കോണിസ്ബെര്‍ഗ് പാലങ്ങള്‍ - ഒരു സമസ്യ

ഗണിതശാസ്ത്രം സാമൂഹ്യപ്രശ്നങ്ങളുമായി എങ്ങനെ സംവദിക്കുന്നുവെന്നത് എക്കാലത്തും പ്രസക്തമായ ചോദ്യമാണ്. ആധുനിക വാര്‍ത്താവിനിമയ സംവിധാനത്തിന്റെ ഘടനാപരമായ നിലനില്പിന് കാരണമായ ഒരു കണ്ടെത്തലിനെക്കുറിച്ചാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. പഴയ സോവിയറ്റ് യൂണിയനില്‍, കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പട്ടണത്തിലൂടെ ഒഴുകുന്ന 'പ്രെഗല്‍ നദി'യില്‍ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ പണിതീര്‍ത്ത ഏഴു പാലങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രശ്നം. പില്‍കാലത്ത് 'കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പ്രഹേളിക' എന്ന പേരില്‍ പ്രസിദ്ധമായി. കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പാലങ്ങളുടെ ഘടന ഏതാണ്ട് മുകളിലെ ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നത് പോലെയാണ്. A,B എന്നീ ദ്വീപുകളെ C,D എന്നീ കരകളുമായി 7 പാലങ്ങളുപയോഗിച്ച് ബന്ധപ്പെടുത്തിടിരിക്കുന്നു. "ഒരു സ്ഥാനത്തുനിന്നും ആരംഭിച്ച്, ഒരു പാലത്തിലൂടെ ഒരു പ്രാവശ്യം മാത്രം യാത്ര ചെയ്ത്, പാലങ്ങളൊന്നും വിട്ടുപോകാതെ യാത്ര പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ കഴിയുമോ?" എന്നതായിരുന്നു അന്നത്തെ ഒരു പ്രശ്നം! മഹാനായ ലിയനാര്‍ഡ് അയ്ലര്‍ (Leonard Euler) 1736ല്‍ കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് പട്ടണം സന്ദര്‍ശിച്ചപ്പോള്‍ ഈ പാലങ്ങള്‍ ഗണിതചരിത്രത്തിലേക്ക് കടന്നുവന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയ്ക്ക് തുടയ്ക്കം കുറിച്ചു. നെറ്റ്​വര്‍ക്ക് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആരംഭമായിരുന്നു അത്. 'ഗ്രാഫ്​തിയറി' എന്ന പേരില്‍ പില്‍കാലത്ത് ഈ ശാഖ പ്രസിദ്ധമായി. പ്രശ്നനിര്‍ദ്ധാരണത്തിന് ഓയിലര്‍ (അയ്​ലര്‍ എന്ന് പ്രൊ. എം. കൃഷ്ണന്‍നായരും ഡോക്ടര്‍. ബാബു ജോസഫും വിവര്‍ത്തനം ചെയ്തു കാണുന്നു) സ്വീകരിച്ച മാര്‍ഗ്ഗത്തെക്കുറിച്ച്......

A,B എന്നീ ദ്വീപുകളേയും C,D എന്നീ കരകളേയും ബിന്ദുക്കളായി കാണുന്നു. ഇവയെ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് താഴേ കാണും വിധം ഒരു നെറ്റ്​വര്‍ക്ക് തയ്യാറാക്കാം.
ഇതൊരു ഗ്രാഫാണ്. ബിന്ദുക്കളില്‍ വന്നുചേരുന്ന രേഖകളുടേയും വക്രങ്ങളുടേയും എണ്ണമാണ് ആ ബിന്ദുവിന്റെ ഡിഗ്രി എന്നു പറയുന്നത്. ഗ്രാഫില്‍ ഇത്തരം ബിന്ദുക്കള്‍ക്ക് 'നോഡ്' എന്നാണ് പറയുക. ഇവിടെ കാണുന്ന യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫില്‍ A(5),B(3),C(3),D(3)എന്നിങ്ങനെ എഴുതി 'നോഡ് ഡിഗ്രികള്‍ 'സൂചിപ്പിക്കാം. ഇവിടെ, നോഡ് ഡിഗ്രികളെല്ലാം ഒറ്റസംഖ്യകളാണെന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്.

മറ്റൊരു ഘടന വിശകലനം ചെയ്യാം.
ഇവിടെ മൂന്നു ദ്വീപുകളും ഏഴു പാലങ്ങളും കാ​ണാം. ഇതില്‍ നിന്നും നമുക്ക് ഒരു യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ നിര്‍ദ്ധാരണരീതിയെക്കുറിച്ച് അല്പം കൂടി വ്യക്തത കിട്ടും.

A(2),B(4),C(2),D(4),E(2) എന്നെഴുതാമല്ലോ? നോഡ് ഡിഗ്രികളെല്ലാം ഇരട്ടസംഖ്യകളാണ്.
കൂടുതല്‍ വിശകലനങ്ങളിലേക്കു കടക്കാതെ തന്നെ ഓയ്‌ലറുടെ കണ്ടെത്തലുകള്‍ കുറിക്കട്ടെ.

1. നോഡ് ഡിഗ്രികളെല്ലാം ഇരട്ടസംഖ്യകളായാല്‍, എവിടെ നിന്ന് ആരംഭിച്ചാലും വിജയകരമായി യാത്ര പൂര്‍ത്തിയാക്കി ആരംഭിച്ച സ്ഥലത്തുതന്നെ എത്താന്‍ കഴിയും.

A--->a--->B--->b--->C--->c--->D--->d--->B--->e--->E--->f--->D--->g--->A

2.ഗ്രാഫിന്, ഒറ്റസംഖ്യാഡിഗ്രികളുള്ള നോഡുകള്‍ രണ്ടില്‍ കൂടുതലുണ്ടെങ്കില്‍ യാത്ര വിജയകരമായി പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ കഴിയില്ല. രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യാനോഡുകള്‍ ആണെങ്കില്‍, അവയില്‍ ഒന്നില്‍നിന്നും യാത്ര ആരംഭിച്ച് വിജയകരമായി അടുത്തതില്‍ എത്തിച്ചേരാന്‍ കഴിയും.

കോണിസ്ബര്‍ഗ്ഗ് ഗ്രാഫില്‍ എല്ലാം ഒറ്റസംഖ്യാ നോഡുകളായതിനാല്‍ യാത്ര സാദ്ധ്യമല്ല.

ചില നെറ്റ്​വര്‍ക്കുകളിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കുന്നു.

ഒരു ബിന്ദുവില്‍ നിന്നുമാരംഭിച്ച് പേപ്പറില്‍നിന്നും പെന്‍സില്‍ ഉയര്‍ത്താതെ ചിത്രം പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ പറ്റുമോ എന്ന് നോക്കാം.


ഇവയെല്ലാം യൂളറിയന്‍ ഗ്രാഫുകളായി കണ്ടുകൊണ്ട് വിശദീകരിക്കുമല്ലോ.

വിവിധ മേഖലകളില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുന്നവര്‍ നമ്മുടെ സന്ദര്‍ശകരായിട്ടുള്ളതാണ് ഈ ബ്ലോഗിന്റെ വലിയ സൌഭാഗ്യങ്ങളിലൊന്ന്! നെറ്റ്​വര്‍ക്കിന്റെ അനന്തസാദ്ധ്യതകള്‍ വിശകലനംചെയ്തുകൊണ്ടുള്ള കമന്റുകള്‍ കൂടി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ഇതൊരു പഠനപ്രവര്‍ത്തനമായും ലാബ് പ്രവര്‍ത്തനമായും മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്. ഒപ്പം, പുതിയ പഠന സാദ്ധ്യതകൂടിയുണ്ട്.