Selasa, 28 Desember 2010
Senin, 27 Desember 2010
ചരിവുഭിത്തികളും കോണിയും
ബ്ലോഗില് വ്യത്യസ്തങ്ങളായ ചോദ്യങ്ങള് അവതരിപ്പിച്ചതിനുള്ള ബഹുമതി പാലക്കാട് ടീമായ ഹിത, ഗായത്രി, അമ്മുമാര്ക്കുള്ളതാണ്. പാഠപുസ്തകസംബന്ധിയായതും അല്ലാത്തതുമായതുമായ ഒട്ടേറെ ചോദ്യങ്ങളാണ് അവര് ബ്ലോഗില് പോസ്റ്റ് ചെയ്തിട്ടുള്ളത്. ഗണിതതാല്പര്യമുള്ളവരും ഒളിമ്പ്യാഡ് പോലെയുള്ള വൈജ്ഞാനികസംഘട്ടനമേഖലകളിലുമെല്ലാം പങ്കെടുക്കുന്നവര്ക്കുമൊക്കെ ശോഭിക്കാനുള്ള ഒരു അവസരം ഈ ചോദ്യങ്ങളെയെല്ലാം വിടാതെ പിന്തുടര്ന്നാല് ലഭിക്കും എന്നതില് സംശയമേ വേണ്ട. അക്കൂട്ടത്തില് ബ്ലോഗിന്റെ ആരംഭകാലം മുതലേ ഞങ്ങളെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള മറ്റൊരു പാലക്കാട്ടുകാരനാണ് മുരളീധരന് സാര്. ചോദ്യങ്ങള്ക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്താനുള്ള മുരളി സാറിന്റെ വൈഭവവും അപാരമാണ്. വ്യത്യസ്തങ്ങളായ ചോദ്യങ്ങള് കയ്യിലുണ്ടെങ്കില് അയച്ചു തരണം എന്ന് എപ്പോഴും ഞങ്ങള് അഭ്യര്ത്ഥിക്കാറുണ്ട്. അതനുസരിച്ച് മുരളി സാര് അയച്ചു തന്നിരിക്കുന്ന ചോദ്യം നോക്കൂ. ചരിവുഭിത്തിയില് ചാരിവെച്ച ഒരു കോണിയുടെ (ladder) ഉയരം കണ്ടുപിടിക്കലാണ് ലക്ഷ്യം. ചോദ്യത്തിലേക്ക് കടക്കാം.
ചരിഞ്ഞതാണെങ്കിലും പരസ്പരം സമാന്തരങ്ങളായ രണ്ട് ഭിത്തികള്. ഇതില് വ്യത്യസ്ത നീളത്തിലുള്ള രണ്ട് ഏണികള് (PR, QS) ചാരിവെച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ഏണികളുടെ സംഗമ ബിന്ദുവായ M ല് നിന്ന് 'R'ലേക്കുള്ള ഉയരം ( MR അല്ല ) 4 മീറ്റര്. R ല് നിന്ന് S ലേക്കുള്ള ഉയരം (അകലമല്ല) 5 മീറ്റര്. എങ്കില് M എന്ന ബിന്ദു തറയില് നിന്നു എന്ത് ഉയരത്തിലായിരിക്കും?
ഇതു പോലുള്ള ചോദ്യങ്ങള് mathsekm@gmail.com എന്ന വിലാസത്തിലേക്ക് അയച്ചു തരുമല്ലോ. ഒപ്പം നല്ലൊരു പസില് ചര്ച്ച ഇവിടെ തുടങ്ങുമല്ലോ.
Five proofs for the sum-formula of 1+2+3+ ... +n
The running totals of 1,2,3 ... are called the triangular numbers. We will show that $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
$s = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$
$\underline{s = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1}$
$2s = (n + 1) + ((n-1)+2) + ((n-2)+3) + \cdots + (1+n) \Leftrightarrow $
$2s = n \cdot (n + 1) \Leftrightarrow $
$s = \frac{n(n+1)}{2}$
Clearly $1 \in S$
Assume, $n \in S$:
$\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$, or $n \in S \Rightarrow n+1 \in S$
Now, since $(S \subset \mathbf{N} \wedge 1 \in S \wedge n \in S \Rightarrow n+1 \in S ) \Rightarrow S=\mathbf{N}.$
$\underline{n}$
0: 1
1: 1 - 1
2: 1 - 2 - 1
3: 1 - 3 - 3 - 1
4: 1 - 4 - 6 - 4 - 1
5: 1 - 5 - 10-10 - 5 - 1
From $n$ we seek the second column, one row down or ${n+1 \choose 2}= \frac{n(n+1)}{2}$
X
and
X---Y
X
X-X
and
X---Y-Y
X-X---Y
X
X-X
X-X-X
and
X---Y-Y-Y
X-X---Y-Y
X-X-X---Y
The number of X's and Y's are equal. The triangle X-pattern with base of n X's is replaced by a rectangular shape of n+1 by n X's OR Y's.
$\Delta f(n) = n+1$
$\Sigma \Delta f(n) = \Sigma (n+1) $
$f(n) = \frac{1}{2}(n+1)^{\underline{2}} + C$
$f(n) = \frac{1}{2}(n+1)n + C$
Since $f(1) = 1, C=0$
$f(n) = \frac{n(n+1)}{2}$
Proof-1 Gauss's proof
( Gauss supposedly came up with this proof when he was 8 years old. On this page you will find more than 100 different tellings of this story. )$s = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$
$\underline{s = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1}$
$2s = (n + 1) + ((n-1)+2) + ((n-2)+3) + \cdots + (1+n) \Leftrightarrow $
$2s = n \cdot (n + 1) \Leftrightarrow $
$s = \frac{n(n+1)}{2}$
Proof-2 By induction
Let $S=\left\{ n \in \mathbf{N} | \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \right\}$Clearly $1 \in S$
Assume, $n \in S$:
$\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$, or $n \in S \Rightarrow n+1 \in S$
Now, since $(S \subset \mathbf{N} \wedge 1 \in S \wedge n \in S \Rightarrow n+1 \in S ) \Rightarrow S=\mathbf{N}.$
Proof-3 With the Pascal Triangle
Because $n^k$ is in the PT for any $k \in \mathbf{N}$, sums of polynomials with integer coefficients can be read from the PT. ( $n={n \choose 1}$, $n^2={n \choose 1} + 2{n \choose 2}$, and so forth. )$\underline{n}$
0: 1
1: 1 - 1
2: 1 - 2 - 1
3: 1 - 3 - 3 - 1
4: 1 - 4 - 6 - 4 - 1
5: 1 - 5 - 10-10 - 5 - 1
From $n$ we seek the second column, one row down or ${n+1 \choose 2}= \frac{n(n+1)}{2}$
Proof-4 Geometric
Look at the patternX
and
X---Y
X
X-X
and
X---Y-Y
X-X---Y
X
X-X
X-X-X
and
X---Y-Y-Y
X-X---Y-Y
X-X-X---Y
The number of X's and Y's are equal. The triangle X-pattern with base of n X's is replaced by a rectangular shape of n+1 by n X's OR Y's.
Proof-5 With Discrete Calculus
The discrete analog of solving a differential equation.$\Delta f(n) = n+1$
$\Sigma \Delta f(n) = \Sigma (n+1) $
$f(n) = \frac{1}{2}(n+1)^{\underline{2}} + C$
$f(n) = \frac{1}{2}(n+1)n + C$
Since $f(1) = 1, C=0$
$f(n) = \frac{n(n+1)}{2}$
Minggu, 26 Desember 2010
Self-Assessment for Teachers
Merry Christmas to all! (I offer these greetings sincerely and in peace, not trying to bludgen anyone with it.)
As my colleague David Coffey and I were planning for the winter student teachers, we were discussing ways to involve the student teachers in self-assessment. Dave is quite the assessment guru, and we want to have them help develop the rubric, but at the same time support them with what we might develop.
Kathy Coffey, local first grade teacher par excellence, develops these amazing rubrics with her students. If first graders can, I figure novice teachers have a shot. (If only Kathy was teaching them...)
Of course, how to evaluate teaching is a thorny enough process that we are having a national hissy fit over it as a country.
The best resources we've found so far are the NCTM professional standards (going on 20 years old at this point; need a membership to read the full thing, unfortunately), and the research Rebecca Walker noticed in JRME this past semester. I wanted to share this stuff just to share, but also in hopes of feedback. How do you evaluate other teachers, novice teachers, or support new teachers in self-evaluation?
Professional Standards: Evaluation
The Process of Evaluation
Standard 1: The Evaluation Cycle
Standard 2: Teachers as Participants in Evaluation
Standard 3: Sources of Information
The Foci of Evaluation
Standard 4: Mathematical Concepts, Procedures, and Connections
Assessment of the teaching of mathematical concepts, procedures, and connections should provide evidence that the teacher
Assessment of teaching mathematics as a process involving problem solving, reasoning, and communication should provide evidence that the teacher-
Assessment of a teacher's fostering of students' mathematical dispositions should provide evidence that the teacher-
Assessing the means by which a teacher assesses students' understanding of mathematics should provide evidence that the teacher-
Assessment of the teacher's ability to create a learning environment that fosters the development of each students' mathematical power should provide evidence that the teacher-
Japanese Principles of Instruction
“Are There Any Places That Students Use Their Heads? Principles Of High-Quality Japanese Mathematics Instruction,” Corey, Peterson, Lewis and Bukarau, JRME, v41, n5, 2010
Original
Draft version of this for our student teachers:
As questions for starting conversations:
Self Evaluation
As we think about the novice teachers self-evaluating, one of the relevant frameworks seems to be the Levels of Transfer from Joyce and Showers. It's hard to use that in a grade situation because students want to jump to Executive Use, which is not how that works. (Here's a nice blogpost by a teacher using them for self-evaluation; also a nice introduction to them.)
So how would this work for a self-evaluation rubric?
As teachers develop, they attend to different aspects of the profession:
What I like about this progression is that it's not from good to bad. They are all aspects of teaching which are necessary to contemplate. I think as teachers become more experienced, they progress through the levels more quickly and holistically. I think novice teachers could recognize where they are at with respect to different aspects of teaching. "In my planning I'm thinking about student learning, but in instruction I'm still concentrating on myself."
So how do you self-evaluate? If you're a teacher educator, how do you assess your novices' teaching? Do you have ways of supporting your teachers in self-evaluation?
Kathy Coffey, local first grade teacher par excellence, develops these amazing rubrics with her students. If first graders can, I figure novice teachers have a shot. (If only Kathy was teaching them...)
Of course, how to evaluate teaching is a thorny enough process that we are having a national hissy fit over it as a country.
The best resources we've found so far are the NCTM professional standards (going on 20 years old at this point; need a membership to read the full thing, unfortunately), and the research Rebecca Walker noticed in JRME this past semester. I wanted to share this stuff just to share, but also in hopes of feedback. How do you evaluate other teachers, novice teachers, or support new teachers in self-evaluation?
Professional Standards: Evaluation
The Process of Evaluation
Standard 1: The Evaluation Cycle
Standard 2: Teachers as Participants in Evaluation
Standard 3: Sources of Information
The Foci of Evaluation
Standard 4: Mathematical Concepts, Procedures, and Connections
Assessment of the teaching of mathematical concepts, procedures, and connections should provide evidence that the teacher
- demonstrates a sound knowledge of mathematical concepts and procedures;
- represents mathematics as a network of interconnected concepts and procedures;
- emphasizes connections between mathematics and other disciplines and connections to daily living;
- engages students in tasks that promote the understanding of mathematical concepts, procedures, and connections;
- engages students in mathematical discourse that extends their understanding of mathematical concepts, procedures, and connections.
Assessment of teaching mathematics as a process involving problem solving, reasoning, and communication should provide evidence that the teacher-
- models and emphasizes aspects of problem solving, including formulating and posing problems, solving problems using different strategies, verifying and interpreting results, and generalizing solutions;
- demonstrates and emphasizes the role of mathematical reasoning;
- models and emphasizes mathematical communication using written, oral, and visual forms;
- engages students in tasks that involve problem solving, reasoning, and communication;
- engages students in mathematical discourse that extends their understanding of problem solving and their capacity to reason and communicate mathematically.
Assessment of a teacher's fostering of students' mathematical dispositions should provide evidence that the teacher-
- models a disposition to do mathematics;
- demonstrates the value of mathematics as a way of thinking and its application in other disciplines and in society;
- promotes students' confidence, flexibility, perseverance, curiosity, and inventiveness in doing mathematics through the use of appropriate tasks and by engaging students in mathematical discourse.
Assessing the means by which a teacher assesses students' understanding of mathematics should provide evidence that the teacher-
- uses a variety of assessment methods to determine students' understanding of mathematics;
- matches assessment methods with the developmental level, the mathematical maturity, and the cultural background of the student;
- aligns assessment methods with what is taught and how it is taught;
- analyzes individual students' understanding of, and disposition to do, mathematics so that information about their mathematical development can be provided to the students, their parents, and pertinent school personnel;
- bases instruction on information obtained from assessing students' understanding of, and disposition to do, mathematics.
Assessment of the teacher's ability to create a learning environment that fosters the development of each students' mathematical power should provide evidence that the teacher-
- conveys the notion that mathematics is a subject to be explored and created both individually and in collaboration with others;
- respects students and their ideas and encourages curiosity and spontaneity;
- encourages students to draw and validate their own conclusions;
- selects tasks that allow students to construct new meaning by building on and extending their prior knowledge;
- makes appropriate use of available resources;
- respects and responds to students' diverse interests and linguistic, cultural, and socioeconomic backgrounds in designing mathematical tasks;
- affirms and encourages full participation and continued study of mathematics by all students.
Japanese Principles of Instruction“Are There Any Places That Students Use Their Heads? Principles Of High-Quality Japanese Mathematics Instruction,” Corey, Peterson, Lewis and Bukarau, JRME, v41, n5, 2010
Original
- The Intellectual Engagement Principle: High-quality mathematics instruction intellectually engages students with important mathematics.
- The Goal Principle: An ideal lesson is guided by an explicit and specific set of goals that address student motivation, student performance, and student understanding.
- The Flow Principle: The flow of an ideal lesson is built from a question or a problem that students view as being problematic. As students intellectually engage in the problem, building on their previous knowledge, the students are supported in learning the lesson’s big mathematical idea.
- The Unit Principle: A lesson is created in the framework of past and future lessons, particularly between lessons in a unit but also between units and grade levels. The lessons in a unit help students progress to ways of thinking, writing, and representing mathematics evident in the discipline of mathematics.
- Adaptive Instruction Principle: High-quality instruction adapts so that all students are engaged in mathematical work that appropriately challenges their current understanding.
- The Preparation Principle: High-quality instruction requires a well-thought-out, detailed lesson plan that addresses the previous five principles and interconnects them in a coherent lesson.
Draft version of this for our student teachers:
- The Engagement Principle: math instruction should intellectually engage students with important mathematics that is relevant to their purposes.
- The Goal Principle: A lesson is more effective when guided by an explicit and specific set of goals that address student motivation, performance, and understanding. Examples include: students’ progress to ways of thinking, writing, and representing mathematics the way professionals do.
- The Problem Principle: A lesson is more effective when built from a question that students view as being problematic. As students build on their previous knowledge by means of the problem, the students are supported in learning the lesson's big mathematical idea.
- The Connection Principle: Math instruction is more effective when units are a framework of connected lessons; ideally also with connections amongst units and even between grade levels.
- The Support Principle: High-quality instruction adapts so that all students are engaged in mathematical work that appropriately challenges their current understanding.
- The Assessment Principle: High-quality instruction includes gathering and analysis of data that measures student progress towards objectives, and use of that data in planning and adjusting instruction. An ultimate goal is that students will be equipped to self-assess and self-correct.
- The Reflection Principle: High-quality instruction requires a well-thought-out, detailed lesson that addresses the previous principles and interconnects them in a coherent lesson.
As questions for starting conversations:
- Why is this math content important? For what is it needed? Why is it worthwhile?
- What do you want students to understand from this lesson? What should they be able to do? How will it help students progress to ways of thinking, writing, and representing mathematics like mathematicians?
- Is this a problem or an exercise? What makes it problematic? What’s the hook of the problem?
- How does this connect to what they’ve done before in this unit? In this year? In previous years? How will it connect going forward?
- Are all students ready for this task? What kind of support do they need, as a group or as individuals? How will you tell?
- What do students understand? How do you know? How can they get from what they know to what they need to know?
- Does this lesson make sense as a whole? How would you or a student summarize it or reflect back on it?
 |
| billsophoto @ Flickr |
As we think about the novice teachers self-evaluating, one of the relevant frameworks seems to be the Levels of Transfer from Joyce and Showers. It's hard to use that in a grade situation because students want to jump to Executive Use, which is not how that works. (Here's a nice blogpost by a teacher using them for self-evaluation; also a nice introduction to them.)
So how would this work for a self-evaluation rubric?
As teachers develop, they attend to different aspects of the profession:
- Focus on self: What am I doing? How did I do?
- Focus on content: What am I covering? What's a good activity or explanation for this?
- Focus on student performance: What was the average? What grades are they getting?
- Focus on student learning: What do they understand? What support do they need to do this?
What I like about this progression is that it's not from good to bad. They are all aspects of teaching which are necessary to contemplate. I think as teachers become more experienced, they progress through the levels more quickly and holistically. I think novice teachers could recognize where they are at with respect to different aspects of teaching. "In my planning I'm thinking about student learning, but in instruction I'm still concentrating on myself."So how do you self-evaluate? If you're a teacher educator, how do you assess your novices' teaching? Do you have ways of supporting your teachers in self-evaluation?
Divisibility by 7
Let n be an integer with last digit d.
Repeat until divisibility of n by 7 has been decided:
- Set m to n with last digit removed.
- Set n to m - 2d
- Determine if n is divisible by 7.
Proof:
m = (n - d)/10
m = (n - d)/10 - 2d
m = ( n - 21d ) / 10
If 7 / n then 7 / ( n - 21d ) / 10 since (7,10)=1 and 7/21.
Example:
n = 8 641 969
m = 864 196
n = 864 196 - 18 = 864 178
m = 86 417
n = 86 417- 16 = 86 401
m = 8 640
n = 8640 - 2 = 8638
m = 863
n = 863 - 16 = 847
m = 84
n = 84 - 14 = 70
Divisible by 7.
I suppose trivia like this are only interesting for math(s)(*) enthusiasts and number geeks. Computational number theorists working with numbers of several million digits may actually use methods like this.
P.S.
(*) Just learned from Math is Fun that "Mathematics is commonly called Math in the US and Maths in the UK and in many other countries.".
Repeat until divisibility of n by 7 has been decided:
- Set m to n with last digit removed.
- Set n to m - 2d
- Determine if n is divisible by 7.
Proof:
m = (n - d)/10
m = (n - d)/10 - 2d
m = ( n - 21d ) / 10
If 7 / n then 7 / ( n - 21d ) / 10 since (7,10)=1 and 7/21.
Example:
n = 8 641 969
m = 864 196
n = 864 196 - 18 = 864 178
m = 86 417
n = 86 417- 16 = 86 401
m = 8 640
n = 8640 - 2 = 8638
m = 863
n = 863 - 16 = 847
m = 84
n = 84 - 14 = 70
Divisible by 7.
I suppose trivia like this are only interesting for math(s)(*) enthusiasts and number geeks. Computational number theorists working with numbers of several million digits may actually use methods like this.
P.S.
(*) Just learned from Math is Fun that "Mathematics is commonly called Math in the US and Maths in the UK and in many other countries.".
Sabtu, 25 Desember 2010
കമന്റില് ഇപ്പോള് ചിത്രവും ഉള്പ്പെടുത്താം
ബ്ലോഗിന്റെ കമന്റ് ബോക്സില് <u> , <i> , <a> തുടങ്ങിയ ടാഗുകള് ഉപയോഗിക്കുന്നതിനു മാത്രമേ ബ്ലോഗര് (www.blogger.com) അനുവദിക്കാറുള്ളു. എന്നാലിതാ, വേണമെന്നു വെച്ചാല് കുറച്ചു കൂടി സൌകര്യങ്ങള് ബ്ലോഗില് വായനക്കാര്ക്ക് അനുവദിച്ചു കൊടുക്കാം. കമന്റ് ബോക്സില് ചിത്രം പോസ്റ്റ് ചെയ്യാന് കഴിഞ്ഞാലോ? നമ്മുടെ ചര്ച്ച കുറേക്കൂടി പൊടിപൊടിക്കില്ലേ? പ്രത്യേകിച്ച് പസില് ചര്ച്ചകളും ഗണിത സംശയങ്ങളും. അതുപോലെ കമന്റില് പ്രദര്ശിപ്പിക്കപ്പെടുന്ന അക്ഷരങ്ങളുടെ നിറത്തിലും ഇഷ്ടാനുസരണം നമുക്ക് വ്യത്യാസം വരുത്താനായെങ്കിലോ? ടി.വിയിലും മറ്റും ഫ്ലാഷ് ന്യൂസുകള് ചലിക്കുന്നതുപോലെ അക്ഷരങ്ങളെ ചലിപ്പിക്കാനായാലോ? ഈ വിദ്യ മാത്സ് ബ്ലോഗിലൊന്ന് പരീക്ഷിച്ചു നോക്കി. ടെംപ്ലേറ്റില് ഒരു ചെറിയ കോഡ് ഉള്പ്പെടുത്തുക മാത്രമേ ചെയ്തിട്ടുള്ളു, കേട്ടോ. വിശ്വാസമായില്ലേ? ശരി, നേരിട്ട് ഇവിടെത്തന്നെ പരീക്ഷിച്ചോളൂ. മേല്പ്പറഞ്ഞ രീതിയില് അക്ഷരങ്ങളും ചിത്രങ്ങളും പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള ടാഗുകളെപ്പറ്റിയും ടെംപ്ലേറ്റില് കോഡുകള് ഉള്പ്പെടുത്തിയതിനെപ്പറ്റിയുമെല്ലാം താഴെയുള്ള ഖണ്ഡികകളില് വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.
- ആദ്യം www.blogger.com വഴി നമ്മുടെ ബ്ലോഗിന്റെ ഡാഷ് ബോഡിലെത്തുക
- Design-Edit HTML എന്ന ക്രമത്തില് ടെംപ്ലേറ്റ് തുറക്കുക.
- Before editing your template, you may want to save a copy of it. Download Full Template എന്ന അറിയിപ്പു കണ്ടില്ലേ? എന്ത് എഡിറ്റിങ് വരുത്തുന്നതിനു മുമ്പും നമ്മുടെ ബ്ലോഗിന്റെ ടെംപ്ലേറ്റ് നാം കോപ്പി ചെയ്തു വെക്കണം. അതിനായി Download Full Template എന്ന ലിങ്കില് ക്ലിക് ചെയ്താല് മതി. പിന്നീട് പഴയ ടെംപ്ലേറ്റ് തന്നെ മതി എന്നു തോന്നിയാല് ഈ ഡൌണ്ലോഡ് ചെയ്ത് വെച്ച ഫയല് അപ്ലോഡ് ചെയ്താല് മതിയാകും.
- ഇനി ടെംപ്ലേറ്റിനു മുകളിലായി Expand Widget Templates എന്നതിനു നേരെ ഒരു ടിക് മാര്ക് കാണും. അതില് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.
- തുടര്ന്ന് </body> എന്ന ടാഗ് സെര്ച്ച് ചെയ്ത് കണ്ടു പിടിക്കുക.
അതിന് തൊട്ടുമുകളിലായി താഴെ കാണുന്ന സ്ക്രിപ്റ്റ് ഇവിടെ നിന്നും കോപ്പിയെടുത്ത് പേസ്റ്റ് ചെയ്യുക.(പിന്നീട് ടെംപ്ലേറ്റ് പഴയപടി മതിയെന്നു തോന്നിയാല് ടെംപ്ലേറ്റ് തുറന്ന് </body> ന് മുകളില് നിന്നും ഈ കോഡ് ഡിലീറ്റ് ചെയ്താല് മതിയാകും)
ഇനി ടെംപ്ലേറ്റ് സേവ് ചെയ്ത് പുറത്തു വന്നോളൂ. ഇനി നമ്മുടെ ബ്ലോഗില് ഈ സംവിധാനം വന്ന വിവരം മറ്റുള്ളവരെ അറിയിക്കേണ്ടേ? അതിനായി കമന്റ് ബോക്സിനു മുകളില് ഇത് നമുക്ക് വരുത്താം. അതിനായി Design-settings-comments എന്ന ക്രമത്തില് തുറക്കുക. ആ പേജിലെ Comment Form Message ല് താഴെ നല്കിയിരിക്കുന്ന വിവരങ്ങള് ചുരുക്കി എഴുതിയാല് മതി.
- കമന്റില് ചിത്രം ഉള്പ്പെടുത്താന് [im]Image URL[/im] എന്നതാണ് ടാഗ്. അതായത് [im],[/im]എന്നീ ടാഗുകള്ക്കിടയില് നല്കേണ്ട ചിത്രത്തിന്റെ യു.ആര്.എല് നല്കണം.
- കമന്റിലെ അക്ഷരങ്ങള്ക്ക് നിറം നല്കാനുള്ള ടാഗ് [co="red"]Type Text here[/co] എന്നതാണ്. ഇവിടെ red എന്നതിനു പകരം മറ്റ് നിറങ്ങള് നല്കിയാല് മതിയാകും. ഇത് അനുവര്ത്തിച്ചാല് ഒരു വാക്കിലെ ഓരോ അക്ഷരത്തിനും നിറം നല്കാവുന്നതേയുള്ളു.
- കമന്റിലെ അക്ഷരങ്ങളെ ചലിപ്പിക്കാനുള്ള ടാഗാണ് [ma]Type Text here[/ma]. ഇവിടെ [ma],[/ma] എന്നീ ടാഗുകള്ക്കുള്ളില് എഴുതുന്ന അക്ഷരങ്ങള് ചലിക്കുന്നത് കാണാന് കഴിയും
Merry Christmas
*★Merry★* 。 • ˚ ˚ ˛ ˚ ˛ •
•。★Christmas★ 。* 。
° 。 ° ˛˚˛ * _Π_____*。*˚
˚ ˛ •˛•˚ */______/~＼。˚ ˚ ˛
*° •˛• ☃｜ 田田 ｜門｜ ☃˚╰☆╮
...To ALL readers :) ♥♥♥
Jumat, 24 Desember 2010
ക്രിസ്തുമസ് ആശംസകള് - ഒപ്പമൊരു പസിലും
ക്രിസ്തുമസ് ദിനാഘോഷങ്ങളില് ഉണ്ണിയേശുവിനോടൊപ്പം തന്നെ പ്രാധാന്യമാണ് സാന്താക്ലോസിന്. തണുത്തു വിറങ്ങലിച്ച ക്രിസ്തുമസ് രാവില് ചുവന്ന വസ്ത്രവും കൂമ്പന് തൊപ്പിയും ധരിച്ചെത്തുന്ന നരച്ച താടിക്കാരനായ ക്രിസ്തുമസ് അപ്പൂപ്പന് ഒരു പ്രതീക്ഷയുടെ പ്രതീകമാണ്. ബലൂണുകളും ചുമലില് സമ്മാനപ്പൊതികളുമായി ആരും കാണാതെ സമ്മാനങ്ങള് നല്കാന് സാന്താക്ലോസ് വരുമെന്ന സങ്കല്പ്പം കുട്ടികളിലുണ്ടാക്കുന്ന സന്തോഷം ചില്ലറയല്ല. നാലാം നൂറ്റാണ്ടില് യൂറോപ്പില് ജീവിച്ചിരുന്ന സെന്റ്.നിക്കോളാസാണ് ക്രിസ്തുമസ് ഫാദറെന്നാണ് വിശ്വാസം. ആ പേര് ലോപിച്ചാണ് സാന്റാക്ലോസായി മാറിയതത്രേ. അതു കൊണ്ടു തന്നെ യൂറോപ്യന് രാജ്യങ്ങളില് സാന്തായുടെ വരവ് ഡിസംബര് ആദ്യ വാരങ്ങളിലേ തുടങ്ങുന്നു. ഡിസംബര് ആറിനാണ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ജന്മദിനം. ഡച്ചുകാരാണ് ഈ വിശ്വാസത്തെ ആധാരമാക്കി സാന്താക്ലോസിനും ക്രിസ്തുമസിനും തമ്മില് അഭേദ്യമായ ബന്ധമുണ്ടാക്കിയതത്രേ. റെയിന്ഡിയറുകള് നയിക്കുന്ന പ്രത്യേക വാഹനത്തില് രാത്രികളിലെത്തുന്ന ക്രിസ്തുമസ് പാപ്പ കുട്ടികള്ക്കുള്ള സമ്മാനങ്ങള് ആരും കാണാതെ വീടുകളില് നിക്ഷേപിച്ചു പോകുന്നുവെന്നാണ് പണ്ടുമുതലേയുള്ള സങ്കല്പ്പം. അതുകൊണ്ടു തന്നെ രക്ഷിതാക്കള് നല്കുന്ന സമ്മാനമായാലും ക്രിസ്തുമസ് പാപ്പ നല്കുന്ന സമ്മാനമാണതെന്ന് വിശ്വസിക്കാനാണ് കുട്ടികള്ക്കിഷ്ടം. ജൈവവൈവിധ്യത്തിന്റെ പുരാതനകാലം മുതലേയുള്ള പ്രതീകമായി പുല്ക്കൂടും, ക്രിസ്തുമസ് ട്രീയും, ക്രിസ്തുമസ് നക്ഷത്രവും. അതെ, ക്രിസ്തുമസിന്റെ ആഘോഷം വിശ്വമാനവഹൃദയങ്ങളുള്ളവരുടേതു കൂടിയാണ്. മാത്സ് ബ്ലോഗിനും ഇത് ആഘോഷവേള തന്നെയാണ്. ഇത്തവണത്തെ നമ്മുടെ ക്രിസ്തുമസ് ആഘോഷം കുറേക്കൂടി വ്യത്യസ്തതയാര്ന്നതാക്കാനാണ് നമ്മുടെ പരിപാടി. പരിപൂര്ണമായും ഗണിതവല്ക്കരണത്തോടെ തന്നെ. പതിനൊന്ന് ലക്ഷം ഹിറ്റുകളുടെ നിറവില് മാത്സ് ബ്ലോഗിലെ വിജയന് ലാര്വ സാര് രൂപപ്പെടുത്തിയ ഒരു ക്രിസ്തുമസ് പസിലാണ് ആഘോഷങ്ങള്ക്കായി തിരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നത്. താഴെയുള്ള ലിങ്കില് ക്ലിക്ക് ചെയ്ത് ചോദ്യം വായിക്കൂ. ഉത്തരം കണ്ടെത്താന് ശ്രമിക്കൂ.
നാടെങ്ങും ക്രിസ്തുമസ് ആഘോഷം പൊടിപൊടിക്കുമ്പോള് അനൂപിന്റെ മനസ്സിലൊരാഗ്രഹം. വ്യത്യസ്തതയോടെ എന്തെങ്കിലും ചെയ്യണം. അതിനെന്താണൊരു മാര്ഗം? തലപുകഞ്ഞാലോചിച്ച് അവനൊരു മാര്ഗം കണ്ടെത്തി. ആരും കാണാത്ത തരത്തിലുള്ള ഒരു നക്ഷത്രം വരച്ച് നിറം നല്കി കൂട്ടുകാര്ക്ക് മുമ്പാകെ പ്രദര്ശിപ്പിക്കണം. ഒരു സമപഞ്ചഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളില് വ്യത്യസ്ത വലിപ്പങ്ങളിലുള്ള മട്ടത്രികോണങ്ങള്
വരച്ച് അവനത് തയ്യാറാക്കുക തന്നെ ചെയ്തു. അവന് വരച്ച നക്ഷത്രം താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
സാധാരണകാണുന്ന നക്ഷത്രം പോലെയല്ലല്ലോ ഇത്. ഇതു കണ്ട കൂട്ടുകാര് അവനെ കളിയാക്കി. അനൂപിന് വിഷമമായി. "വശങ്ങളെല്ലാം പൂര്ണസംഖ്യകളാക്കിക്കൊണ്ട് ഇതുപോലൊരു നക്ഷത്രം ഉണ്ടാക്കാന് ഞാനെത്ര കഷ്ടപ്പെട്ടുവെന്നറിയുമോ? ഇങ്ങനെയൊന്ന് ഉണ്ടാക്കാന് നിങ്ങള്ക്കാര്ക്കെങ്ങിലും കഴിയുമോ?" ഉടനെ ഒരു നോട്ട് ബുക്ക് പേപ്പറില് ഇതുണ്ടാക്കിത്തരാമല്ലോയെന്നായി കൂട്ടുകാരിലൊരാള്. വെറുതെ നിര്ബന്ധം പിടിക്കേണ്ട, അതിനു സാധിക്കില്ലെന്ന് അനൂപും. മാത്രമല്ല, ഈ നക്ഷത്രം ഉണ്ടാക്കാനെടുത്ത കടലാസിന്റെ പരപ്പളവ് കണ്ടു പിടിക്കുന്നവര്ക്ക് ഒരു സമ്മാനം കൂടി തരുന്നുണ്ടെന്ന് അവന് വെല്ലുവിളിക്കുകയും ചെയ്ത. കൂട്ടുകാര് വെല്ലുവിളി ഏറ്റെടുത്തു.
നമ്മുടെ ചോദ്യം ഇതാണ്.
- ആര് പറഞ്ഞതാണ് ശരി? അനൂപ് പറഞ്ഞ പോലൊരു നക്ഷത്രം ഉണ്ടാക്കാന് നോട്ട് ബുക്കിലെ ഒരു ഷീറ്റ് കടലാസ് മതിയാകുമോ?
- അനൂപ് നക്ഷത്രമുണ്ടാക്കാനെടുത്ത പേപ്പറിന്റെ പരപ്പളവ് കണ്ടത്താമോ?
[Books] - Problem-Solving and Selected Topics in Number Theory
Provides a self-contained introduction to classical number theory;
Includes step-by-step proofs of theorems and solutions to exercises;
Designed for undergraduate students ( ... );
( Olympiad-caliber problems )
My Christmas Present from myself ( who else? )... Do you mind? ;-) - This boook symbolizes my commitment to Number Theory. Besides M373 / M381 ( 2011 ) and MST209 / M336 ( 2012 ) I will focus my self-study on Number Theory. Besides Elementary ( or Classical ) Number Theory which is covered by M381 I have a shortlist of books on Analytical-, Algebraic- and Computational Number Theory.
Oh, and I think I'll ask Caz ( who has a column on Platform ) to blog about why people think they are successful in their studies. It could lead to some interesting discussion and hopefully valuable ideas. Where do they come from: Study Results <- Progress <- Concentration <- Focus <- Discipline ??
Kamis, 23 Desember 2010
OU final registrration date extended until 6/Jan-'11
Received the following e-mail.
( I have quite a 'registration-story' forthcoming too. )
The final date for reserving a place on an undergraduate course starting in Feb 2011 has now been extended until 6th January 2011, due to the adverse weather conditions.
( I have quite a 'registration-story' forthcoming too. )
രാമാനുജന് സംഖ്യകള് - ഒരു രേഖാചിത്രം
ഡിസംബര് 22. ഇന്ഡ്യന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ രാജകുമാരന്റെ ജന്മദിനം.ദിനാഘോഷപ്പട്ടികയില് ഇടം കിട്ടാതെ പോയ ഈ ദിവസമാണ് ശ്രീനിവാസരാമാനുജന് അയ്യങ്കാര് ജനിച്ചത്.ഗണിതമേളകളിലൂടെ, അധികവായനയ്ക്കുള്ള കണക്കുപുസ്തകങ്ങളിലൂടെ കുട്ടികളുടെ കളക്ഷന് പുസ്തകങ്ങളിലൂടെ രാമാനുജന് എന്ന ഗണിതജ്ഞന് ജീവിക്കുന്നു. നമ്മുടെ പുതിയ ഒന്പതാംക്ലാസ് പാഠപുസ്തകത്തില് വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവും പരപ്പളവും ചര്ച്ചചെയ്യവെ നല്കിയിട്ടുള്ള രാമാനുജനെക്കുറിച്ചുള്ള സൈഡ് ബോക്സ് കണ്ടിരിക്കുമല്ലോ?
1729 എന്ന സംഖ്യയുടെ വ്യക്തിത്വം അനാവരണം ചെയ്തുകൊണ്ട് കുട്ടികള് ലഘുപ്രോജക്ടുകള് തയ്യാറാക്കാറുണ്ട്.ഈ സംഖ്യയുടെ എല്ലാഘടകങ്ങളും ഒറ്റസംഖ്യകളാണത്രേ!അവ കൊണ്ട് രൂപീകരിച്ച ഒരു സംഖ്യാപാറ്റേണ് കണ്ടിട്ടുണ്ടോ?
1729 ന്റെ പ്രത്യേകതയുള്ള അനേകം സംഖ്യകളുണ്ട്. അവയെ പൊതുവെ Rസംഖ്യകള് എന്നു വിളിക്കുന്നു.പഠന സൗകര്യത്തിനായി ഗവേഷകര് 1729 നെ ആദ്യത്തെ മൂന്നാംവര്ഗ്ഗ രാമാനുജന് സംഖ്യയായി കണക്കാക്കുന്നു.രണ്ട് വ്യത്യസ്ത നിസര്ഗ്ഗ സംഖ്യകളുടെ വര്ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകയായി രണ്ടുവ്യത്യസ്ത തരത്തില് എഴുതാന് കഴിയുന്ന സംഖ്യകളാണ് രണ്ടാംവര്ഗ്ഗ രാമാനുജന് സംഖ്യകള് .ഇത്തരം സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ആരംഭിക്കുന്നത് Cayley പട്ടിക ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടാണ്.പട്ടികയുടെ ഒരു ചെറുരൂപമാണ് താഴെ കാണുന്നത്
ഈ പട്ടികയില് നിന്നും ആദ്യത്തെ രണ്ടാംവര്ഗ്ഗ രാമാനുജന് സംഖ്യ വളരെ എളുപ്പത്തില് കണ്ടെത്താം.
ഇവ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ബീജഗണിതസമീപനം ചിന്തനീയമാണ്.
ഈ സര്വ്വസമവാക്യത്തില് n ന് നിസര്ഗ്ഗസംഖ്യാവിലകള് നല്കി അനേകം രണ്ടാംവര്ഗ്ഗരാമാനുജന് സംഖ്യകള് എഴുതാം.
ഇത്തരം ഒരു പഠനത്തിനുതന്നെ പ്രസക്തിയുണ്ടായത് ആദ്യത്തെ മൂന്നാംവര്ഗ്ഗ രാമാനുജന്സംഖ്യയുടെ സാന്നിധ്യമാണല്ലോ.
ഇവ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതിയും ഒരു പട്ടികയയും കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
ഇതു പോലെ ഉയര്ന്ന വര്ഗ്ഗത്തിലുള്ള സംഖ്യകളെ കണ്ടെത്തുക ശ്രമകരമാണ്. അവിടെയാണ് കമ്പ്യൂട്ടര് പ്രോഗ്രാമുകളുടെ പ്രസക്തി.രാമാനുജന് സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് പലതരം പ്രവര്ത്തനങ്ങള് നടത്തിയിട്ടുള്ള അധ്യാപകരും കുട്ടികളും നമ്മുടെ ഇടയിലുണ്ട് . അവരുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും കൂട്ടിച്ചേര്ക്കലുകളും വിലപ്പെട്ടതാണ്.
റിവിഷന് പേപ്പര് 5 ന് ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക
കെ.കരുണാകരന് വിടവാങ്ങി
മുന് മുഖ്യമന്ത്രി കെ.കരുണാകരന് (92) അന്തരിച്ചു. തിരുവനന്തപുരത്തെ സ്വകാര്യ ആസ്പത്രിയില് വൈകീട്ട് 5.30 ഓടെയായിരുന്നു അന്ത്യം. കടുത്ത പനിയും ശ്വാസതടസ്സവും അനുഭവപ്പെട്ടതിനെ തുടര്ന്ന് ഈ മാസം 10നാണ് അദ്ദേഹത്തെ ആസ്പത്രിയില് പ്രവേശിപ്പിച്ചത്. ഇടയ്ക്ക് ആരോഗ്യനില വഷളാകുകയും ചെയ്തെങ്കിലും പതിവുപോലെ കരുണാകരന് ആരോഗ്യനില വീണ്ടെടുത്തു. എന്നാല് ബുധനാഴ്ചയോടെ സ്ഥിതി വീണ്ടും ഗുരുതരമായി. വ്യാഴാഴ്ച രാവിലെ അദ്ദേഹത്തെ സി.ടി സ്കാനിന് വിധേയനാക്കി. ബ്രെയിന് സ്റ്റെമ്മിന് തകരാറുള്ളതായും തലച്ചോറില് രക്തം കട്ടം പിടിച്ചതായും സ്കാനിങ്ങില് കണ്ടെത്തിയിരുന്നു. മക്കളായ കെ.മുരളീധരനോടും പത്മജ വേണുഗോപാലിനോടും യഥാര്ഥ സ്ഥിതി ഡോക്ടര്മാര് വ്യക്തമാക്കുകയും ചെയ്തിരുന്നു. വൈകിട്ട് അഞ്ചരയോടെ ഡോക്ടര്മാര് മരണവിവരം സ്ഥിരീകരിച്ചു. സംസ്കാരം ശനിയാഴ്ച്ച രാവിലെ തൃശൂരില്
(വാര്ത്തയ്ക്ക് കടപ്പാട് : മാതൃഭൂമി)
മുന് മുഖ്യമന്ത്രി കെ.കരുണാകരനോടുള്ള ആദരസൂചകമായി ഡിസംബര് 24 ന് സംസ്ഥാനത്തെ സര്ക്കാര് ഓഫീസുകള്ക്കും പ്രൊഫഷണല് ഉള്പ്പെടെയുള്ള വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങള്ക്കും സംസ്ഥാനപൊതുമേഖലാ സ്ഥാപനങ്ങള്ക്കും, സഹകരണ ബാങ്കുകള്ക്കും സ്റാറ്റ്യൂട്ടറി സ്ഥാപനങ്ങള്ക്കും അവധി പ്രഖ്യാപിച്ചു. ഡിസംബര് 24 ന് രാവിലെ ഒമ്പത് മണിക്ക് കോണ്ഗ്രസ് കമ്മിറ്റി ആസ്ഥാനത്തും 10 മണിക്ക് സെക്രട്ടേറിയറ്റ് ഡര്ബാര് ഹാളിലും അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഭൌതിക ശരീരം പൊതുദര്ശനത്തിന് വയ്ക്കും. തുടര്ന്ന് തൃശൂര് ടൌണ് ഹാളില് പൊതുദര്ശനത്തിന് വയ്ക്കും. തൃശൂരില് പൂര്ണ സംസ്ഥാന ബഹുമതികളോടെയായിരിക്കും സംസ്കാരം. ദുഖാചരണത്തോടനുബന്ധിച്ച് ഏഴ് ദിവസം സംസ്ഥാനത്ത് ഔദ്യോഗിക പരിപാടികള് ഉണ്ടാവില്ല. സംസ്ഥാന ദുഖാചരണത്തിന്റെ ഭാഗമായി മൂന്ന് ദിവസം (25 വരെ) ദേശീയ പതാക പകുതി താഴ്ത്തിക്കെട്ടും
Selasa, 21 Desember 2010
[Sign of the times] To: Richard Branson
Richard Branson has criticised the British education system for "overeducating" students and failing to prepare them for the business world, according to leaked diplomatic cables. Branson is by no means the only successful businessman to choose experience over education. - The Virgin tycoon, who is dyslexic and left school at the age of 15, has previously said that he gained valuable business experience while his peers were at university. (From The Telegraph)
Dear Mr. Richard Branson,
All the money you made can't buy you a single pass of a 10 point level 1 course. I suppose 90% of the 16-year olds are smarter than you because you were so stupid to leave school at the age of 15. You may need brainless morons to obey your orders in exchange for a few coins, society needs some very smart people to solve the current global problems which you are partly responsible for.
Kind regards.
Langganan:
Postingan (Atom)