'പൈ' പലഹാരമാകുമ്പോള്‍..!

'ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ വൃത്തങ്ങളുടെ അളവുകള്‍ പഠിപ്പിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു കുറിപ്പ്' എന്ന പേരില്‍ കൃഷ്ണന്‍ സാര്‍ കമന്റില്‍ ചേര്‍ത്ത അമൂല്യമായ ഈ വിവരങ്ങള്‍ ,കേവലം കമന്റില്‍ ഒതുങ്ങേണ്ടതല്ലായെന്നുള്ള തിരിച്ചറിവാണ് ഈ പോസ്റ്റിനു പിന്നില്‍. അധ്യാപകര്‍ക്ക് പാഠപുസ്തകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അധികവിവരങ്ങള്‍, അത് തയ്യാറാക്കിയവരില്‍ നിന്നു തന്നെ ലഭ്യമാക്കാനായാല്‍ അതില്‍ കുറഞ്ഞല്ലേ മറ്റെന്തു സൗഭാഗ്യവും വരൂ? നമ്മുടെ ബ്ലോഗില്‍ കേവലം ശമ്പളപരിഷ്കരണം ചര്‍ച്ച ചെയ്യുമ്പോള്‍ മാത്രം പോസ്റ്റുകള്‍ സജീവമായാല്‍ പോരല്ലോ? അധ്യാപനം സുഗമമാക്കാനുള്ള അറിവുകളും തങ്ങളുടെ സംശയങ്ങള്‍ക്ക് ആധികാരികമായ മറുപടികളും ഉത്തരവാദപ്പെട്ടവര്‍ നല്‍കുമ്പോള്‍, അത് ഉപയോഗപ്പെടുത്താന്‍ കൂടി നാം ശ്രമിക്കേണ്ടതല്ലേ..? ഉദാഹരണത്തിന് നമ്മുടെ pi യും pie-chart ലെ pie യും ഒന്നല്ലായെന്നും രണ്ടാമത്തേത് ഒരു പലഹാരമാണെന്നുമുള്ള അറിവുപോലും ചിലര്‍ക്കെങ്കിലും പുതുതായിരിക്കാന്‍ സാധ്യതയുണ്ട്. ഇതാ കൃഷ്ണന്‍സാറിന്റെ ലേഖനത്തിലേയ്ക്ക്....

വൃത്തങ്ങളുടെ അളവുകള്‍
ഒമ്പതാംക്ളാസിലെ വൃത്തം എന്ന പാഠം രണ്ടു പുതിയ ആശയങ്ങള്‍ —ഒന്നു ജ്യാമിതീയവും മറ്റൊന്നു സംഖ്യാപരവും —അവതരിപ്പിക്കുന്നുണ്ട്.
• വളഞ്ഞ വരമ്പുകളുള്ള രൂപങ്ങളുടെ ചുറ്റളവും പരപ്പളവും
• അഭിന്നകങ്ങളില്‍, ഇതുവരെക്കണ്ടതില്‍നിന്നു വ്യത്യസ്തമായ π എന്ന സംഖ്യ
ഒരു ജ്യാമിതീയരൂപത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് എന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥം വീണ്ടും ഓര്‍മിപ്പിച്ചുകൊണ്ടാണ് പാഠം ആരംഭിക്കുന്നത്. ഒരു തലത്തിലെ ഒരു ഭാഗത്തിന്റെ അതിത്തി നിശ്ചയിക്കുന്നത് നേര്‍വരകളാണെങ്കില്‍, അവയുടെ നീളങ്ങളുടെ തുകതന്നെയാണ് ചുറ്റളവ്.
അങ്ങിനെയല്ലെങ്കിലോ ?
പ്രയോഗികമായി ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ വിഷമമില്ല. വേണ്ടത്ര നീളമുള്ള ഒരു കയറോ ചരടോ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം. പരപ്പളവാണു വേണ്ടതെങ്കില്‍ ഇതും സാധ്യമല്ല. അതുകൊണ്ടുതന്നെയാണ് പ്രാചീനകാലം മുതലുള്ള ശ്രമങ്ങളിലെല്ലാം വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ഒരു പ്രധാന പ്രശ്നമായതും, ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടുമാത്രം ചുറ്റളവ് പരാമര്‍ശിക്കപ്പെടുന്നതും. ഈ പ്രായോഗികപ്രശ്നത്തില്‍നിന്നു
ഗണിത തത്വത്തിലേക്കുള്ള പ്രയാണമാണ് ഈ പാഠത്തിലെ പാര്‍ശ്വസഞ്ചാരം.
ഏതു വൃത്തത്തിന്റെയും ചുറ്റളവിനെ വ്യാസം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്നത് ഒരേ സംഖ്യയാണെന്ന കാര്യമാണ്, പാഠത്തിലെ ആദ്യപ്രമേയം. ഇതു പൊടുന്നനെ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനു പകരം, നാലുഘട്ടങ്ങളിലൂടെയാണ് ഇതില്‍ എത്തിച്ചേരുന്നത്:

(1) വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം കൂടുമ്പോള്‍ ചുറ്റളവും കൂടുന്നു എന്ന ലളിതമായ നിരീക്ഷണം

(2) ഈ മാറ്റം ആനുപാതികമാണോ എന്നു പരിശോധിക്കാനുള്ള പ്രായോഗിക പരിക്ഷണം

(3) ഇത് ആനുപാതികംതന്നെയാണെന്ന് ഗണിതരീതിയിലുള്ള തെളിവ്

(4) ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്ന ആശയത്തിലൂടെ ചുറ്റളവിനെ വ്യാസം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഒരേ സംഖ്യയാണെന്ന നിഗമനം

ഇതിലൊന്നുംതന്നെ π പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നു ശ്രദ്ധിയ്ക്കുക. അവസാനം പറഞ്ഞ ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്താണെന്ന് പ്രയോഗികമായി ചെയ്തു നോക്കാം. വ്യത്യസ്തങ്ങളായ സംഖ്യകളാണ് കിട്ടുക. ഇത് ഒരു അഭിന്നകസംഖ്യയാണെന്നും, 3.14159... എന്നിങ്ങിനെ തുടരുമെന്നും തെളിയിക്കാം എന്നു പറയുക മാത്രമേ ഇപ്പോള്‍ തരമുള്ളു; ശരിയായ തെളിവു മനസിലാക്കാന്‍ ഇതു വരെ പഠിച്ച ഗണിതം മതിയാകില്ലെന്നും.
ഇതുവരെ കണ്ട അഭിന്നകസംഖ്യകളെല്ലാം, ഏതെങ്കിലും കൃതിയിലേക്കുയത്തിയും ഇത്തരം കൃതികളെ ഭിന്നകങ്ങള്‍കൊണ്ടു ഗുണിച്ചുമെല്ലാം ഭിന്നകങ്ങളായി മാറ്റാന്‍ പറ്റുന്നവയായിരുന്നു; അതനുസരിച്ചാണ് അവയ്ക്കു പേരിട്ടതും. ഉദാഹരണമായി, വര്‍ഗം 2 ആയ സംഖ്യ (അളവ് ) √2; ഇതുപോലെ 4 കുറച്ച്, 2 കൊണ്ടൂ ഹരിച്ച്, മൂന്നാംകൃതി എടുത്താല്‍ 5 കിട്ടുന്ന സംഖ്യ 4 + 2 ³√5. എന്നാല്‍ വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിനെ വ്യാസംകൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ഇത്തരം ക്രിയകളിലൂടെ ഭിന്നകമാക്കാന്‍
കഴിയില്ല. (π അതീതസംഖ്യയാണെന്ന് പണ്ടത്തെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ പറഞ്ഞിരുന്നതിന്റെ അര്‍ത്ഥംഇതാണ്. ) അതിനാല്‍ അതിന് ഈ രീതിയില്‍ പേരിടാന്‍ കഴിയില്ല.
π എന്ന പേരും, അതിന്റെ സാംഗത്യവും ഇവിടെ അവതരിപ്പിയ്ക്കാം. (ഈ pi യും,pie-chart ലെ pie യും തമ്മില്‍ ഒരു ബന്ധവുമില്ലെന്നുകൂടി പറയണമെന്നു തോന്നുന്നു. രണ്ടാമത്തെ pie ഒരു പലഹാരമാണ്. ഏഴാംക്ളാസിലെ
സംഖ്യാചിത്രങ്ങള്‍ എന്ന പാഠത്തില്‍ കൂടുതല്‍ വിശദീകരണമുണ്ട്. )
വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള പല കാലങ്ങളിലേയും ദേശങ്ങളിലേയും ശ്രമങ്ങളെല്ലാം, ഇന്നത്തെ കാഴ്ചപ്പാടില്‍, π കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി കണക്കുകൂട്ടാനുള്ള ശ്രമങ്ങളായി വ്യാഖ്യാനിക്കാം എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്. ഇതിനുള്ള ജ്യാമിതീയമാര്‍ഗങ്ങള്‍ വളരാനാവാതെ ആയിരം കൊല്ലത്തോളം
വഴിമുട്ടിനിന്നപ്പോള്‍, ബീജഗണിതത്തിലൂടെ ആവശ്യമുള്ളത്ര കൃത്യതയില്‍ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള പുതിയ ചാല്‍ തുറന്നു എന്നതാണ് കേരളീയനായ മാധവന്റെ പ്രധാന സംഭാവന.
തുടര്‍ന്ന്, ആറാംക്ളാസില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുള്ള ഡിഗ്രി അളവിന്റെ അര്‍ത്ഥം (വൃത്തത്തിനെ 360 സമഭാഗങ്ങളാക്കുമ്പോള്‍ കിട്ടൂന്ന കോണാണ് 1◦ ) ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണ്‍ 360 ന്റെ എത്രഭാഗമാണോ, ചുറ്റളവിന്റെ അത്രയും ഭാഗമാണ് ആ ചാപത്തിന്റെ നീളം എന്ന ആശയത്തിലെത്താം.
ചാപത്തിന്റെനീളം =
2πrx/360 എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിനു പകരം, 60◦ കേന്ദ്രകോണുള്ള ചാപത്തിന്റെ നീളം, മൊത്തം വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെ 1 /6 ഭാഗം; 144◦ കേന്ദ്രകോണുള്ള ചാപത്തിന്റെ നീളം, വൃത്തത്തിന്റെ (ചുറ്റളവിന്റെ ) 144/360 = 2/5 ഭാഗം; എന്നെല്ലാം അവതരിപ്പിക്കുകയാവും ഭംഗി.
അടുത്തത്, വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവാണ്. ഇതില്‍ ആരത്തിന്റെ വര്‍ഗവുമായുള്ള ആനുപാതികതയില്‍നിന്നു തുടങ്ങുന്നതിനു പകരം, ചുറ്റളവും, പരപ്പളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് ആദ്യം അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത്. (ഇതിലും, ചുറ്റളവ് വ്യാസത്തിന് ആനുപാതികമാണ് എന്ന് ആദ്യം തെളിയിച്ചതിലും, limit എന്ന ആശയം ഒളിഞ്ഞിരിപ്പുണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിയ്ക്കുക. )
വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = π x ആരത്തിന്റെ വര്‍ഗം
എന്നു കണ്ടതിനുശേഷം, പരപ്പളവ് ആരത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്നും, ആനുപാതികസ്ഥിരം π ആണെന്നുമാണ് ഇതിന്റെ അര്‍ത്ഥം എന്നു വിശദീകരിയ്ക്കാം. വൃ
ത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്, ആരത്തിന്റെ രണ്ടുമടങ്ങിന് ആനുപാതികമാണെനും, പരപ്പളവാകട്ടെ, ആരത്തിന്റെ വര്‍ഗത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്നും, രണ്ടവസരങ്ങളിലും ആനുപാതികസ്ഥിരം π തന്നെയാണെന്നുമുള്ള കാര്യങ്ങളാണ് ഇതിലെ രസം.
പരപ്പളവു കണ്ടുപിടീയ്ക്കാനുള്ള ഒരു പ്രായോഗികരീതികൂടി ഇതില്‍നിന്നു കിട്ടും
വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = ചുറ്റളവിന്റെ പകുതി x വ്യാസത്തിന്റെ പകുതി
ചുറ്റളവിന്റെ പകുതിയും, വ്യാസത്തിന്റെ പകുതിയും അളന്നെടുക്കാവുന്നവയാണല്ലോ. “വട്ടത്തരൈകൊണ്ടൂ വിട്ടത്തരൈ താക്കിന്‍ ശട്ടെനത്തരിയും കുഴി” (വട്ടത്തിന്നരകൊണ്ടു വിട്ടത്തിന്നര പെരുക്കിയാല്‍ പെട്ടെന്നു കിട്ടും കുഴി ) എന്നൊരു തമിഴ് ചൊല്ലു കേട്ടിട്ടുണ്ട്. ഉറവിടം അറിയില്ല.
ചാപനീളത്തിനു സമാനമായി വൃത്തംശത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, അതിന്റെ കേന്ദ്ര കോണ്‍ 360 ന്റെ എത്ര ഭാഗമാണോ, മൊത്തം വൃത്തത്തിന്റെ (പരപ്പളവിന്റെ ) അത്രയും ഭാഗമാണ് എന്നുള്ള നിഗമനത്തോടെയാണ് പാഠം അവസാനിക്കുന്നത്.
......................................................................................
ഈ പോസ്റ്റിന്റെ പിഡിഎഫ് കോപ്പി കൂടി പ്രിന്റെടുക്കാനായി നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ചര്‍ച്ചകള്‍ കൊഴുക്കട്ടെ.