ച് ബന്ധപ്പെടുത്തിടിരിക്കുന്നു. "ഒരു സ്ഥാനത്തുനിന്നും ആരംഭിച്ച്, ഒരു പാലത്തിലൂടെ ഒരു പ്രാവശ്യം മാത്രം യാത്ര ചെയ്ത്, പാലങ്ങളൊന്നും വിട്ടുപോകാതെ യാത്ര പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ കഴിയുമോ?" എന്നതായിരുന്നു അന്നത്തെ ഒരു പ്രശ്നം! മഹാനായ ലിയനാര്‍ഡ് അയ്ലര്‍ (Leonard Euler) 1736ല്‍ കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പട്ടണം സന്ദര്‍ശിച്ചപ്പോള്‍ ഈ പാലങ്ങള്‍ ഗണിതചരിത്രത്തിലേക്ക് കടന്നുവന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയ്ക്ക് തുടയ്ക്കം കുറിച്ചു. നെറ്റ്​വര്‍ക്ക് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആരംഭമായിരുന്നു അത്. 'ഗ്രാഫ്​തിയറി' എന്ന പേരില്‍ പില്‍കാലത്ത് ഈ ശാഖ പ്രസിദ്ധമായി. പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണത്തിന് ഓയിലര്‍ (അയ്​ലര്‍ എന്ന് പ്രൊ. എം. കൃഷ്ണന്‍നായരും ഡോക്ടര്‍. ബാബു ജോസഫും വിവര്‍ത്തനം ചെയ്തു കാണുന്നു) സ്വീകരിച്ച മാര്‍ഗ്ഗത്തെക്കുറിച്ച്......

A,B എന്നീ ദ്വീപുകളേയും C,D എന്നീ കരകളേയും ബിന്ദുക്കളായി കാണുന്നു. ഇവയെ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് താഴേ കാണും വിധം ഒരു നെറ്റ്​വര്‍ക്ക് തയ്യാറാക്കാം.
ഇതൊരു ഗ്രാഫാണ്. ബിന്ദുക്കളില്‍ വന്നുചേരുന്ന രേഖകളുടേയും വക്രങ്ങളുടേയും എണ്ണമാണ് ആ ബിന്ദുവിന്റെ ഡിഗ്രി എന്നു പറയുന്നത്. ഗ്രാഫില്‍ ഇത്തരം ബിന്ദുക്കള്‍ക്ക് 'നോഡ്' എന്നാണ് പറയുക. ഇവിടെ കാണുന്ന യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫില്‍ A(5),B(3),C(3),D(3)എന്നിങ്ങനെ എഴുതി 'നോഡ് ഡിഗ്രികള്‍ 'സൂചിപ്പിക്കാം. ഇവിടെ, നോഡ് ഡിഗ്രികളെല്ലാം ഒറ്റസംഖ്യകളാണെന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്.

മറ്റൊരു ഘടന വിശകലനം ചെയ്യാം.
ഇവിടെ മൂന്നു ദ്വീപുകളും ഏഴു പാലങ്ങളും കാ​ണാം. ഇതില്‍ നിന്നും നമുക്ക് ഒരു യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ നിര്‍ദ്ധാരണരീതിയെക്കുറിച്ച് അല്പം കൂടി വ്യക്തത കിട്ടും.

A(2),B(4),C(2),D(4),E(2) എന്നെഴുതാമല്ലോ? നോഡ് ഡിഗ്രികളെല്ലാം ഇരട്ടസംഖ്യകളാണ്.
കൂടുതല്‍ വിശകലനങ്ങളിലേക്കു കടക്കാതെ തന്നെ ഓയ്‌ലറുടെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ കുറിക്കട്ടെ.

1. നോഡ് ഡിഗ്രികളെല്ലാം ഇരട്ടസംഖ്യകളായാല്‍, എവിടെ നിന്ന് ആരംഭിച്ചാലും വിജയകരമായി യാത്ര പൂര്‍ത്തിയാക്കി ആരംഭിച്ച സ്ഥലത്തുതന്നെ എത്താന്‍ കഴിയും.

A--->a--->B--->b--->C--->c--->D--->d--->B--->e--->E--->f--->D--->g--->A

2.ഗ്രാഫിന്, ഒറ്റസംഖ്യാഡിഗ്രികളുള്ള നോഡുകള്‍ രണ്ടില്‍ കൂടുതലുണ്ടെങ്കില്‍ യാത്ര വിജയകരമായി പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ കഴിയില്ല. രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യാനോഡുകള്‍ ആണെങ്കില്‍, അവയില്‍ ഒന്നില്‍നിന്നും യാത്ര ആരംഭിച്ച് വിജയകരമായി അടുത്തതില്‍ എത്തിച്ചേരാന്‍ കഴിയും.

കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് ഗ്രാഫില്‍ എല്ലാം ഒറ്റസംഖ്യാ നോഡുകളായതിനാല്‍ യാത്ര സാദ്ധ്യമല്ല.

ചില നെറ്റ്​വര്‍ക്കുകളിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കുന്നു.

ഒരു ബിന്ദുവില്‍ നിന്നുമാരംഭിച്ച് പേപ്പറില്‍നിന്നും പെന്‍സില്‍ ഉയര്‍ത്താതെ ചിത്രം പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ പറ്റുമോ എന്ന് നോക്കാം.


ഇവയെല്ലാം യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫുകളായി കണ്ടുകൊണ്ട് വിശദീകരിക്കുമല്ലോ.

വിവിധ മേഖലകളില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നവര്‍ നമ്മുടെ സന്ദര്‍ശകരായിട്ടുള്ളതാണ് ഈ ബ്ലോഗിന്റെ വലിയ സൌഭാഗ്യങ്ങളിലൊന്ന്! നെറ്റ്​വര്‍ക്കിന്റെ അനന്തസാദ്ധ്യതകള്‍ വിശകലനംചെയ്തുകൊണ്ടുള്ള കമന്റുകള്‍ കൂടി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ഇതൊരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായും ലാബ് പ്രവര്‍ത്തനമായും മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്. ഒപ്പം, പുതിയ പഠന സാദ്ധ്യതകൂടിയുണ്ട്.

Math Book Reviews Wanted

Sol at Wild About Math has been doing a couple of neat things to help build or support the math/math ed blogging community.

First, he offered to promote your website/math efforts through guest posts.

Now he's offering to help you connect with publishers to review books of interest to you.  I've taken him up on it already... against his better judgment?  Surely you will do better than I could.  Drop him a line - his address is on the About page.

From classic Peanuts at comics.com.

അവധിക്കാലത്തെ കമ്പ്യൂട്ടര്‍ കോഴ്സുകള്‍

ഏപ്രില്‍, മെയ് മാസം..കുട്ടികള്‍ ആഹ്ലാദത്തിമിര്‍പ്പിലാണ്. പുസ്തകങ്ങള്‍ക്കും പഠനമേശകള്ക്കും മുന്നില്‍ തളച്ചിടാന്‍ ആരും തങ്ങളെ നിര്‍ബന്ധിക്കില്ലെന്ന സന്തോഷത്തിലാണവര്‍. മറ്റൊന്നും പഠിക്കാന്‍ അവര്‍ തയ്യാറല്ല. എന്നാല്‍ ഐടി പഠിക്കാനാണെങ്കിലോ. കമ്പ്യൂട്ടര്‍ വിദ്യാഭ്യാസത്തെ മറ്റു വിഷയങ്ങളേക്കാള്‍ താല്പര്യത്തോടെയാണ് കുട്ടികള്‍ കാണുന്നതെന്നതിനാല്‍ത്തന്നെ ഐടി പഠിക്കാന്‍ അവരെപ്പോഴേ റെഡി! വീട്ടുകാര്‍ക്കും സന്തോഷം. കുട്ടിക്കും സന്തോഷം. അങ്ങനെ വേനലവധിക്കാലത്ത് വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ പലതരം കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പഠനപദ്ധതികളില്‍ ചേരാന്‍ തയ്യാറാകുന്നു. ഈ അവസരം മുതലെടുത്തു കൊണ്ടു തന്നെ, മോഹിപ്പിക്കുന്ന പരസ്യവും അവകാശവാദവുമായി ഒട്ടേറെ സ്ഥാപനങ്ങളും സംഘടനകളും മത്സരിക്കുന്നു. എത് പഠനപദ്ധതിയാകും ഒരോരുത്തര്‍ക്കും ഇണങ്ങുക , എത്രയാകും ഫീസ്, എത്ര കാലദൈര്‍ഘ്യം വേണം എന്നിങ്ങനെ സംശയങ്ങള്‍ നിരവധിയാണ്. ഇതിനെല്ലാം ഒരു മറുപടിയാണ് ശ്രീ. വി. കെ ആദര്‍ശിന്‍റെ ഈ ലേഖനം. ഈ വെക്കഷന്‍ കാലം എങ്ങനെ ഫലപ്രദമായി വിനിയോഗിക്കണമെന്ന് വിശദമായ ഈ ലേഖനത്തിലൂടെ അദ്ദേഹം വിശദീകരിക്കുന്നു. നിങ്ങളുടെ കുട്ടിയോ കുടുംബത്തിലെ കുട്ടിയോ അതുമല്ലെങ്കില്‍ അടുത്തു പരിചയമുള്ള ഏതെങ്കിലും കുട്ടികളോ ഏറ്റവും മികച്ച കമ്പ്യൂട്ടര്‍ കോഴ്സുകളെപ്പറ്റി നിങ്ങളോട് ചോദിച്ചിട്ടുണ്ടാകാം. ഇല്ലെങ്കിലൊരു പക്ഷേ നാളെയെങ്കിലും ചോദിച്ചേക്കാം. എങ്കില്‍ ഒരു സംശയവും വേണ്ട, നിങ്ങള്‍ ഈ ലേഖനം വായിച്ചിരിക്കേണ്ടതാണ്.

Web Roundup

After sending links to a few people, I seem to always come to the conclusion that I should just be posting them.

Dan Meyer's excellent TEDx talk on Math Curriculum (and problem solving, and tech enhancement...):

What do you care enough about to make the subject of your 10-20 min TEDx talk?  You can find Mr. Meyer's excellent blog at http://blog.mrmeyer.com/, called dy/dan.  I saw this video first via Michael Paul Goldenberg. 

There's a kind of interesting web of blog posts on what interest is and how to generate it.  I'd start at wehrintheworld, which I found via Ben Casochna. (an entrepeneurial site.  Hmm.)  I'm interested because of how interest relates to engagement.  Which is Holy Grailish for me.

On an almost total aside, I've also been deeply interested in the fantastic images from Iceland's volcano, from two different educational sites:

• http://www.universetoday.com/2010/04/18/incredible-images-of-iceland-volcano-from-just-a-few-kilometers-away/
• http://www.swisseduc.ch/stromboli/perm/iceland/eyafallajokull_20100414-en.html 

 Both came up in What's Hot in Google Reader, so hat tip: internet.

വിദ്യാഭ്യാസ നിയമവും അധ്യാപകരും

കേന്ദ്ര വിദ്യാഭ്യാസ അവകാശനിയമം നടപ്പാക്കുന്നതോടെ എല്‍.പി, യു.പി സ്കൂളുകളിലെ അധ്യാപകരുടെ എണ്ണം വര്‍ധിക്കുമെന്നും ഹൈസ്കൂള്‍ അധ്യാപകരുടെ എണ്ണം കുറയുമെന്നുമുള്ള പ്രചാരണം കൊണ്ടുപിടിച്ചു നടക്കുകയാണല്ലോ? ഈ വിഷയസംബന്ധമായി കഴിഞ്ഞയാഴ്ച നാം നടത്തിയ സംവാദത്തിന് വേണ്ടത്ര പ്രതികരണങ്ങള്‍ ലഭിച്ചു കണ്ടില്ല. വെക്കേഷന്‍, വാല്യ്വേഷന്‍, സെന്‍സസ്ജോലി,...എന്നിങ്ങനെ നൂറുകൂട്ടം ന്യായങ്ങള്‍ നമുക്ക് നിരത്താനുണ്ടാകും. എങ്കിലും, അധ്യാപക സമൂഹത്തെയാകമാനം ബാധിക്കുന്ന ഈ വിഷയം കുറേക്കൂടി ഗൌരവതരമാകയാല്‍ , ഈയാഴ്ചയും സംവാദത്തിന് മറ്റൊരു വിഷയം തേടിപ്പോകേണ്ടതില്ലെന്നു തോന്നുന്നു. ഈയവസരത്തിലാണ്, സമാന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു പത്രത്തിന്റെ പ്രതികരണത്താളില്‍ അഹമ്മദുണ്ണി കളച്ചാല്‍ എഴുതിയ ഏറെ പ്രായോഗികമെന്നു തോന്നുന്ന (?) ചില നിര്‍ദ്ദേശങ്ങള്‍ ശ്രദ്ധയില്‍പെട്ടത്. ആദ്യം, അത് വായിക്കുക.....

കേന്ദ്ര വിദ്യാഭ്യാസ അവകാശനിയമം നടപ്പാക്കുന്നതോടെ എല്‍.പി, യു.പി സ്കൂളുകളിലെ അധ്യാപകരുടെ എണ്ണം വര്‍ധിക്കുമെന്നും ഹൈസ്കൂള്‍ അധ്യാപകരുടെ എണ്ണം കുറയുമെന്നും കേള്‍ക്കുന്നു. എട്ടാംതരം യു.പി. വിഭാഗത്തിന്റെ ഭാഗമാകുന്നതോടെ ഹൈസ്കൂള്‍ ഒമ്പതും പത്തും മാത്രമായി ചുരുങ്ങും. എന്നാല്‍, ഇപ്പോള്‍ ഹൈസ്കൂളിനോടു ചേര്‍ന്നു പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്ന ഹയര്‍സെക്കന്ററി പ്രത്യേക വിഭാഗമാണ്. ഒരേ മതില്‍ കെട്ടിനകത്ത് ഒരേ കെട്ടിടത്തില്‍ പ്രന്‍സിപ്പലിനു കീഴില്‍ ഹയര്‍സെക്കന്ററിയും, ഹെഡ്​മാസ്റ്റര്‍ക്കു കീഴില്‍ ഹൈസ്കൂളും പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നു. ഈ രണ്ടു വിഭാഗങ്ങളേയും ഒരേ കുടക്കീഴില്‍ കൊണ്ടുവരണം. (ഇതുകൊണ്ടുള്ള മറ്റൊരു പ്രധാന ഗുണം, ഭൂരിഭാഗം സ്ഥലങ്ങളിലും രണ്ടുവിഭാഗക്കാരുടേയും മനസ്സുകളിലുള്ള മുള്ളുവേലികളും അറുത്തുമാറ്റാം - ലേഖകന്‍)സംസ്ഥാനത്തെ മുഴുവന്‍ ഹൈസ്കൂളുകളും ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറിയാക്കി മാറ്റുകയും ഈ വര്‍ഷം പത്താംതരത്തില്‍നിന്ന് ഉപരിപഠനത്തിന് യോഗ്യത നേടുന്ന മുഴുവന്‍ കുട്ടികള്‍ക്കും അതേ വിദ്യാലയത്തില്‍ പതിനൊന്നാം തരത്തിലേക്ക് പ്രവേശനം നല്‍കുകയും വേണം.

ഹൈസ്കൂള്‍ വിഭാഗത്തിലെ യോഗ്യരായ (പി.ജി, ബി.എഡ്, സെറ്റ് നേടിയ) അധ്യാപകരെ ഹയര്‍ സെക്കന്ററിയിലേക്ക് പുനര്‍വിന്യസിച്ചാല്‍ ഹൈസ്കൂളുകളില്‍ അധികം വരുന്ന അധ്യാപകരെ സംരക്ഷിക്കാനാവും.കേരള വിദ്യാഭ്യാസ ചട്ടക്കൂട് നിര്‍ദേശിച്ചപോലെ എട്ടാംതരം പൂര്‍ത്തീകരിക്കുന്ന വിദ്യാര്‍ഥികളെ ഓരോരുത്തരുടെയും അഭിരുചിക്കനുസരിച്ച് സയന്‍സ്, ഹ്യുമാനിറ്റീസ്, കോമേഴ്സ്, തൊഴില്‍, കലാ സംസ്കാരം എന്നീ അഞ്ച് വിഷങ്ങളിലേതെങ്കിലുമൊന്നില്‍ ഒമ്പതുമുതല്‍ 12വരെ പഠനം തുടരാനുള്ള സാഹചര്യം കേരളത്തിലെ ഹൈസ്കൂള്‍ -ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറി ലയനത്തിലൂടെ സാധ്യമാവും.

എട്ടാംതരം പടിയിറങ്ങുന്നതോടെ അനേകം ക്ലാസ് മുറികളും ഫര്‍ണിച്ചറുകളും പാചകപ്പുരയുമടക്കം ലക്ഷങ്ങളുടെ മുതലും സ്ഥലവുമാണ് ഹൈസ്കൂളുകളില്‍ ഉപയോഗിക്കപ്പെടാതെ ഒഴിഞ്ഞുകിടക്കുക. നമ്മുടെ സംസ്ഥാനത്തിപ്പോള്‍ ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറി, വൊക്കേഷനല്‍ ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറി, ടെക്നിക്കല്‍ ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറി, ആര്‍ട്സ് ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറി, ഐ.എച്ച്.ആര്‍.ഡി നടത്തുന്ന ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറി തുടങ്ങി അഞ്ചുതരം ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറികള്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നുണ്ട്. ഇവക്കൊക്കെ പ്രത്യേകം ഡയറക്ടറേറ്റുകളും ഭരണ സംവിധാനങ്ങളുമുണ്ട്. ഹൈസ്കൂള്‍ വിഭാഗത്തിന് പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ ഡയറക്ടറുടെ കീഴില്‍ ഡി.ഡി, ഡി.ഇ.ഒ തുടങ്ങി വിപുലമായ ഭരണ സംവിധാനം വേറെ തന്നെ. മുഴുവന്‍ ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറി വിഭാഗങ്ങളെയും പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ വകുപ്പിനു കീഴില്‍ കൊണ്ടുവന്ന് ഒമ്പതുമുതല്‍ 12 വരെ ക്ലാസുകള്‍ നിയന്ത്രിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ ഭരണ ചെലവ് ഗണ്യമായി കുറക്കാം.

എല്‍.പി സ്കൂളുകളില്‍ ടി.ടി.സിക്കാരും യു.പിയില്‍ ബി.എഡുകാരും ഹയര്‍ സെക്കന്‍ഡറിയില്‍ (ഒമ്പതു മുതല്‍ 12 വരെ) പി.ജി, ബി.എഡ്, സെറ്റ് യോഗ്യത നേടിയവരും പഠിപ്പിക്കണമെന്ന നിര്‍ദേശം നടപ്പാക്കുന്നതിലൂടെ യോഗ്യതാ പ്രശ്നത്തിനും പരിഹാരമാവും. നിലവില്‍ പി.ജി യോഗ്യതയുള്ളവരെ 11, 12 ക്ലാസുകളില്‍ പഠിപ്പിക്കാന്‍ അനുവദിക്കുകയും ബാക്കിയുള്ളവര്‍ക്ക് അഞ്ചുവര്‍ഷത്തിനുള്ളില്‍ യോഗ്യത നേടാനുള്ള അവസരം നല്‍കുകയും വേണം. ഇങ്ങനെ ചെയ്യുന്ന പക്ഷം ഹൈസ്കൂള്‍ അധ്യാപകരുടെ തസ്തികകള്‍ നഷ്ടപ്പെടുന്നത് ഒരുപരിധിവരെ കുറക്കാം.

പിന്‍കുറി:

ഈ വിഷയം ശ്രദ്ധയില്‍പെടുത്തിയപ്പോള്‍, ഒരധ്യാപകന്റെ നിര്‍ദ്ദേശം.

• 16 വര്‍ഷം വരെ സര്‍വ്വീസുള്ളവര്‍ക്ക് അഞ്ചുവര്‍ഷത്തിനകം പിജി, സെറ്റ് നിര്‍ബന്ധമാക്കണം.


• 16 മുതല്‍ 23 വര്‍ഷം വരെ സര്‍വ്വീസുള്ളവര്‍ക്ക് അഞ്ചുവര്‍ഷത്തിനകം സെറ്റ് മാത്രം.


• 23 നു മുകളില്‍ സര്‍വ്വീസുള്ളവര്‍ക്ക് നിബന്ധനകളില്ലാതെ പ്രൊമോഷന്‍.

ഇദ്ദേഹത്തിന് സര്‍വ്വീസ് 23 വര്‍ഷം കഴിഞ്ഞു!!

ഈ തത്വത്തില്‍ തെറ്റുണ്ടോ?

ജ്യാമിതിയില്‍ ചില സൂഷ്മചിന്തകളുണ്ട്.ഒപ്പം ചില യുക്തിഭംഗങ്ങളും.ഇതില്‍ പലതും നമ്മുടെ ചിന്തകള്‍ക്കുണ്ടാകുന്ന താളപ്പിഴകളായിരിക്കും. പക്ഷെ ഇത്തരം ചിന്തകളാണ് കണ്ടുപിടുത്തങ്ങളിലേക്കും ചിന്തകളിലേക്കും നമ്മെ നയിക്കുക. അവ ഒരിക്കലും മറക്കാത്ത തിരിച്ചറിവുകളായി നമ്മളില്‍ അവശേഷിക്കുകയും ചെയ്യും. പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണരീതിയില്‍ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായി പ്രശ്നവും നിര്‍ദ്ധാരണരീതിയും നല്‍കുകയും അതിലെന്തെങ്കിലും കുഴപ്പങ്ങളുണ്ടോയെന്ന് അന്വേഷിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പരീക്ഷണമാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ക്ലാസ് റൂമുകളില്‍ അവതരിപ്പിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന വിധത്തിലാണ് ഇത് തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നത്. വിവിധതരം ത്രികോണങ്ങളെപ്പറ്റി കുട്ടികള്‍ക്ക് അറിയാന്‍ കഴിയും. മൂന്നു വശങ്ങളും തുല്യമായ ത്രികോണമാണ് സമഭുജത്രികോണം,രണ്ടുവശങ്ങള്‍ തുല്യമാകുമ്പോള്‍ സമപാര്‍ശ്വത്രികോണം. മൂന്നുവശവും വ്യത്യസ്തങ്ങളായാല്‍ വിഷമഭുജത്രികോണം. ശരിയല്ലേ? ഇനി നമ്മളൊരു തത്വം പറയാന്‍ പോകുന്നു.

വിഷമഭുജത്രികോണങ്ങളെല്ലാം സമപാര്‍ശ്വത്രികോണങ്ങളാണ്

എന്തു തോന്നുന്നു. ഇതൊരു അബദ്ധമാണെന്ന് തോന്നുന്നുണ്ടോ? വെറുതെ പറയുന്നതല്ല. നമ്മള്‍ പഠിച്ചിട്ടുള്ള , പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയതത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഇപ്പറഞ്ഞത് തെളിയിക്കാന്‍ നോക്കാം. എവിടെയെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടെന്നു തോന്നിയാല്‍ അപ്പോള്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടണം. റെഡിയല്ലേ? അപ്പോള്‍, നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

• ത്രികോണം ABC ഒരു വിഷമഭുജത്രികോണം.(Scalene Triangle)
• AB താഴെ വരുംവിധം വരച്ചോളൂ.
• കോണ്‍ C യുടെ സമഭാജിയും ,AB യുടെ ലംബസമഭാജിയും വരക്കാമല്ലോ.
• അവ G യില്‍ ഖണ്ഡിക്കുന്നു.
• GF ലംബം BC ,GD ലംബം AC , GE ലംബം AB വരക്കുക.
• ത്രികോണം CDG യും ത്രികോണം CFG യും സര്‍വ്വസമങ്ങളാണല്ലോ?(angle-angle-side).
• അപ്പോള്‍ DG = FG , CD = CF ആകുന്നു.
• G എന്നത് AB യുടെ ലംബസമഭാജിയിലായതുകൊണ്ട് AG = BG ആണല്ലോ.
• മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ സര്‍വ്വസമത അനുസരിച്ച് ത്രികോണം DAG യും ത്രികോണം FBG യും സര്‍വ്വസമങ്ങളാണ്.
• അപ്പോള്‍ DA യും FB യും തുല്യം.
• CD = CF , DA = FB.
• അതിനാല്‍ CD + DA = CF + FB.
• അപ്പോള്‍ AC = BC ആകുമല്ലോ?
• അതായത് ത്രികോണം ABC ഒരു വിഷമഭുജത്രികോണമല്ല, സമപാര്‍ശ്വത്രികോണമാണ് .
  

ഒരു കാര്യം തീര്‍ച്ച. ഈ തെളിവില്‍ എവിടെയോ ചില പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. പക്ഷെ അത് കണ്ടെത്തണം. അതാണ് നമ്മുടെ പോസ്റ്റിന്‍റെ ഉദ്ദേശ്യലക്ഷ്യം.

Wallwisher in Maths Classrooms

Wallwisher.com :: Words that stick via kwout

Here are some examples of how teachers are using Wallwisher in their Maths Classrooms.

1. What have you learnt in Maths class so far this year?
   Tell me what you have enjoyed, what you know now that you didn't know before and anything else about your maths learning that you think I should know!
2. Geometry Resources Wall
   This wall has all sorts of useful Geometry information about Polygons, Quadrilaterals, and Triangles
3. Look at these wonderful ideas shared by Tom Barrett

വിഷുവിനെക്കുറിച്ച് അറിയാന്‍ - പുരാണവും പാരമ്പര്യവും

ഇന്ന് വിഷു. വിഷുവിനെ വരവേല്‍ക്കുന്നതിന്റെ ഭാഗമായി സംക്രാന്തി ദിനമായ ഇന്നലെ പടക്കവും മത്താപ്പൂവും പൂത്തിരിയുമെല്ലാം കത്തിച്ച് ആഹ്ലാദിച്ച് ഉല്ലസിച്ച് കുട്ടികളെല്ലാം ഇന്നത്തെ പ്രഭാതത്തിനായി കാത്തിരിക്കും. അതിരാവിലെ കണിയൊരുക്കി അമ്മ വന്നു വിളിക്കും. കണികാണിക്കാന്‍. ശ്രീകൃഷ്ണരൂപത്തിനു മുന്നില്‍ സ്വര്‍ണം, നെല്ല്, അരി, വസ്ത്രം, വിളക്ക്, കണ്ണാടി, കളഭം, കണിവെള്ളരി, കണിക്കൊന്ന, ലഭ്യമായ പഴങ്ങള്‍, നാണയം എന്നിവയൊരുക്കി വെച്ച് വിഷുക്കണി. അതിനു ശേഷം മുതിര്‍ന്നവരില്‍ നിന്നും കുട്ടികള്‍ക്ക് വിഷുക്കൈ നീട്ടം. അവധിക്കാലത്തിന് നിറമേകാനെത്തുന്ന വിഷു അവര്‍ക്കും അവര്‍ക്കൊപ്പമുള്ള കുടുംബത്തിനും സന്തോഷത്തിന്‍റെ പ്രതീകമാണ്. യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ എന്താണ് വിഷുവിന്‍റെ പ്രസക്തി?

ഭൂമീ ദേവിയുടെ പുത്രനായ നരകാസുരനുമായ ബന്ധപ്പെട്ട കഥകളാണ് പ്രധാനമായും വിഷുവിനു പിന്നില്‍ പുരാണങ്ങളിലുള്ളത്. ഭാഗവതം ദശമസ്ക്കന്ധത്തെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഒരു കഥയില്‍ പ്രാഗ്ജ്യോതിഷത്തിലെ ദാനവരാജാവാണ് നരകാസുരന്‍. ഇദ്ദേഹം വിവിധ രാജ്യങ്ങളില്‍ നിന്നും 16000 രാജകുമാരിമാരെ തട്ടിക്കൊണ്ടുവന്ന് ഔദകം എന്ന സ്ഥലത്ത് തടവില്‍ പാര്‍പ്പിച്ചു. സീതയെ കാണാതായ സമയത്ത് പ്രാഗ്ജ്യോതിഷത്തില്‍ക്കയറി അന്വേഷിക്കണമെന്ന് സുഗ്രീവന്‍ തന്‍റെ സൈന്യത്തോട് പറയുന്നതായി രാമായണം കിഷ്ക്കിന്ധാകാണ്ഡത്തിലെ 42-ം സര്‍ഗത്തിലും പരാമര്‍ശമുണ്ട്. ഇങ്ങനെ കാലങ്ങളോളം സകല ലോകങ്ങളെയും ഭീതിയിലാഴ്ത്തിയ ഈ ദാനവരാജാവ് ഇന്ദ്രന്‍റെ വെണ്‍കൊറ്റക്കുടയും ഇന്ദ്രമാതാവായ അദിതിയുടെ കുണ്ഡലങ്ങളും അപഹരിച്ചതോടെയാണ് പരാതി ശ്രീകൃഷ്ണനിലെത്തുന്നത്. സത്യഭാമയും ശ്രീകൃഷ്ണനും ഗരുഡനും കൂടി നരകാസുരനോടും സൈന്യത്തോടും യുദ്ധം ചെയ്യുകയും നരകാസുരനെ വധിക്കുകയും ചെയ്തു. ഇതിന്‍റെ ഭാഗമായാണ് വിഷു ആഘോഷിക്കുന്നതെന്ന് ഒരു കൂട്ടര്‍ വിശ്വസിക്കുന്നു. ഇതേ വിശ്വാസം തന്നെയാണ് അസമിലെ 'ബിഹു'വിനും ബീഹാറിലെ 'ബൈഹാഗി'നും പഞ്ചാബിലെ 'വൈശാഖി'ക്കും തമിഴ്നാട്ടിലെ 'പുത്താണ്ടി'നുമെല്ലാം പിന്നിലുള്ളത്.

ഇനി ജ്യോതിശാസ്ത്രവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിപ്പറയുമ്പോള്‍ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ദിവസമാണ് വിഷു. വിഷുവം (Equinoxes) ആണ് വിഷുവായി മാറിയത്. രാത്രിയും പകലും തുല്യമായി വരുന്നതിനെയാണ് വിഷുവം എന്ന് പറയുന്നത്. വര്‍ഷത്തില്‍ രണ്ട് വിഷുവങ്ങളാണ് ഉള്ളത്. ഈ ദിവസം ഭൂമദ്ധ്യരേഖയില്‍ സൂര്യകിരണങ്ങള്‍ ലംബമായി പതിക്കുന്നു. ഒരു വര്‍ഷത്തില്‍ രണ്ടുപ്രാവശ്യമാണ് ഇതുണ്ടാകുന്നത്. വസന്തവിഷുവമായ (vernal equinox) മാര്‍ച്ച് 21 നും ശരത് വിഷുവമായ (Autumnal equinox) സെപ്റ്റംബര്‍ 23 നും. പക്ഷെ സൂര്യന്‍ മേടം രാശിയിലേക്ക് സംക്രമിക്കുന്ന ദിനത്തോടനുബന്ധിച്ചാണ് വിഷുദിനത്തിന്‍റെ ആഘോഷങ്ങള്‍.

വിഷുവിനോടനുബന്ധിച്ച് പുതുവര്‍ഷം ആരംഭിക്കുന്ന ഒരു സമ്പ്രദായവും കേരളത്തിലുണ്ട്. ഇത് കേരളത്തില്‍ മാത്രമല്ലെന്നാണ് ജ്യോതിഷത്തിലെ രാശിചക്രം നല്‍കുന്ന സൂചന. രാശി ചക്രത്തില്‍ ഏറ്റവും മുകളില്‍ ഇടതുവശത്തു നിന്നും ആരംഭിക്കുന്ന രാശി മേടമാണല്ലോ. ഇതിനെ ആസ്പദമാക്കിത്തന്നെ ഒരു വര്‍ഷത്തെ ഭാവി ഗണിച്ച് വിഷുഫലം പറയുന്ന രീതി ഇപ്പോഴും നിലനില്‍ക്കുന്നു. ഇതിനു കിട്ടുന്ന ദക്ഷിണയ്ക്ക് യാവനയെന്നാണ് പേര്. കാര്‍ഷികോത്സവത്തിന്‍റെ ഭാഗമായതിനാല്‍ വിഷുക്കണിയൊരുക്കുന്നതില്‍ ധാന്യങ്ങള്‍ക്കും ഫലവര്‍ഗ്ഗാദികള്‍ക്കും നല്ല സ്ഥാനം ലഭിച്ചു പോരുന്നു.

അടുത്ത വര്‍ഷത്തേക്കുള്ള നിത്യോപയോഗ വസ്തുക്കളുടെ സംഭരണത്തിനായി പണ്ടു കാലത്ത് മാറ്റച്ചന്തകളും (ബാര്‍ട്ടര്‍ സമ്പ്രദായം) നിലവിലുണ്ടായിരുന്നു. എറണാകുളം ജില്ലയിലെ പറവൂരിനടുത്ത് (പഴയകാല മുസിരിസിനു സമീപം) ചേന്ദമംഗലത്ത് വിഷുദിനത്തോടനുബന്ധിച്ച് ഇന്നും മാറ്റച്ചന്തകള്‍ നടന്നു പോരുന്നു. സംക്രാന്തി ദിനമായ വിഷുത്തലേന്ന് പറമ്പിലെ ചപ്പും ചവറുകളും അടക്കം വീട്ടിലെ ഉപയോഗശൂന്യമായ വസ്തുക്കളും എരിച്ചു കളയുന്നു. ഇത് 'വിഷുക്കരിക്കല്‍' എന്നാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്. ആണ്ടു പിറപ്പിനെ ശുദ്ധിയായി സ്വീകരിക്കലാകാം ഈ പ്രവൃത്തികളുടെ ഉദ്ദേശ്യം. തുടര്‍ന്ന് കഷ്ടപ്പാടുകളെയും ഇല്ലായ്മകളെയും തകര്‍ത്തു കളയുന്നതിനെ പ്രതീകാത്മകമായി പടക്കം പൊട്ടിച്ചും മത്താപ്പൂ, മേശപ്പൂ, കമ്പിത്തിരി, പൂത്തിരി തുടങ്ങിയ കത്തിച്ചും പുത്താണ്ടിനെ സ്വീകരിക്കാനൊരുങ്ങുന്നു.

വിഷുവുമായി മാത്രം ബന്ധപ്പെട്ട ഒട്ടേറെ പദ -സമ്പ്രദായങ്ങള്‍ ഇന്നും ഭാഷയിലും കേരളീയ സമൂഹത്തിലും കാണാനാകും. തിരുവിതാംകൂറിലെ വിഷുക്കണിയൊരുക്കല്‍ പടുക്കയിടല്‍ എന്നാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്. കണിവസ്തുക്കളുപയോഗിച്ച് പായസമുണ്ടാക്കിക്കുടിക്കുന്നതോടെ പടുക്കമുറിക്കല്‍ ചടങ്ങും അവസാനിക്കും. പഴയകാലത്ത് ജന്മിമാര്‍ക്ക് വിഷുക്കണിക്കായി കുടിയാന്മാര്‍ ഫലവര്‍ഗങ്ങളും ധാന്യങ്ങളും നല്‍കുന്നതിനെ വിഷുവെടുക്കല്‍ എന്നും തിരിച്ച് കുടിയാന് ജന്മിയുടെ വക തേങ്ങയും എണ്ണയും അരിയുമെല്ലാം നല്‍കുന്നതിനെ വിഷുവല്ലി എന്നുമാണ് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നത്. കൊന്നപ്പൂവും നെല്‍ക്കതിരുകളും ചേര്‍ത്ത് കണിക്കായി തൂക്കുന്നതാണ് കണിക്കെട്ട്. വിഷുദിനപ്പുലരിയില്‍ കുട്ടികള്‍ താളമേളങ്ങളുമായി വിഷുക്കണിയുമായി വീടുകളില്‍ ചെന്ന് കണികാണിക്കുന്നു. തേങ്ങാപ്പാലില്‍ പുന്നെല്ലിന്‍റെ അരി വറ്റിച്ചുണ്ടാക്കുന്ന വിഷുക്കട്ട (കണിയപ്പം) ശേഖരിക്കാന്‍ കുട്ടികളിറങ്ങുന്നതിനെ കണിവിളി എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്. കാര്‍ഷികവൃത്തിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടുള്ള ഉത്സവമാണ് വിഷു എന്ന് ഊട്ടിയുറപ്പിക്കുന്ന ഒന്നാണ് മേടപ്പത്ത് അഥവാ പത്താമുദയം. ഈ ദിവസമാണ് വിത്തുവിതയ്ക്ക് കര്‍ഷകര്‍ തെരഞ്ഞെടുക്കുന്നത്. വിത്തുവിതയ്ക്ക് മുമ്പേ വിഷുദിനത്തില്‍ കര്‍ഷകര്‍ പണിയാരംഭിക്കും. വയലില്‍ കലപ്പ കൊണ്ട് വിഷുച്ചാലൊരുക്കും. ഇ‍ത് കഴിഞ്ഞ് വീട്ടില്‍ച്ചെല്ലുമ്പോള്‍ അരി, ശര്‍ക്കര, തേങ്ങ, പയര്‍ എന്നിവയിട്ടൊരുക്കിയ വിഷുക്കഞ്ഞി കാത്തിരിക്കുന്നുണ്ടാകും. ഇതിനെല്ലാം കൂട്ടായി പാട്ടുകളുമായി വിഷുപ്പക്ഷിയും രംഗത്തുണ്ടാകും.

"വിത്തും കൈക്കോട്ടും
കള്ളന്‍ ചക്കേട്ടു
കണ്ടാല്‍ മിണ്ടേണ്ട"

എന്നെല്ലാം പാടുന്ന വിഷുപ്പക്ഷി കാര്‍ഷികസ്മരണകളെ എങ്ങനെയെക്കെയോ ഓര്‍മ്മിപ്പിക്കുന്നുണ്ട്. അങ്ങനെ നിറപറയും നിലവിളക്കും കണിക്കൊന്നയുടെ ശോഭയും ചേര്‍ന്ന് ഒരു വിഷുപ്പുലരികൂടി കടന്നുപോകുന്നു.......... മയില്‍പീലിയും ഓടക്കുഴലും കാര്‍ഷിക സമൃദ്ധിയുടെ ഐശ്വര്യവുമെല്ലാം കണികണ്ട് ഒരു പുതുവര്‍ഷത്തിന് കൂടി ആരംഭമായി. ഐശ്വര്യവും സമൃദ്ധിയും ഒന്നു ചേരുന്ന ഈ ശുഭദിനത്തില്‍ ഞങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ട വായനക്കാര്‍ക്ക് ഒരായിരം വിഷു ആശംസകള്‍ .ഈ വര്‍ഷം സമ്പല്‍‌സമൃദ്ധിയുടേതു ഐശ്വര്യത്തിന്‍റേതുമാവട്ടെ. ഏവര്‍ക്കും മാത്‌സ് ബ്ലോഗിന്‍റെ വിഷുദിനാശംസകള്‍

ഈ പേപ്പര്‍ കൂനയുടെ ഉയരം കണക്കാക്കാമോ?

നമ്മുടെ സ്ഥിരം സന്ദര്‍ശകരില്‍ പലര്‍ക്കും ഇപ്പോഴും ബ്ലോഗ് സന്ദര്‍ശിക്കാനാകുന്നില്ലായെന്ന പരാതി നിലനില്‍ക്കുന്നു. അത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ശ്രമത്തിലാണ് ഞങ്ങള്‍. www.mathsblog.in എന്ന ഡൊമൈന്‍ വഴി കയറാനാകുന്നില്ലെന്ന് പറഞ്ഞ് പലരും വിളിച്ചപ്പോഴും www.mathematicsschool.blogspot.com ഉപയോഗിക്കാനാണ് ഞങ്ങള്‍ മറുപടി കൊടുത്തത്. കമന്റ് ബോക്സിലെ നമ്മുടെ സ്ഥിരം കൂട്ടുകാരെയും കാണാനാകാത്തതിന്റെ കാരണവും അതു തന്നെയായിരിക്കുമെന്ന് കരുതുന്നു. എന്തായാലും ഡൊമൈന്‍ സംബന്ധമായ പ്രശ്നങ്ങളെല്ലാം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ബ്ലോഗ് ടീമംഗമായ ശ്രീനാഥ് സാര്‍ അടക്കമുള്ളവര്‍ ശ്രമിക്കുന്നുണ്ട്. അതിനിടയില്‍ത്തന്നെ, പസിലുകള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാത്തതിനെക്കുറിച്ചുള്ള പരിഭവം നിറഞ്ഞ മെയിലുകള്‍ക്ക് മറുപടിയായി പസില്‍ ചര്‍ച്ചയ്ക്കായി ഒരു പോസ്റ്റ് പ്രസിദ്ധീകരിക്കട്ടെ. പേര് വെളിപ്പെടുത്താതെ ഒരു അധ്യാപകന്‍ അയച്ചു തന്ന ഒരു ചോദ്യം.തന്റെ പത്താം ക്ലാസ് ഗണിതാധ്യാപകനായ സുകുമാരന്‍ മാഷ് ഒരു ഫ്രീ പിരീഡില്‍ മുമ്പെങ്ങോ നല്‍കിയ ചോദ്യമാണെന്നും അതു കൊണ്ടു തന്നെ അദ്ദേഹത്തെ സ്മരിക്കാനുള്ള ഒരു അവസരമായി ഇതിനെ കാണാനാഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്നും മെയിലിലുണ്ട്. കാഴ്ചയില്‍ ഇതൊരു ലളിതമായ ചോദ്യമാണെന്നു തോന്നുന്നു. ഉത്തരം ലഭിച്ചു കഴിഞ്ഞാല്‍ തുടര്‍ ചോദ്യങ്ങള്‍ പ്രതീക്ഷിക്കാമല്ലോ. അധികം നീട്ടാതെ ഇനി ചോദ്യത്തിലേക്ക് കടക്കാം

ഇക്കഴിഞ്ഞ വാര്‍ഷിക പരീക്ഷയ്ക്കായി എന്‍റെ സ്ക്കൂളില്‍ ഒരു വലിയൊരു ഷീറ്റ് പേപ്പര്‍ വാങ്ങി. പരീക്ഷാ പേപ്പറിന് വേണ്ട അളവില്‍ അതിനെ പലതായി കീറിമുറിച്ച് ഒന്നിനു മീതെ ഒന്നായി അടുക്കി വെച്ചാല്‍ ഒരിഞ്ചു കനത്തില്‍ ആയിരം ഷീറ്റ് കടലാസ് ഉണ്ടാകുമത്രേ. പകഷെ ഇതൊന്നും അറിയാത്ത പുതിയ പ്യൂണ്‍ ഈ വലിയ ഷീറ്റ് കടലാസ് ആദ്യം നടുവേ കീറി അത് ഒന്നിനു മീതെ ചേര്‍ത്തു വെച്ച് വീണ്ടും കീറി.എല്ലാം കൂടി വീണ്ടും ചേര്‍ത്ത് വെക്കുന്നു. പിന്നെയും കീറുന്നു. അവയെല്ലാം കൂടി ചേര്‍ത്ത് വെക്കുന്നു. ഈ പരിപാടി ആകെ അന്‍പതു തവണ ചെയ്തു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ചോദ്യം മറ്റൊന്നുമല്ല. അവസാനം കീറിമുറിക്കലെല്ലാം കഴിഞ്ഞ് അതെല്ലാം കൂടി ചേര്‍ത്ത് വെക്കുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന കടലാസ് കൂനയ്ക്ക് എത്ര അടി ഉയരമുണ്ടാകും?

I'm a Learner

Great send up of the "I'm a mac" ads.  Via David Coffey via Nick Ceglarek, super superintendent of Hudsonville Schools.  And proud GVSU alumnus.  They are just too good not to share.  Spread them around!

And the piece de resistance:

The makers, 21st Century Learning, or C21L, are a Colorado cooperative.   They have a wiki, which has more info than their homepage. 

What is it about CO?  That's where  the Public Education & Business Coalition is, which launched the whole Mosaic of Thought comprehension movement.

പ്യുവര്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍

ഇന്നലെ വായിച്ച ആത്മാര്‍ത്ഥത നിറ‌ഞ്ഞ ഒരു കമന്റിന് വാക്കുകള്‍കൊണ്ടൊരു മറുപടി മതിയാവില്ലെന്നു തോന്നി.വിനോദ് സാറിനെക്കുറിച്ചുതന്നെയാണ് ഞാന്‍ പറയുന്നത്."ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രധാനമായും ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്ന ഒരു ബ്ലോഗ്‌ മികച്ച ഒരു ഗണിത വിദ്യാര്‍ഥിയെ വളര്‍ത്തിയെടുക്കുന്നതിലായിരിക്കണം കൂടുതല്‍ ശ്രദ്ധ നല്‍കേണ്ടത് എന്ന് തോന്നുന്നു"ഈ വാക്കുകളിലാണ് ഞാന്‍ തരിച്ചുനിന്നത്.ഇതൊരു തിരിച്ചറിവിന് കാരണമായി.ശാസ്ത്രം സാങ്കേതിക വിദ്യയ്ക്ക് വഴികാട്ടിയാവണം.സാങ്കേതികത കാലത്തിനതീതമല്ല. ഒരിക്കലും ആകുകയുമില്ല.ശാസ്ത്രവും ചിന്തകളും കാലത്തെ അതിജീവിക്കുന്നു.ചിലപ്പോള്‍ പ്രക്യതിയുടെ സമസ്തസൗന്ദര്യവും ഒപ്പിയെടുക്കാന്‍ ശാസ്ത്രം നിമിത്തമാകുന്നു.മേഘം ,പച്ചിലപ്പടര്‍പ്പ്,കടല്‍തീരം എന്നിവയുടെ ഘടനയില്‍ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഗണിതാവിഷ്ക്കാരം ഗണിതവീദ്യാര്‍ഥികള്‍ക്ക് ഇന്ന് പഠനവിഷയമാണ്.

ശുദ്ധ ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതി(PURE CONSTRUCTION)യെക്കുറിച്ചുളള ചിന്തകളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ഗണിതശാസ്ത്ര മേളകളിലെ ഒരു മല്‍സരഇനമാണ് പ്യൂവര്‍കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍.അളന്നെടുക്കുകയോ അളവെടുക്കുകയോ ചെയ്യാതെ കോമ്പസസ്സും റൂളറും ( straight edge) മാത്രമുപയോഗിച്ച് പൂര്‍ത്തിയാക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികളാണിവ. നിര്‍മ്മാണത്തിനാകട്ടെ നല്ല വ്യക്തതയും സൂഷ്മതയും അനിവാര്യവാണ്.ഈ നിര്‍മ്മിതിയൊന്നു നോക്കൂ...

ഒരു ത്രികോണത്തെ തുല്യവിസ്തീര്‍ണ്ണമുള്ള രണ്ടുഭാഗങ്ങളാകത്തക്കവിധം ഒരു വശത്തിനു സമാന്തരമായ രേഖകൊണ്ട് വിഭജിക്കുക.

നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കിക്കഴിയുമ്പോള്‍ ആദ്യം വരച്ച ത്രികോണം ഒരുലംബകമായും മറ്റോരു ത്രികോണമായും മാറിയിരിക്കും.അവയുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കും.

താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വിധം നമുക്ക് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കാം.



ത്രികോണം ABC വരക്കുക. ഏതുതരം ത്രികോണവുമാകാം.



AB എന്ന വശത്ത് ഒരു ബിന്ദു D അടയാളപ്പെടുത്തുക.



Dയിലൂടെ ABയ്ക്ക് ലംബമായി രേഖ വരക്കുക.



D കേന്ദ്രമായി DA ആരമായി വരക്കുന്ന ചാപം ലംബത്തെ Eയില്‍ മുറിക്കുന്നു.അപ്പോള്‍ AE എന്നത് root 2 * AD ആകുന്നു.



ഇനി EB വരക്കാം.A കേന്ദ്രമായി,AD ആരമായി വരക്കുന്ന ചാപം AE യെ F ല്‍ മുറിക്കുന്നു,ഇനി F ലൂടെ EBയ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരക്കുക ഈ രേഖ AB യെ Gയില്‍ സന്ധിക്കുന്നു.



ഇനി G യിലൂടെ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരച്ച് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കാം.



നിര്‍മ്മിതി ഒരു പ്രവര്‍ത്തനക്രമം മാത്രമാകരുത്. അത് ചിന്തയുടെ ഗണിതവല്‍ക്കരണം തന്നെയാണ്. ഏതൊരു ഘട്ടത്തിനു പിന്നിലും ഒരു ജ്യാമിതീയ തത്വം ഉണ്ടായിരിക്കും.ആ തത്വത്തിന്റെ ദൃശ്യവല്‍ക്കരണമായിരിക്കണം നിര്‍മ്മിതി.

ഇനി മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിലെക്കുതന്നെ പോകാം. ത്രികോണം AEB യില്‍ EB യ്ക്ക് സമാന്തരമായാണ് FG വരക്കുന്നത്.അതുകൊണ്ടുതന്നെ AF/AE = AG/AB = 1/root2 ആയിരിക്കും.G യിലൂടെ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരക്കുന്ന രേഖ AC യെ 1 : root 2 എന്ന അംശബന്ധത്തില്‍ വിഭജിക്കും. ഈ രേഖ AC യെ വിഭജിക്കുന്നത് H ലായാല്‍

AH:AC = 1: root 2

സദ്യശ്യത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായ കോണുകള്‍ക്ക് എതിരെയുള്ള വശങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികം.

ത്രികോണം AGH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം : ത്രികോണം ABC യുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം = 1 : 2

അതായത് ത്രികോണം AGH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം = ലംബകം GBCH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം



ഈ ചര്‍ച്ചയുടെ ഗതി ഏതാണ്ട് മനസ്സിലായിട്ടുണ്ടാകുമെന്നു കരുതി മറ്റൊരു നിര്‍മ്മിതിയെക്കുറിച്ചു പറയട്ടെ.

വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ 1 : 2 : 3 ആകത്തക്കവിധം 3ഏക കേന്ദ്രവൃത്തങ്ങള്‍ വരക്കുക. വരച്ചു നോക്കി എങ്ങനെ അതിനു സാധിച്ചു എന്നു കൂടി വിശദീകരിക്കുമല്ലോ. ശുദ്ധ ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ച സജീവമാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട്.....

ഈ സുഡോക്കു സോള്‍വ് ചെയ്യാമോ?

സുഡോക്കു (Sudoku) എന്ന ജപ്പാന്‍ വാക്ക് കേള്‍ക്കാത്തവരുണ്ടാകുമോ? വേറിട്ട ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രഹേളികയാണ് സുഡോക്കു. ഏക സംഖ്യ (Single Number) എന്നാണ് ഈ വാക്കിന്‍റെ അര്‍ത്ഥം. പൊതുവില്‍ നമുക്ക് പരിചിതമായ സുഡോക്കുകളെല്ലാം 81 കള്ളികള്‍ (ബ്ലോക്കുകള്‍) ഉള്ളവയായിരിക്കും. അതിനുള്ളില്‍ത്തന്നെ ഒന്‍പത് 3X3 ചതുരങ്ങളെ കാണാന്‍ കഴിയും. കട്ടിയുള്ള വരകള്‍ കൊണ്ട് ഈ 3X3 ചതുരങ്ങളെ തിരിച്ചറിയാം. ലളിതമായ മൂന്ന് നിബന്ധനകളാണ് കളിയുടെ ജീവന്‍. 81 കള്ളികളില്‍ പലയിടങ്ങളിലായി ചില സംഖ്യകള്‍ തന്നിട്ടുണ്ടാകും. ഓരോ വരിയിലും ഓരോ നിരയിലും ആവര്‍ത്തിക്കാതെ 1 മുതല്‍ 9 വരെ സംഖ്യകളെ വിന്യസിക്കണം. മാത്രമല്ല ഓരോ 3X3 കളങ്ങളിലും ഇതു പോലെ 1 മുതല്‍ 9 വരെ സംഖ്യകളെ വരാന്‍ പാടുള്ളു. ഈ നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ചറിയുമ്പോള്‍ത്തന്നെ ഒരു കാര്യം മനസ്സിലാകും. ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിലുള്ള അവഗാഹത്തേക്കാളൊക്കെ അപ്പുറം യുക്തിചിന്തയ്ക്കാണ് ഇവിടെ പ്രാധാന്യം. പല സ്ക്കൂളുകളിലും കുട്ടികളുടെ ബുദ്ധിശക്തി വര്‍ദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനും ശ്രദ്ധാശക്തി വളര്‍ത്തുന്നതിനുമായി സുഡോക്കുകള്‍ നല്‍കാറുണ്ട്. പല മലയാളം ദിനപ്പത്രങ്ങളിലും പല ലളിതനിലവാരത്തിലുള്ള സുഡോക്കുകള്‍ എല്ലാ ദിവസവും പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത് കണ്ടിരിക്കുമല്ലോ. നിലവാരമുണ്ടെന്ന് തോന്നുന്ന ഒരു സുഡോക്കു പൂരിപ്പിക്കുന്നതിനായി ഇതോടൊപ്പം താഴെ നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ആരാണ് ആദ്യം ഉത്തരം നല്‍കുന്നതെന്ന് നോക്കാം.

പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിന്‍റെ അവസാനത്തിലാണ് യൂറോപ്പില്‍ സുഡോക്കു അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നത്. ഫ്രാന്‍സിലെ ലേ സീക്കിള്‍ ദിനപ്പത്രം 19-11-1892 ല്‍ ഭാഗികമായി സംഖ്യകള്‍ നല്‍കിക്കൊണ്ട് ഈ മാന്ത്രിക ചതുരം അവതരിപ്പിച്ചു. ഇതില്‍ രണ്ടക്കസംഖ്യകളും ഉള്‍പ്പെട്ടിരുന്നു. ഈ പത്രത്തിന്റെ എതിരാളികളായ ലാ ഫ്രാന്‍സ് 1895 ജൂലൈ 6 ന് ഏതാണ്ട് ഇന്നത്തേത് പോലെ പരിഷ്കൃതമെന്ന് വിളിക്കാവുന്ന സുഡോക്കുവിന്റെ പുതുരൂപം അവതരിപ്പിച്ചു. പിന്നീട് വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്ക് ശേഷം 1986 ല്‍ ജാപ്പനീസ് പസില്‍ കമ്പനിയായ നിക്കോളി ഈ കളിക്ക് സുഡോക്കു എന്നു പേര് നല്‍കുന്നത്. 2005 ഓടെ ഈ കളി ലോക ശ്രദ്ധ പിടിച്ചു പറ്റി. കേരളത്തിലും ഇപ്പോള്‍ ഈ കളിക്ക് നല്ല പ്രചാരമുണ്ട്. അതിന്‍റെ ഭാഗമായാണ് ഈ ചോദ്യം നമ്മുടെ ബ്ലോഗിലൂടെ നല്‍കുന്നത്. ആരായിരിക്കും ഈ പ്രശ്നം ആദ്യം സോള്‍വ് ചെയ്യുന്നതെന്നറിയാന്‍ ആകാംക്ഷ ഞങ്ങള്‍ക്കുമുണ്ട്. പ്രശ്നചിത്രം ശ്രദ്ധിക്കുക
ഉത്തരം നല്‍കുന്നവര്‍ താഴെ നല്‍കിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാസമൂഹത്തെ കോപ്പി ചെയ്തെടുത്ത് പൂരിപ്പിക്കേണ്ടവ പൂരിപ്പിച്ച് പേസ്റ്റു ചെയ്താല്‍ മതിയാകും.
-------------------------
p p p l p 3 p l p 7 8 l
p 1 p l 4 p p l p 2 5 l
p 7 p l p 5 p l 4 p p l
-------------------------
p p p l p p 1 l p p p l
3 p 8 l p p p l p p p l
6 p p l p p 7 l p p 2 l
-------------------------
p p p l p 9 p l p p 4 l
4 p 7 l p p p l p p p l
p p p l p p 2 l p 9 p l
-------------------------

#100 Common Math errors

കമന്റ് വീണ്ടും സുഗമമായി

ബ്ലോഗ് ആക്ടീവായി. ഡിസ്ക്കസ് ഉപയോഗിച്ചപ്പോഴുള്ള ചില കമന്റുകള്‍ നഷ്ടമായെങ്കിലും അവയെല്ലാം പി.ഡി.എഫ് രൂപത്തില്‍ ഉടന്‍ അപ്ലോഡ് ചെയ്യുന്നുണ്ട്. ഡിസ്ക്കസ് റിമൂവ് ചെയ്തു. പഴയ പോലെ എല്ലാവര്‍ക്കും തന്നെ ബ്ലോഗര്‍ ഐഡി ഉപയോഗിച്ച് കമന്റ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ഓരോ കമന്റിനും ഇനി ഓട്ടോമാറ്റിക്കായി നമ്പര്‍ വന്നുകൊള്ളും. മറുപടി നല്‍കുമ്പോള്‍ ഈ നമ്പര്‍ സൂചിപ്പിച്ചാല്‍ മതിയാകും. സഹകരണത്തിന് നന്ദി

#99 Appreciating Mathematics around

A collection of pictures from surrounding showing Mathematics...

Similarity Day

4 Similarity Stations

All work on extending 1 dimensional similarity (distances) to 2 or 3 dimensions (area and volume).  This is very counter-intuitive for students, and I believe they need multiple experiences to retrain their intuition.  Of these, (1) is probably the toughest because students jump to linear relationship for area and volume.  (3) is the best for countering that ill assumption, although (4) can help also.

1.  Big Trouble.

Finn Mac Cumhail, (pronounced Finn McCool; no, really) leader of the ancient Fianna warriors, and gifted with "magic, insight and the power of words" when he was the first to eat of the Salmon of Knowledge, and ended up a giant. (Only in Ireland do magic powers come with the gift of gab.)  One of his rival giants, Benandonner, lived across the sea in Scotland. Benandonner wasn't able to swim across the sea to Ireland for a proper gigantic challenge so Finn tore pieces of volcanic rock into columns to make the causeway to Scotland. 

Benandonner came across to Ireland and Finn's house, where Finn was dressed up as a baby. Yes, a baby over 15 feet long! The "baby" bit the Scottish giant's hand off and the Scot took off for Scotland, terrified at how big Finn himself must be if his baby was so big.

Draw a picture for each of these questions.  Label edges with dimensions.
a)    If Finn was really a 15 foot long baby, how tall would the father be? (State any assumptions clearly.)
b)    Say a typical 6-foot tall Celtic Warrior weighs 9 stone.  (Ancient weight measure.)  How much might the 15 foot tall Finn weigh?  (Weight, density being equal, corresponds roughly with volume.)
c)    If it takes three square yards of wolf pelt to make a fierce looking warrior garb for your typical 6 foot warrior, how many much material would Finn need to make a costume?  If that takes two wolves for 3 square yards, how many wolves for Finn?
d)    Give the measurements (dimensions, area, volume, weight, etc.) of a giant sized something you might find in Finn’s house.  (Iron cooking skillets feature heavily in the Benandonner story, but don’t feel limited by that.)

(Tomie DePaola did a version of this story, but he mixes up Finn, Benandonner an Cuchalain - pronounced 'Kuh-kullen' - another Irish hero of myth.)

2.  Tangram
Requires multiple tangram sets or copies of paper tangrams.  Can eliminate step (1) for time.

1)    Use all the Tangram pieces of one set to make a square.
2)    Since all squares are similar (and why is that?) this large square is similar to the small square in the set.  What is the scale factor? 
3)    If the small square has area = 1, what is the area of the large square?
4)    Use the tangram pieces to make a figure and two other figures that are similar to the first.  (Bigger and even bigger, or bigger and smaller, or...) 
5)    Prove the similarity of your figures in (4) by using ratios.

See also, the teacher.net Grandfather Tang lesson.










3.  3-D Similarity

Requires: 100 cubes or so

1)    Build the building with mat plan (also called a base plan): 

2)    Build a geometrically similar building twice as large in height, width and length.
3)    Prove your building is similar with ratios of corresponding sides.
4)    Build or design a building three times larger than the original.  Explain how you know what is needed.
5)    Find the volume and surface area of each building.  What relationship do the enlarged surface areas and volumes have with the original?  Why is it like that?
6)    Can you design a building which has a buildable enlargement of 125%?  Find their surface and volumes. What scale factor relationship do the buildings' area and volume have?  How does that compare to (5)?

4.  Dilation
Requires: computer access

Open the Hexagon Dilation geogebra sketch or webpage.

In this sketch, the blue hexagon is dilated from the red point by a scale factor of S. The sketch allows you to change S, and move the dilation point or any of the blue vertices. It also measures the area and perimeter of the hexagon and the dilation.

The check box lets you show a square with area equal to 1 square unit for comparison, and its dilation by a scale factor S also. 

1)    Try varying the scale factor S. What do you notice? What questions do you wonder about?
2)    Collect data on the areas and perimeters for a fixed blue hexagon and its dilation as you vary S.
3)    Can you find a pattern in your data? Can you find a formula for the purple area and perimeter in terms of the original measurement and S?
4)    Use your formula to make a prediction for a scale factor and original area of your choice. Use the sketch to check. Does your formula work for a scale factor that is a decimal? Does it work for a scale factor less than 1?
5)    Compare the edges of the original and the edges of the image. What do you notice as you vary S? As you move the center of dilation?
6)    Can you predict the coordinates of the image of a vertex if the center of dilation is at the origin? If it is not at the origin?

Extension:  Open the sketch gigantotron.ggb (or webpage) and investigate 3-D similarity.  What questions would you ask to investigate?
(Now also on GeoGebraTube and a mobile applet.)

#98 Puzzles 4 You

INTEL 41 RQ മദര്‍ബോര്‍ഡും ലിനക്സും

ഇന്റലിന്റെ 41 RQ മദര്‍ബോഡ് ഉള്ള പുതിയ ചില സിസ്റ്റങ്ങളില്‍ നമ്മുടെ ഐടി സ്കൂള്‍ ലിനക്സ് 3.2 വേര്‍ഷന്‍ ഇന്‍സ്റ്റാള്‍ ചെയ്തു കഴിഞ്ഞാല്‍, ഗ്രാഫിക്കലായി (GUI) കയറാന്‍ കഴിയുന്നില്ലെന്ന് പരാതിപ്പെട്ടുകൊണ്ടിരിക്കുന്നവരുടെ എണ്ണം വര്‍ദ്ധിച്ചുവരുന്നതായി കണ്ടപ്പോഴാണ് ഒരു പരിഹാരത്തിനായി വിദഗ്ദരുടെ സഹായം തേടിയത്. കിട്ടിയ പരിഹാരം, 'സ്കൂള്‍ ലിനക്സ് 3.8' ന്റേയും 'എഡ്യൂസോഫ്റ്റ് ലെന്നി'യുടേയും രണ്ടു ഡിവിഡികള്‍ സഹിതം കൊടുങ്ങല്ലൂരില്‍ 'ആരോ സിസ്റ്റംസ്' എന്ന സ്ഥാപനം നടത്തുന്ന സുനീതിന് കൈമാറി ഫലപ്രദമാണെന്നുറപ്പു വരുത്തിയതിനു ശേഷമാണ് ഇതു പോസ്റ്റ് ചെയ്യുന്നത്. ആ പരിഹാരമെന്തെന്നല്ലേ?....വായിക്കുക.

Joke's On You

New resource at NCTM's Illuminations, an activity that parallels proof structure with the structure of jokes.

But the main reason for this post is to spread the news of their 2010 Illuminations institute.  A group of teachers will come together to write new and interesting lessons.  Only open to K-12 teachers, so I'm out.  But you could be in!  Find out more.  There's a stipend...

From the always entertaining sometimes profane xkcd.

"Well, the telling of jokes is an art of its own, and it always rises from some emotional threat. The best jokes are dangerous, and dangerous because they are in some way truthful."  - Kurt Vonnegut

"The love of truth lies at the root of much humor." - Robertson Davies

#97 Math Chat

#96 Text Savvy

പുരാതന മനുഷ്യന്‍റെ ബുദ്ധിയും ആധുനിക ബുദ്ധിയും

സയന്‍സ് ഇത്രയേറെ വികസിക്കുന്നതിന് നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്ക് മുമ്പേ മനുഷ്യന്‍ പ്രകൃതിയുടെ ഓരോ താളവും തിരിച്ചറിഞ്ഞിരുന്നു. ഗ്രഹണവും സൂര്യായനവും മാത്രമല്ല ആകാശത്ത് കൊള്ളിമീനുകള്‍ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന ദിവസം വരെ കൃത്യമായി പ്രവചിക്കാന്‍ പഴയ തലമുറയ്ക്ക് സാധിക്കുമായിരുന്നു. പക്ഷെ അതില്‍ പലതും അന്ധവിശ്വാസങ്ങള്‍ക്കടിമപ്പെട്ടിരുന്നുവെന്നത് ഒരു വാസ്തവം. എന്തായിരുന്നു പുരാതനസമൂഹത്തെ ഈ നേട്ടങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കാന്‍ ഹേതുവായതെന്ന് ചോദിച്ചാല്‍ ഉത്തരം സ്പഷ്ടമാണ്. സൂക്ഷ്മ നിരീക്ഷണവും യുക്തിചിന്തയും തന്നെ. തങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലുകളില്‍ ഗഹനമായ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ നടത്തുകയും അതില്‍ നിന്ന് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തിച്ചേരാനും ഇവര്‍ക്കു സാധിച്ചു. ആധുനിക തലമുറ പലതും നിഷേധിക്കുന്നതു പോലെ ചെറുതെങ്കിലും മറ്റൊരു വിഭാഗം ഇതിനെ ദുരുദ്ദേശത്തോടെ വ്യാഖ്യാനിക്കാനും ശ്രമിക്കുന്നുണ്ട്. പന്ത്രണ്ടും ഏഴും തമ്മില്‍ ഗുണിക്കാന്‍ ആവശ്യപ്പെട്ടാല്‍ കാല്‍ക്കുലേറ്റര്‍ എടുക്കുന്ന ഈ കാലഘട്ടത്തില്‍, അമ്മാവന്‍റെ വീട്ടിലെ ഫോണ്‍നമ്പര്‍ നോക്കാന്‍ മൊബൈല്‍ ഫോണ്‍ വേണ്ടി വരുന്ന ഈ കാലഘട്ടത്തില്‍ ഈ ചര്‍ച്ചയ്ക്ക് ഏറെ പ്രാധാന്യമുണ്ടെന്ന് ഏവരും സമ്മതിക്കാതിരിക്കാന്‍ ഇടയില്ല. അതുകൊണ്ടുതന്നെ, വളര്‍ന്നു വരുന്ന തലമുറ ഇതെക്കുറിച്ച് ബോധവാന്മാരായിരിക്കണം എന്ന ആഗ്രഹത്തോടെ ലിറ്റില്‍ സയന്റിസ്റ്റിനെ അവലംബിച്ചുകൊണ്ടാണ് ഈ ലേഖനം തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നത്. എ.ഡി അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന ചരിത്രപ്രസിദ്ധനായ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനും ഗണിതജ്ഞനുമായ ആര്യഭടന്റെ അത്ഭുതാവഹമായ കണ്ടെത്തലുകളും ആധുനിക ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിന്റെ കണ്ടെത്തലുകളും തമ്മില്‍ നമുക്കൊന്ന് താരതമ്യം ചെയ്യാം.


ഭൂമി ഭ്രമണം ചെയ്യാനെടുക്കുന്ന സമയം ആര്യഭടന്‍ ഗണിച്ചതും ആധുനിക ജ്യോതിശാസ്ത്രം കണ്ടെത്തിയതും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എത്ര സെക്കന്റിന്റേതാണെന്ന് അറിയുമോ? വെറും .009 സെക്കന്റിന്റെ വ്യത്യാസം. ഇത് നമ്മെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തുന്നില്ലേ? കാരണം, ആര്യഭട്ടന്‍ ജീവിച്ച കാലഘട്ടവും ഇതെല്ലാം കണ്ടെത്തിയ കാലഘട്ടവും തമ്മിലുള്ള അന്തരം അഞ്ചു നൂറ്റാണ്ടിന്റേതാണ്. ഒരു വര്‍ഷത്തിന്റെ നീളമോ, ആര്യഭടന്‍ കണ്ടെത്തിയതും ജ്യോതിശാസ്ത്രം കണ്ടെത്തിയതും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വെറും 3 മിനിറ്റ് 20 സെക്കന്റിന്റേത്. ഭൂമിയുടെ ചുറ്റളവിലുള്ള വ്യത്യാസമോ വെറും 106.9585 കിലോമീറ്റാറിന്റേതു മാത്രം. അതായത് വെറും 0.02 ശതമാനത്തിന്റെ വ്യത്യാസം. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഭാരതത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന ഭാസ്ക്കരന്‍ രണ്ടാമന്‍ വര്‍ഷത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തിയത് 365.2588 ദിവസമെന്നും ആധുനിക ജ്യോതിശാസ്ത്രം കണ്ടെത്തിയത് 365.2563 ദിവസങ്ങളെന്നും. വ്യത്യാസം എത്രയാണ്? വെറും 0.0025 ന്റേത് അല്ലേ. അതായത് പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ വെച്ചു തന്നെ ഒരു വര്‍ഷത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം മുന്നൂറ്ററുപത്താഞ്ചേകാല്‍ ദിവസമെന്ന് മനുഷ്യന് അറിയാമായിരുന്നുവെന്ന് സാരം. അതും ഒരു ഇലക്ട്രോണിക്ക് ഉപകരണങ്ങളുമില്ലാതെ. ഇവിടെയാണ് മനുഷ്യന്റെ ബുദ്ധിശക്തിയുടെ വലിപ്പം നാമറിയുന്നത്.

ആര്യഭടന്റെ മറ്റ് കണ്ടെത്തലുകളെന്തെല്ലാമായിരുന്നുവെന്ന് നോക്കാം.

ഭൂമി ഭ്രമണം ചെയ്യുന്നുണ്ട്

ഭൂമിയുടെ ഈ ഭ്രമണം കൊണ്ടു തന്നെയാണ് നക്ഷത്രങ്ങള്‍ ചലിക്കുന്നതായി തോന്നുന്നത്.

മുന്നോട്ട് ചലിക്കുന്ന വാഹനത്തില്‍ ഇരിക്കുമ്പോള്‍ വസ്തുക്കള്‍ പുറകോട്ടു പോകുന്നതായി തോന്നുന്നത് പോലെയാണ്

ഭൂമിയില്‍ ഇരിക്കുന്ന നമ്മള്‍ ചലിക്കുന്നതറിയാതെ സ്ഥിരമായി നില്‍ക്കുന്ന നക്ഷത്രങ്ങള്‍ ചലിക്കുന്നതായി തോന്നുന്നത്.

ചന്ദ്രനും ഗ്രഹങ്ങളും തിളങ്ങുന്നത് സൂര്യപ്രകാശത്താലാണ്

രാഹു, കേതു ഇവ സാങ്കല്പിക ഗ്രഹങ്ങളാണ്

ചന്ദ്രന്‍ ഭൂമിയുടെ നിഴലില്‍ കടക്കുന്നത് കൊണ്ടാണ് ചന്ദ്രഗ്രഹണം ഉണ്ടാകുന്നത്. അല്ലാതെ രാഹുവും കേതുവും ചന്ദ്രനെ വിഴുങ്ങുന്ന കൊണ്ടല്ല

ചന്ദ്രന്റെ നിഴല്‍ ഭൂമിയില്‍ വീഴുമ്പോഴാണ് സൂര്യഗ്രഹണമുണ്ടാകുന്നത്

ആര്യഭടന്റെ യഥാര്‍ത്ഥ ചിത്രങ്ങള്‍ ലഭ്യമല്ല. ഇന്റര്‍ യൂണിവേഴ്സിറ്റി സെന്റര്‍ ഫോര്‍ ആസ്ട്രോണമി ആന്റ് ആസ്ട്രോ ഫിസിക്സിന് (IUCAA) മുന്നില്‍ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന ഭാവനാജന്യമായ ഒരു ശില്പമാണ് പോസ്റ്റിനോടൊപ്പമുള്ള ചിത്രത്തിലുള്ളത്.

പ്രൊജക്ടിന്റെ ഭാഗമായി കൂടുതല്‍ ചിന്തിക്കാന്‍ എന്ന വിഭാഗത്തില്‍ നിന്നും ഒരു ചോദ്യം ചോദിക്കട്ടേ,

ഭൂമധ്യരേഖയിലൂടെയുള്ള റയില്‍പാത വഴി ഒരാള്‍ മണിക്കൂറില്‍ 1667 കിലോമീറ്റര്‍ വേഗതയില്‍ പടിഞ്ഞാറോട്ട് നിര്‍ത്താതെ സഞ്ചരിക്കുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ. അയാള്‍ക്ക് സൂര്യന്‍ അസ്തമിക്കുന്നത് എപ്പോഴായിരിക്കും? എന്തു കൊണ്ട് ?

#95 Ramblings of a Math Mom

നല്ലകാലമോ, നല്ല 'കാല'നോ..?

കേന്ദ്രമന്ത്രിസഭ പാസ്സാക്കിയ വിദ്യാഭ്യാസാവകാശ നിയമം, പരക്കെ ചര്‍ച്ചാവിഷയമായിരിക്കുകയാമല്ലോ..? 'അധ്യാപകര്‍ക്ക് നല്ലകാലം' എന്നാണ് 'മലയാളമനോരമ' പത്രം കഴിഞ്ഞദിവസം വെണ്ടക്ക നിരത്തിയത്. എന്നാല്‍ ഹൈസ്കൂള്‍ അധ്യാപകരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇതൊരു ഇടിത്തീയായിത്തീര്‍ന്നേക്കാമെന്നാണ് 'മാതൃഭൂമി' പറയുന്നത്! തീര്‍ന്നില്ല, അണ്‍-എയിഡഡ് വിദ്യാലയങ്ങളിലെ 25 ശതമാനം സീറ്റുകളില്‍ തദ്ദേശവാസികളായ കുട്ടികളെ പഠിപ്പിക്കാനുള്ള ചെലവ് സര്‍ക്കാര്‍ വഹിക്കുമെന്ന നിബന്ധന സര്‍ക്കാര്‍ എയ്ഡഡ് മേഖലയുടെ നട്ടെല്ലൊടിക്കുമെന്ന് 'ദേശാഭിമാനി'. പള്ളിക്കൂടങ്ങളുടെ, മുഴുവന്‍ അധികാരങ്ങളും തദ്ദേശസ്വയംഭരണസ്താപനങ്ങള്‍ക്കു കൈമാറി, കേന്ദ്രം ഉത്തരവാദിത്തത്തില്‍ നിന്നും പതുക്കെ പിന്മാറുകയാമെന്ന് 'മാധ്യമം'.......
'മാതൃഭൂമി' പത്രം പറയുന്നത് മുഴുവനായും വായിക്കൂ....


"കേന്ദ്രവിദ്യാഭ്യാസാവകാശ നിയമത്തിനനുസൃതമായി സ്‌കൂളുകളില്‍ നടത്തിയേക്കാവുന്ന പുനര്‍വിന്യാസം ദൂരവ്യാപകമായ ഫലങ്ങള്‍ സൃഷ്ടിക്കും. ക്ലാസ് പുനഃക്രമീകരണത്തിന്റെ ഫലമായി പതിനായിരത്തോളം ഹൈസ്‌കൂള്‍ അധ്യാപകര്‍ അധികമായിത്തീരുമെന്നതാണ് പ്രധാന ആശങ്ക. എന്നാല്‍ എല്‍.പി,യു.പി. വിഭാഗങ്ങളില്‍ അധ്യാപക-വിദ്യാര്‍ത്ഥി അനുപാതം കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ പതിനായിരക്കണക്കിന് അധ്യാപകരുടെ അധികതസ്തികകള്‍ സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യും.

കേന്ദ്ര നിയമത്തിന്റെ അന്തസ്സത്തയനുസരിച്ച് രാജ്യത്താകമാനം ഏകീകൃതമാനദണ്ഡമാണ് നിലവില്‍വരിക. ഇതനുസരിച്ച് സംസ്ഥാനത്ത് നിലവിലുള്ള എല്‍.പി, യു.പി., ഹൈസ്‌കൂള്‍ സംവിധാനമാണ് മാറ്റിമറിക്കപ്പെടുന്നത്. നിലവില്‍ ഒന്നുമുതല്‍ നാലു വരെ ലോവര്‍പ്രൈമറിയും അഞ്ച് മുതല്‍ ഏഴുവരെ അപ്പര്‍പ്രൈമറിയും എട്ടു മുതല്‍ പത്തുവരെ ഹൈസ്‌കൂളുമായാണ്തിരിച്ചിരിക്കുന്നത്. കേന്ദ്രനിയമം വരുന്നതോടെ ഒന്നുമുതല്‍ അഞ്ചുവരെ ലോവര്‍പ്രൈമറിയും ആറുമുതല്‍ എട്ടുവരെ അപ്പര്‍പ്രൈമറിയും ഒമ്പത്,പത്ത് ക്ലാസുകള്‍ ഹൈസ്‌കൂളായുംതരംതിരിക്കപ്പെടും. അന്യസംസ്ഥാനങ്ങളില്‍ നേരത്തേതന്നെ ഈ സംവിധാനമാണ് പിന്തുടരുന്നതെന്നതിനാല്‍ നിയമം പ്രധാനമായി ബാധിക്കുന്നത് കേരളത്തെയാണ്.

ഹൈസ്‌കൂള്‍ അധ്യാപകരുടെ എണ്ണം വെട്ടിച്ചുരുക്കി അവരെ യു.പി. വിഭാഗത്തിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കില്‍ അധ്യാപകസംഘടനകള്‍ പ്രതിഷേധവുമായി രംഗത്തിറങ്ങും. ശമ്പളസ്‌കെയിലിലെ കുറവ് മാത്രമായിരിക്കില്ല പ്രശ്‌നം. എച്ച്.എസ്.എ. മാര്‍ യു.പി. വിഭാഗത്തിലേക്ക് 'ചേക്കേറാന്‍' മടിക്കുമെന്നതാണ് പ്രധാനപ്രശ്‌നം. ബിരുദവും ബി.എഡുമാണ് ഹൈസ്‌കൂള്‍ അധ്യാപകരുടെഅടിസ്ഥാനയോഗ്യതയെങ്കില്‍ പ്ലസ്ടുവും ടി.ടി.സി. യുമാണ് യു.പി, എല്‍.പി. വിഭാഗങ്ങളിലെ അടിസ്ഥാനയോഗ്യത.

2009-10 അധ്യയന വര്‍ഷത്തില്‍ ഏഴാംക്ലാസില്‍ പഠിക്കുന്ന കുട്ടികളുടെഎണ്ണം 4,94,105 ആണ്. ഇതില്‍ 1,37,722 കുട്ടികള്‍ സര്‍ക്കാര്‍ സ്‌കൂളിലും 3,21,617 പേര്‍ എയിഡഡ് സ്‌കൂളുകളിലും 34,766 പേര്‍ അണ്‍-എയിഡഡ് മേഖലയിലുമാണ്. പുതിയ നിയമപ്രകാരം ഈ കുട്ടികള്‍ യു.പി. വിഭാഗത്തില്‍ തന്നെയാണ് നിലനില്‍ക്കുക. നാലാംക്ലാസില്‍ നിന്ന് 4, 39,061 കുട്ടികളാണ് അടുത്ത അധ്യയനവര്‍ഷം അഞ്ചാംക്ലാസിലേക്ക് പ്രവേശനം നേടുന്നത്. പുതിയ നിയമപ്രകാരം ഇവര്‍ എല്‍.പി. വിഭാഗത്തില്‍ തന്നെ തുടരുകയാണ്. എല്‍.പി. വിഭാഗത്തില്‍ 30 കുട്ടികള്‍ക്ക് ഒരു അധ്യാപകന്‍ വേണം എന്നാണ് പുതിയ നിബന്ധന. യു.പി. വിഭാഗത്തില്‍ 35 കുട്ടികള്‍ക്ക് ഒരു അധ്യാപകന്‍ എന്നാണ് കണക്ക്. ഹൈസ്ക്കൂള് വിഭാഗത്തിലെ അനുപാതത്തെപ്പറ്റി യാതൊന്നും പറയുന്നുമില്ല.

ആരെല്ലാം പുതിയ വിദ്യാഭ്യാസ നയത്തെ എത്രമാത്രം പ്രകീര്‍ത്തിച്ചാലും അതിന്റെ പിന്നില്‍ പതിയിരിക്കുന്ന നിഗൂഡതകളെപ്പറ്റി പരാമര്‍ശിക്കുന്നതേയില്ല. കാരണം, പലരും ഈ നിയമം നടപ്പാക്കുന്നവര്‍ മുന്നോട്ടു വെക്കുന്ന വിഷയുണ്ടകളിന്മേലുള്ള നിറപ്പൊലിമ മാത്രമേ കാണുന്നുള്ളു. അതിന്റെ മാരകാവസ്ഥയെപ്പറ്റി ഗുണദോഷവശങ്ങള്‍ അനഭവിക്കുന്നവര്‍ ആശങ്കപ്പെടുന്നതിനെ സ്വാഭാവികമായികമായി മാത്രം കാണരുതെന്നേ ഞങ്ങള്‍ക്ക് പറയാനുള്ളു. ഉദാഹരണം നോക്കൂ. "അധ്യാപകര്‍ക്ക് നല്ല കാലം വരുന്നു.... പതിനായിരം പുതിയ ഒഴിവുകള്‍ സൃഷ്ടിക്കപ്പെടും...." ഇത് കണ്ടാല്‍ ആരാണ് ഈ നിയമത്തെ കുറ്റം പറയുക? പുതിയ അധ്യാപക തസ്തികകള്‍ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതിലേക്കാണ് ഈ കണക്കുകള്‍ വിരല്‍ ചൂണ്ടുന്നത്. അത് എല്.പിയില്‍ മാത്രമായിരിക്കുമെന്നതാണ് വാസ്തവം. കാരണം, അഞ്ചാം ക്ലാസ് എല്‍.പിയിലേക്ക് വരികയും അനുപാതം 1:30 ആക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോള്‍ എല്‍.പി.എസ്.എ മാരുടെ ഒഴിവുകള് സൃഷ്ടിക്കേണ്ടി വരും. എന്നാല്, യു.പി വിഭാഗത്തിലാകട്ടെ അഞ്ചാം ക്ലാസ് നഷ്ടപ്പെടുമെങ്കിലും ഹൈസ്ക്കൂളില്‍ നിന്നും അടര്‍ത്തിയെടുക്കുന്ന എട്ടാം ക്ലാസ് ലഭിക്കുകയും അനുപാതം 1:35 ആക്കുന്നതോടെ ചെറിയൊരു ആശ്വാസമുണ്ടാകും. പക്ഷെ, ഹൈസ്ക്കൂള്‍ ക്ലാസുകളിലെ സ്ഥിതിയെന്താണ്? എട്ടാം ക്ലാസ് നഷ്ടപ്പെടുന്നു. അനുപാതം 1:45 തന്നെ ആയി നില്‍ക്കാന്‍ തന്നെയാണ് സാധ്യത. അങ്ങനെ വരുമ്പോള്‍ ഒന്‍പത്, പത്ത് ക്ലാസുകളിലെ കുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും എച്ച്.എസ്.എമാരുടെ നിലനില്‍പ്പ്. പുതിയ ഒഴിവുകള്‍ സൃഷ്ടിച്ച് പതിനായിരം പുതിയ അധ്യാപകര്‍ക്ക് ജോലി നല്‍കാന്‍ സര്‍ക്കാര്‍ തയ്യാറാകുമെന്ന് കരുതുന്നുണ്ടോ? ഈ ഒഴിവുകള്‍ നികത്താന്‍ യു.പി.എസ്.എ മാരെ എല്‍.പിയിലേക്കും എച്ച്.എസ്.എ. മാരെ യു.പി. വിഭാഗത്തിലേക്കും മാറ്റേണ്ടി വരും എന്ന പോംവഴി തന്നെയാണ് സര്‍ക്കാര്‍ തെരഞ്ഞെടുക്കുകയെന്ന് അധ്യാപകര്‍ ആശങ്കപ്പെടുന്നു. മുമ്പ് പ്രീഡിഗ്രി വേര്‍പെടുത്തലുണ്ടായപ്പോള്‍ കോളേജധ്യാപകര്‍ പ്രതിഷേധവുമായി രംഗത്തെത്തിയിരുന്നു. കോളേജുകളില്‍ നിന്ന് ഇതില്‍ പലരും പോകാന്‍ കൂട്ടാക്കിയതുമില്ല. ഈ അവസ്ഥ ഇവിടെയും സംജാതമാവുകയില്ലേ? അധ്യാപകന്റെ നിലനില്പിനെത്തന്നെയല്ലേ ഇവിടെ ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്നത്? ഭാവിയില്‍ എസ്.എസ്.എല്‍.സി പരീക്ഷ എടുത്തുകളയുകയും പ്ലസ് വണ്‍, പ്ലസ് ടു ക്ലാസുകള്‍ എല്ലാ സ്ക്കൂളുകളിലും വരാനും സാധ്യതയുണ്ടെന്ന് പരക്കെയുള്ള ആശങ്ക യാഥാര്‍ത്ഥ്യമാവുകയാണോ? എങ്കില്‍ ഇന്ന് ഡിവിഷന്‍ ഫാളുകളെ ഭയപ്പെടാതിരിക്കുന്ന ഹയര്‍സെക്കന്ററി സ്ക്കൂളുകളുടെ കാര്യവും അവതാളത്തിലാകും. ഹയര്‍സെക്കന്ററി അധ്യാപകര് ഭാവിയില്‍ ഹൈസ്ക്കൂള്‍ തലത്തിലേക്ക് വന്നാലും അത്ഭുതപ്പെടാനില്ല.

1997 ജൂലായ് 14 ന് ശേഷം എയിഡഡ് സ്‌കൂളുകളില്‍ അധ്യാപകരായി പ്രവേശിച്ചവര്‍ക്ക് സംരക്ഷണാനുകൂല്യവുമില്ല. പുനര്‍വിന്യാസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് എയിഡഡ് മേഖലയിലെ മാനേജുമെന്റുകളും സര്‍ക്കാരും തമ്മില്‍ ഉരസല്‍ ഉണ്ടാകാനും സാധ്യതയേറെയാണ്."
ഈ നിയമം, കേരളത്തിനു വേണ്ടി, പുതുക്കിപ്പണിയാന്‍ കമ്മിറ്റിയെ നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്ന ഈ സാഹചര്യത്തില്‍, നിങ്ങളുടെ കമന്റുകള്‍ക്ക് വലിയ പ്രസക്തിയും പ്രാധാന്യവുമുണ്ട്.- വിശേഷിച്ചും, ഉന്നതതലങ്ങളില്‍പ്പോലും നമ്മുടെ സംവാദങ്ങള്‍ക്ക് ധാരാളം വായനക്കാരുണ്ടെന്നതിനാല്‍..!