Sabtu, 11 September 2010
Euler Diagram or Venn Diagram: what's the difference ?
Got an interesting reply to my post on the UK Venn Diagram. This is actually an Euler Diagram. Again Euler!
Jumat, 10 September 2010
Tes Mata Anda
Percayakah jika garis-garis horisontal di atas sejajar?
Lihat dan fokus pada titik pusat, lalu maju mundurkan kepala anda. Apa yang terjadi?
Cobalah baca tulisan di atas. Jika belum terbaca pasti anda menderita rabun dekat (he..he. he..)..Cobalah mundur sampai terbaca tulisannya. Tulisan apakah itu?
Kamis, 09 September 2010
പൈതഗോറസ് തത്വം : തെളിവുകള്
ഒന്പതാംക്ലാസിലെ സദൃശത്രികോണങ്ങളെന്ന (Similar Triangles) പാഠഭാഗത്തെക്കുറിച്ച് ശാക്തീകരണ മൊഡ്യൂളില് പരാമര്ശിക്കുന്നുണ്ട്. സദൃശത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതയുപയോഗിച്ച് പൈതഗൊറസ് തത്വം തെളിയിക്കാന് ആവശ്യപ്പെടുന്നു. പൈതഗൊറസ് തത്വത്തിന്റെ വിവിധതരം തെളിവുകള് അമ്പേഷിക്കാന് ആവശ്യപ്പെടുന്നു. സെപ്റ്റംബര് 25 ന് നടക്കുന്ന ശാക്തീകരണ പരിപാടിയുടെ ഭാഗമായി വരുന്ന ഒരു ചര്ച്ചയെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഈ പോസ്റ്റ് കുറെയെങ്കിലും അധ്യാപകര്ക്ക് സഹായകമാകുമെന്ന് പ്രത്യാശിക്കുന്നു. പോസ്റ്റിലേക്ക്.
ABC ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്. AB എന്ന കര്ണ്ണത്തെ വശമാക്കി AEDB എന്ന സമചതുരം വരച്ചിരിക്കുന്നു. BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി Aയിലൂടെയും, Dയിലൂടെയും വരച്ചിരിക്കുന്നു. അതുപോലെ ACക്ക് സമാന്തരമായി Bയിലൂടെയും Eയിലൂടെയും വരച്ചിരിക്കുന്നു. നടുക്ക് ഒരു സമചതുരം ഉണ്ടാകും. അത് യുക്തിപരമായി തെളിയിക്കാനും പറ്റുമല്ലോ. അതിനു ചുറ്റുമായി നാലു മട്ടത്രികോണങ്ങള് കാണാം.അവ സര്വ്വസമങ്ങള് തന്നെ. കര്ണ്ണം cയും മറ്റുവശങ്ങള് a,bവീതമാണ്. ഇവ മുറിച്ചെടുത്ത് ചേര്ത്തുവെച്ചാല് ഒരു ചതുരവും ബാക്കി നടുവിലുള്ള സമചതുരവും കിട്ടും.
ഇവയുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുക ABDE യുടെ പരപ്പളവായിരിക്കുമല്ലോ.
(b – a)2 + 2ab = c2
ഇത് b2 + a2 = c2 എന്ന് എഴുതാം. ഇങ്ങനെ പൈതഗോറസ് തത്വം തെളിയിക്കാമല്ലോ.
ഇനി മറ്റൊരു തെളിവു നോക്കാം.
ABCD ഒരു സമചതുരമാണ്.അതിന്റെ വശങ്ങളില് AP = BQ =CR = DS എന്ന തരത്തില് P, Q , R , S എന്നീ ബിന്ദുക്കള് അടയാളപ്പെടുത്തുക. അവ ക്രമത്തില് യോജിപ്പിക്കാമല്ലോ.അപ്പോള് മുകളില് കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം കിട്ടും.PQRS എന്നത് ഒരു സമചതുരമാണ്
DR = CQ = BP = AS = b എന്നും AP = BQ = CR = DS എന്നും , PQRS ന്റെ വശം c എന്നുമെടുക്കുക. സര്വ്വസമങ്ങളായ നാലു മട്ടത്രികോണങ്ങളും സമചതുരവും ചേര്ത്താല് വലിയസമചതുരം കിട്ടുമല്ലോ.
2ab + c2 = (a+b)2
ഇതില് നിന്നും a2 + b2 = c2 എന്നു കിട്ടുമല്ലോ.
ഇനി മറ്റൊരു തെളിവുനോക്കാം
സമാന്തര വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ തുക സമാന്തരവശങ്ങള് തമ്മിലുള്ള അകലമാകത്തക്ക വിധത്തില് ഒരു ലംബകം വരക്കാം .
BC = AP , AD = PB ആകും വിധം P അടയാളപ്പെടുത്തുക.
ത്രികോണം APD , ത്രികോണം BPC എന്നിവ മട്ടത്രികോണങ്ങളാണ്.അവ സര്വ്വസമങ്ങളുമാണ്.
ത്രികോണം DPC സമപാര്ശ്വമട്ടത്രികോണവുമാണ്. അതിന്റെ കര്ണ്ണമല്ലാത്ത തുല്യവശങ്ങള് c വീതം
ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവിനെ മൂന്നു ത്രികോണങ്ങളുടെ തുകയായെഴുതി തത്വം തെളിയിക്കാം.ശ്രമിക്കുമല്ലോ?
ഇരുപത്തിയഞ്ചാം തിയതി നടക്കുന്ന രണ്ടാംദിവസപരിശീലനത്തില് ,സദ്യശത്രികോണങ്ങള് ചര്ച്ചചെയ്യുമ്പോള് ഈ തെളിവുകള് കൂടി പരിഗണിക്കാം.
ഇതൊരു ലാബ് പ്രവര്ത്തനമായി വികസിപ്പിച്ചെടുക്കാവുന്നതാണ്.പിന്നെ നല്ലൊരു വര്ക്കിങ്ങ് മോഡലാണ്.
Is Math Creative?
22 out of 23 preservice K-8 teachers agree:
Math is Creative
They were able to tap into the arguments that people have contrarily, though. Math is about number-crunching, plug and chug, is boring, about right and wrong. I asked them to discuss at there tables how to counter those arguments, and they said:
- Everything can be mathematical - there are numbers everywhere. I think in numbers! Any lesson can tie in.
- Numbers can be manipulated in many different and unique ways.
- The basic skills are concrete, but the application is creative. Like physics: need math to describe creatively.
- The reasoning is creative. People discovered mathematics.
- The communication of math is creative. Explaining how things work.
- Creative how mathematicians come up with the formulas. Might have just discovered it accidentally.
- The different ways to represent: graphs, tables, etc.
- Math is the universal language. Everyone can communicate in it.
It was very insightful to me how they focused on the communicative aspect of mathematics. If math is a language, it may or may not be creative, much as uses of language may or may not be creative. As we share our own genuine thinking, and the way we perceive the world (or a problem), we create opportunities for creative expression.
The class moved on to look at how they communicated their work on a problem of making quadrilaterals by folding a square (an extension of this nice 3rd grade problem filmed by Annenberg - Teaching Math, Lesson 20). And immediately focused on what the answer was and were they right. After our years of school mathematics, we have definitely been well trained.
In the second workshop, we considered the quadrilateral types, and in particular the idea of nested categories or hierarchical sorting. I show this weird little travelogue:
(I want to update it and maybe make that into an animoto, but the ppt file is corrupted, so it will be more work than I have time for right now.)
The students then made posters of some of the quadrilateral types, striving for a variety of examples, and to be creative in making the posters. Critique and discussion of the posters brought out the discussion points I was hoping for, like which properties are necessary, considering symmetry as an important characteristic, and whether trapezoids should have exactly or at least one pair of parallel sides.
Trying to make space for creativity is not going to be a one lesson effort, but hopefully a theme for the whole semester. I can't wait to see what happens.
EDIT: updated the slideshow to have more visual cues and a couple extension slides. I wanted there to be more to notice.
EDIT2: added student posters for the quadrilaterals. We worked on generating a variety of examples. Some made only the specific types, but some made a variety of types that fit the required properties. I like having both kinds of posters!
Preassessment, Part II
So I asked my teacher assistants about their dispositions towards growth, because that makes an even bigger difference now that they're trying to help others learn. My geometry students I asked about... geometry. It has a benefit of starting to communicate what is in K-8 geometry and it familiarized them with Michigan's standards. (Which were all important up until the common core. They're still close since we were an Achieve state.)
But instead of quizzing them on content that they've mostly had at some point, I want to know more about how they experience the problems. (I do peek at their answers, of course. Data is good.) In particular, if the answer was available by recall, by one or two steps, required more thought than that, or if they do not know how to begin the problem, or cannot answer. I feel like that moves it away from feeling like a quiz, and the results have felt more honest since I started polling for this kind of information.
Here's the assessment and results. The questions are mostly mild modifications of released items and sample practice items for the big state assessment.
322 Pre Assessment
The lack of comfort with unit conversion and the metric system is quite typical, as is the challenge of recalling and applying formulas. All of these students have had our course for all elementary teachers, and are typically quite sound on most of the content. It's quite striking for me that even math majors have these issues. What chance does a typical student have? A challenged student?
At the end of the content, I ask them what questions this raised for them about teaching. Bold and italics are my categorization of their responses.
Questions on teaching K-8 Geometry
Big Teaching Questions:
Students:
Content Specific:
But instead of quizzing them on content that they've mostly had at some point, I want to know more about how they experience the problems. (I do peek at their answers, of course. Data is good.) In particular, if the answer was available by recall, by one or two steps, required more thought than that, or if they do not know how to begin the problem, or cannot answer. I feel like that moves it away from feeling like a quiz, and the results have felt more honest since I started polling for this kind of information.
Here's the assessment and results. The questions are mostly mild modifications of released items and sample practice items for the big state assessment.
The lack of comfort with unit conversion and the metric system is quite typical, as is the challenge of recalling and applying formulas. All of these students have had our course for all elementary teachers, and are typically quite sound on most of the content. It's quite striking for me that even math majors have these issues. What chance does a typical student have? A challenged student?
At the end of the content, I ask them what questions this raised for them about teaching. Bold and italics are my categorization of their responses.
Questions on teaching K-8 Geometry
Big Teaching Questions:
- What should the teacher be doing? How do we find ways of teaching that creative, engaging and instructive? Where do we find the best ideas for lesson plans? How can we use the standards to help plan a fun lesson?
- What should students be learning? What exercises lead to deeper understanding? How can we be sure our students understand vs performing procedures?
- How much time do you spend on a topic? How do you teach everything in a year? What do I do when one or two students don’t understand – do I continue or stop for them? How do you teach so everyone is on the same level?
- How much work should be shown on each problem by students? (Different at different grade levels?) Should it be shown or mandatory?
- How to introduce a brand new topic?
- Are students allowed to use calculators? What tools can they use on assessments?
Students:
- How do teachers organize material to make it easier for students?
- What is their vocabulary? How do we take that into consideration? How do we teach the language?
- How will I teach to students with different learning styles? How do we explain well enough for all students to understand?
- What do students find most engaging?
- What variety of solutions do students come up with?
Content Specific:
- How can I apply this stuff to life?
- How does it [all this content?] all fit together?
- What geometry concept is the most difficult for students? What strategies do we teach to solve geometry problems? How do children do these when I used later knowledge?
- How much geometry is there in the younger grades?
- Is measurement hard for students?
- How to teach formulas without just memorizing? Are there other techniques besides formulas for volume, etc? How do you break formulas down? How do you help kids memorize them?
- How do you teach conversions so students can remember?
- Quite Specific: How do you teach to estimate? How do you teach congruence? Do students use pi=3.14 or do they need to know more? How do you find areas of arced shapes?
Rabu, 08 September 2010
Making Math Fun
The younger child learns through play. This is a well-known fact that prompts many fun ideas in preschool educators; but once children hit elementary school, the fun tends to slowly diminish over time. Hands on projects are replaced with worksheets that display fewer and fewer pictures as kids make their way into higher grades.
Because math is a difficult subject for many children to grasp, keeping the fun alive may just be a way to assist students in their quest for knowledge. Realizing that not all children learn in the same manner, it makes sense to pepper your math lessons with audio and visual tools. For some elementary aged children, there is a need to be very hands on for learning and retention to occur.
For the teacher who presides over 20 or so squirming second graders, it can be a bit scary to consider introducing new lessons that may get out of hand. Classroom control is always in the forefront of the elementary teacher’s mind; and rightfully so. However, an outdoor lesson that is engaging and fun can hold students’ attention even better than a lesson in which they are sitting quietly at their desks.
To keep children engaged, give them real-life objects to use for counting. This could be stickers, gold coins or skittles if they have been very good. Kids enjoy counting objects that are interesting and familiar. Colorful objects can be mentally stimulating and kids get a kick out of the novelty. A teacher can make changes to objects used for counting throughout the year as a way to consistently challenge students and hold their attention.
When teaching about money, it makes a difference what you use. Whenever possible, use real money to teach about this subject. Handling money is a real-life skill, and for children to adequately grasp and retain information, it helps to use real-life objects as much as possible.
It is always essential for a teacher to relate with their students. This is true regardless of the subject being taught. Fun math will include kids’ interests. This is why using small snacks such as colored candies, grapes, pretzels or marshmallows goes over so well with younger students. Planning a fun math lesson that includes snacks can be a great end of the week treat to reward children for a week of positive classroom behavior. Kids also love sports; which allows a teacher to utilize some of their favorite sports when teaching statistics.
Word problems prove to be a real challenge for many students. A teacher can help by creating fun word problems that students can relate to. For instance, use the name of a student in the word problem, and a real-life situation that student may encounter. “Sally had three pickles in her sandwich and ate two...”
Kids and math can be a great mix with a little planning and a focus on the fact that children learn through play. These tips for fun math can be used effectively throughout elementary school and even into junior high.
Because math is a difficult subject for many children to grasp, keeping the fun alive may just be a way to assist students in their quest for knowledge. Realizing that not all children learn in the same manner, it makes sense to pepper your math lessons with audio and visual tools. For some elementary aged children, there is a need to be very hands on for learning and retention to occur.
For the teacher who presides over 20 or so squirming second graders, it can be a bit scary to consider introducing new lessons that may get out of hand. Classroom control is always in the forefront of the elementary teacher’s mind; and rightfully so. However, an outdoor lesson that is engaging and fun can hold students’ attention even better than a lesson in which they are sitting quietly at their desks.
To keep children engaged, give them real-life objects to use for counting. This could be stickers, gold coins or skittles if they have been very good. Kids enjoy counting objects that are interesting and familiar. Colorful objects can be mentally stimulating and kids get a kick out of the novelty. A teacher can make changes to objects used for counting throughout the year as a way to consistently challenge students and hold their attention.
When teaching about money, it makes a difference what you use. Whenever possible, use real money to teach about this subject. Handling money is a real-life skill, and for children to adequately grasp and retain information, it helps to use real-life objects as much as possible.
It is always essential for a teacher to relate with their students. This is true regardless of the subject being taught. Fun math will include kids’ interests. This is why using small snacks such as colored candies, grapes, pretzels or marshmallows goes over so well with younger students. Planning a fun math lesson that includes snacks can be a great end of the week treat to reward children for a week of positive classroom behavior. Kids also love sports; which allows a teacher to utilize some of their favorite sports when teaching statistics.
Word problems prove to be a real challenge for many students. A teacher can help by creating fun word problems that students can relate to. For instance, use the name of a student in the word problem, and a real-life situation that student may encounter. “Sally had three pickles in her sandwich and ate two...”
Kids and math can be a great mix with a little planning and a focus on the fact that children learn through play. These tips for fun math can be used effectively throughout elementary school and even into junior high.
Emily Suess, who loves creating lanyards and a graduate of Indiana University-Purdue University Indianapolis, writes about recent school trend topics like conference tips and college issues. She has worked for over seven years as a freelance writer/editor and is now focusing on early childhood education. Her works have been published in Children’s Digest magazine and Indiana Insight magazine as well as on the web.
Senin, 06 September 2010
Minggu, 05 September 2010
ജിയോജിബ്ര - ഒന്നാം പാഠം
ജിയോജിബ്ര ഐടി@സ്ക്കൂള് വഴി സ്ക്കൂളുകളിലേക്കെത്തിച്ചപ്പോള് മുതല് അധ്യാപകര് ആവശ്യപ്പെട്ട ഒന്നായിരുന്നു ജിയോജിബ്ര പഠിക്കാനുള്ള പോസ്റ്റുകള് വേണമെന്നത്. പൈത്തണ് പാഠങ്ങളുടെ ആരംഭിച്ചതോടെ അത് പരിഭവം കലര്ന്ന ആവശ്യമായി മാറി. ജിയോജിബ്രയുടെ സാധ്യതകളെയെല്ലാം പ്രയോജനപ്പെടുത്തി എറണാകുളം എം.ടിയായ സുരേഷ്ബാബു സാറും തൃശൂര് എം.ടിയായ വാസുദേവന് സാറും മാത്സ് ബ്ലോഗിലൂടെ ഇടപെട്ടു കൊണ്ടിരുന്നു. മുരളീകൃഷ്ണന്, പ്രദീപ് മാട്ടറ, സുരേഷ് ബാബു.ടി.പി, അബ്ദുള് ഹക്കീം, കരുണാകരന്, ജഗദീശവര്മ്മത്തമ്പാന്, ഉണ്ണികൃഷ്ണന്, പോള്.കെ.ജെ, സുരേഷ് എസ്.ആര് എന്നിവരടക്കമുള്ള കേരളത്തിലെ ജിയോജിബ്രടീമിന്റെ സഹായവും ഇടപെടലുകളും പ്രതീക്ഷിച്ചു കൊണ്ട് നമുക്ക് ജിയോജിബ്ര പഠനപരിപാടിക്കു തുടക്കമിടാം.ആമുഖം : അമേരിക്കയിലുള്ള സാല്സ് ബര്ഗ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ മര്ക്കസ് ഹോവന് വാര്ടര് 2001 ല് നിര്മിക്കുകയും ഇപ്പോഴും മെച്ചപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ടി രിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു ഇന്ററാക്ടീവ് സോഫ്റ്റ് വെയറാണ് ജിയോജിബ്ര. ജിയോജിബ്ര പഠന ബോധനപ്രക്രിയയില് രണ്ട് രീതിയില് ഉപയോഗിക്കാം. ഒപ്പം ചില പ്രവര്ത്തനങ്ങളും നല്കിയിരിക്കുന്നു. ജിയോജിബ്ര സംബന്ധമായ ഏതു സംശയങ്ങളും ഈ പോസ്റ്റില് ചോദിക്കാവുന്നതേയുള്ളു. ഇനി പാഠത്തിലേക്ക്
ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങള് നിര്മ്മിക്കുന്നതിനും കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള കമ്പ്യൂട്ടര് പ്രോഗ്രാമുകളാണ് ഇന്ററാക്റ്റീവ് ജ്യാമിതി സോഫ്റ്റ്വെയറുകള്. ചലന ചിത്രങ്ങളെയും(video) സാധാരണ ഫോട്ടോകളെയും താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതു പോലെയാണ് ജ്യാമിതീയ ചിത്ര നിര്മ്മിതികളെയും ഇന്ററാക്റ്റീവ് സോഫ്റ്റ് വേറുകളെയും താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നത്. (Dynamic geometry is to geometry as movies are to photographs.) ഇത്തരത്തിലുള്ള എല്ലാ പ്രോഗ്രാമുകളിലും ബിന്ദുക്കള്, വരകള്, വൃത്തങ്ങള് തുടങ്ങിയ അടിസ്ഥാന രൂപങ്ങളും തുടര്ന്ന് അവയെ ആധാരമാക്കി കൂടുതല് സങ്കീര്ണമായ മറ്റു നിര്മ്മിതികളും തയ്യാറാക്കാം. ഈ നിര്മ്മിതികളില് നിന്നും രൂപീകരിക്കാവുന്ന ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങള് വലുപ്പ, സ്ഥാന, ആകൃതി വ്യത്യാസമില്ലാതെ അത്തരത്തിലുള്ള എല്ലാ രൂപങ്ങള്ക്കും ശരിയാകുമോ എന്നു പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യാം. നിര്മ്മിച്ചിരിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ സ്ഥാനം സ്വതന്ത്രമായി മാറ്റാന് കഴിയുന്നതുകൊണ്ടാണ് ഇത്തരം ആശയ വേരിഫിക്കേഷന് സാധ്യമാവുന്നത്.
1980 കളുടെ ആദ്യ പാദത്തില് നിര്മ്മിക്കപ്പെട്ട ജിയോമെട്രിക് സപ്പോസര് ആണ് ഇത്തരം സോഫ്റ്റ് വേറുകളിലെ ആദ്യ ജാതന്. തുടര്ന്ന് കാബ്രി, ഡ്രോയിങ് ജ്യോമെട്രി (Dr. Geo), കെ ഇന്ററാക്റ്റീവ് ജ്യാമിതി (KIG), കാര്മെറ്റല്, ജിയോജിബ്ര, ജിയോമെട്രിയ, സിന്ഡെറല്ല തുടങ്ങി അനേകമെണ്ണം രൂപം കൊണ്ടു. ഇവ ഗ്നൂ / ലിനക്സ്, വിന്ഡോസ്, മക്കിന്റോഷ് തുടങ്ങി പല ഓപറേറ്റിങ് സിസ്റ്റങ്ങളില് പ്രവര്ത്തിക്കുന്നവയാണ്. കാബ്രി, സിന്ഡെറല്ല പോലുള്ള കുത്തക സോഫ്റ്റ് വേറുകളും കൂട്ടത്തിലുണ്ട്. Dr. Geo, Kig, Carmetal, Geogebra, Geometria എന്നിവ സ്വതന്ത്ര സോഫ്റ്റ് വേറുകളാണ്. ഇവിടെ ഒട്ടനവധി ജ്യാമിതീയ സോഫ്റ്റ് വേറുകളെക്കുറിച്ചുള്ള താരതമ്യം കാണാം.
പഠന ബോധനപ്രക്രിയയില് ജിയോജിബ്ര രണ്ടു രീതിയില് ഉപയോഗിക്കാമെന്നു പറഞ്ഞു. അതെങ്ങനെയെല്ലാമാണെന്നു നോക്കാം.
- അദ്ധ്യാപകസഹായി - തന്റെ വിഷയങ്ങള് കൂടുതല് നന്നായി പഠിപ്പിക്കാന് അദ്ധ്യാപകന്റെ ഉപകരണമെന്ന നിലയില് അഥവാ, ബോധനസഹായി.
- വിദ്യാര്ത്ഥികള്ക്ക് സ്വയം പഠനസഹായി - കൂടുതല് ഇന്ററാകടീവ് ആയി രൂപകല്പന ചെയ്ത അപ് ലറ്റുകള് കുട്ടികള്ക്ക് പാഠങ്ങള് സ്വയം ചെയ്തു നോക്കുന്നതിനും ആശയങ്ങള് വിശകലനം ചെയ്തുനോക്കുന്നതിനും സഹായിക്കുന്നു.
വേണ്ട സജ്ജീകരണങ്ങള്
നമ്മുടെ വിദ്യാലയങ്ങളിലെ സിസ്റ്റങ്ങളില് IT@School കസ്റ്റമൈസ് ചെയ്ത Ubuntu 9.10 or Ubuntu 10.04 ആണെങ്കില് Geogebra സോഫ്റ്റ് വെയര് അതില് ലഭ്യമാണ്. പഴയ Linux 3.2 or Linux 3.8 ആണെങ്കില് Edusoft എന്ന പേരില് IT@School തയ്യാറാക്കിയ CD ഇന്സ്റ്റാള് (Synaptic Package Manager ) ചെയ്യണം. ഇവ ലഭ്യമല്ലെങ്കില് Geogebra ഡൗണ്ലോഡ് ഇന്സ്റ്റാള് ചെയ്യണം. ലിനക്സില് ജിയോജിബ്ര ഇന്സ്റ്റാള് ചെയ്യാനുള്ള ലിങ്കുകളും നിര്ദ്ദേശങ്ങളും ഇവിടെയുണ്ട്. വിന്ഡോസ് വേര്ഷന് വേണ്ട ഇയോജിബ്ര ഇവിടെ നിന്ന് ഇന്സ്റ്റാള് ചെയ്യാം.
Applications → Education → Geogebra എന്ന രീതിയില് നമുക്ക് ഇത് തുറക്കാം. തുറന്നുവരുന്ന ജാലകം ശ്രദ്ധിക്കൂ. ജിയോജിബ്ര ജാലകത്തിന് വിവിധ ഭാഗങ്ങളുണ്ട്. ചിത്രങ്ങള് വരയ്ക്കുന്നതിന് തലത്തിലെ (Drawing pad) അക്ഷങ്ങളും ഇടതുവശത്തെ പാനലും ആവശ്യ മില്ല. View മെനുവില് നിന്നും അവ വേണ്ടെന്ന് വെയ്ക്കുവാനും ആവശ്യമുള്ളപ്പോള് ഉള്പ്പെടുത്താനും സാധിക്കും.
ജിയോജിബ്രയില് 11 സെറ്റ് ടൂളുകളിലായി 58 ടൂളുകളാണുള്ളത്. ഓരോ ടൂള് സെറ്റിലേയും താഴെ ഇടതു കാണുന്ന ആരോയില് ക്ലിക്കുചെയ്താല് ആ ടൂള് സെറ്റിലുള്ള മറ്റു ടൂളുകളും കാണാം.
പ്രവര്ത്തനം 1.
ടൂള് ബാറിലെ ഓരോ സെറ്റിലുമുള്ള ടൂളുകള് പരിശോധിച്ച് അവയുടെ ഉപയോഗം ലിസ്റ്റ് ചെയ്യുക.
ജ്യാമിതിയിലെ അടിസ്ഥാനരൂപമാണല്ലോ ബിന്ദു. രണ്ടാമത്തെ ടൂള് ബോക്സിലെ New point എന്ന ടൂളുപയോഗിച്ച് തലത്തിലെവിടെയും ബിന്ദുക്കള് അടയാളപ്പെടുത്താം.
ഇനി ഒരു രേഖ (വര) വരയ്ക്കണമെങ്കിലോ ? അതിനുള്ള ടൂള് മൂന്നാമത്തെ ടൂള് ബോക്സിലിണ്ട്. ( ഓരോ ടൂള് ബോക്സിലും ഒന്നില്ക്കുടുതല് ടൂളുകള് ഉണ്ട്.) ഒന്നില്ക്കുടുതല് വരകള് വരച്ചാല് അവ കൂട്ടിമുട്ടുന്നുണ്ടാകാം. രണ്ടാമത്തെ ടൂള് ബോക്സില് ഇതിനുള്ള ഉപകരണമുണ്ട്. അതെടുത്ത് രണ്ട് വരകളും കാണിച്ചാല് മതി.
രണ്ട് വരകള് കൂടിച്ചേര്ന്നപ്പോള് അവയ്ക്കിടയില് കോണുകളും ഉണ്ടായല്ലോ. മൂന്ന് ബിന്ദുക്കളാണ് ഒരു കോണിനെ നിര്ണ്ണയിക്കുന്നത്. നമുക്ക് അളക്കേണ്ട കോണ് ഉള്ക്കോണായിവരത്തക്കവിധം മൂന്നു ബിന്ദുക്കള് ടൂള് ബോക്സിലെ Angle എന്ന ടുളെടുത്ത് കാണിച്ചു കൊടുത്താല് മതി. ഇങ്ങനെ കാണിക്കുമ്പോള് ഏതു ഭാഗത്താണ് കോണളവ് രേഖപ്പെടുത്തിവരുന്നത് എന്ന കാര്യം പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുക.
ചിത്രത്തിലെ നാല് കോണുകളും അടയാളപ്പെടുത്തിക്കഴിഞ്ഞാല് എതിര്സ്ഥാനത്ത് വരുന്ന കോണുകളുടെ പ്രത്യേകത എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തുക. പല വരകള് വരച്ച് എല്ലാ ചിത്രത്തിലും ഇത് ശരിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നതിനുപകരം നമുക്ക് Move ടൂളുപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കാം.
ഒരു വരയും അതിന് സമാന്തരമായി മറ്റൊരു വരയും. ഈ രണ്ട് വരകളേയും മറ്റൊരു വര നെടുകെ മുറിക്കുന്നു. ഓരോ വരയിലും സമാനസ്ഥാനങ്ങളിലുമുള്ള കോണുകള് അടയാളപ്പെടുത്തുക. അളവുകള്ക്കെന്തെങ്കിലും സവിശേഷതയുണ്ടോ ? വരകള് മാറിയാല് ഈ സവിശേഷത നിലനില്ക്കുന്നുണ്ടോ ?
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ദൃഷ്ടിയില് വരയ്ക്ക് ഒരു പ്രത്യേകത മാത്രമേയുള്ളൂ. അതിന്റെ നീളം. പക്ഷെ കടലാസില് നാമൊരു വര വരയ്ക്കുമ്പോള് നീളം മാത്രമല്ല പരിഗണിക്കുക. അതിന്റെ നിറം, പേര്, വരയ്ക്ക് കനം എത്ര വേണം ? തുടങ്ങിയവയെല്ലാം പരിഗണിക്കും.
നിങ്ങള് വരച്ച വരയുടെ പ്രത്യേകതകള് പരിശോധിക്കൂ.
- പേര് നല്കാന് : Right click (object)--> show label എന്ന ഇനം
ചെക്ക് മാര്ക്ക് ചെയ്താല് മതി. - പേര് മാറ്റാന് : Right click (object)--> rename
- നിറം, സ്റ്റൈല് : Right click (object)--> Properties-->ആവശ്യമായ
മാറ്റങ്ങള് വരുത്താം.
10cm നീളത്തില് AB എന്ന വര വരച്ച് അതിന് മധ്യലംബം വരയ്ക്കുക.
10cm നീളത്തില് വരയ്ക്കാന് segment with given length from point
എന്ന ടൂള് ആണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്.
AB=6cm BC=7cm, ∠ b= 700 അളവുകളിലുള്ള ത്രികോണം ABC വരയ്ക്കുക. ബഹുഭുജങ്ങള് വരയ്ക്കാന് polygon ടൂള് ആണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. തുടങ്ങിയ സ്ഥലത്തുതന്നെ അവസാനിപ്പിച്ചെങ്കില് മാത്രമേ ചിത്രം പൂര്ണ്ണമാകുകയുള്ളൂ. വശത്തിന്റെ നീളം അളക്കാന് distance or length എന്ന ടൂളും ബഹുഭുജങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കാണാന് area എന്ന ടൂളുമാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. വൃത്തം വരയ്ക്കാന് circle with center through point, circle through three points എന്നീ ടൂളുകളോ ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. നിശ്ചിത ആരമുള്ള വൃത്തം വരയ്ക്കാന് circle with center and radius എന്ന ടൂളാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്.
ജിയോജിബ്ര ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലേതുപോലെ മറ്റ് വിഷയങ്ങളുടെ പഠനത്തിനും ഉപയോഗപ്പെടുത്താനാകും.
ഭൂമിശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പ്രവര്ത്തനം
ഒരു ഫോള്ഡറില് ഇന്ഡ്യയുടെ ഭൂപടം, മറ്റ് ചിത്രങ്ങള്, ബന്ധപ്പെട്ട ലേഖനങ്ങളുടെ ഫയലുകള് തുടങ്ങിയവ save ചെയ്ത് വെയ്ക്കുക. ഭൂപഠം ജിയോജിബ്രയിലേക്ക് ഉള്പ്പെടുത്താന് insert image എന്ന ടൂള് ഉപയോഗിക്കാം. Geogebra യില് നിര്മ്മിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങള്ക്ക് തലക്കെട്ടുകളും മറ്റ് വിശദീകരണങ്ങളും ഉള്പ്പെടുത്താന് insert text എന്ന ടൂള് ഉപയോഗിക്കാം. ഇതില് മലയാളത്തില് text കള് ഉള്പ്പെടുത്താന് സാധ്യമല്ല. അതാനാല് നമുക്ക് മറ്റൊരു software ഇവിടെ ഉപയോഗപ്പെടുത്താം.-
KSnapshot
Applications--.Graphics-->KSnapshot എന്ന രീതിയില് നമുക്ക് തുറക്കാം. Word processor ല് തയ്യാറാക്കിയ ടെക്സ്റ്റുകളും മറ്റും KSnapshot ഉപയോഗിച്ച് image കളാക്കി മാറ്റി Geogebra യില് ഉള്പ്പെടുത്താം. Geogebra യില് തയ്യാറാക്കിയ ഇന്ഡ്യയുടെ ഭൂപടത്തില് കൊച്ചി തുറമുഖം ഉള്പ്പെടുത്തണം എന്നിരിക്കട്ടെ. ഇവിടെ ഒരു കപ്പലിന്റെ ചിത്രം ഉപയോഗിക്കാം. ഭൂപടത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് കൊച്ചി എന്ന് എഴുതി അവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുമ്പോള് മാത്രം സ്ഥലം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന രീതിയില് ക്രമീകരിക്കാന് check box ഉപയോഗിക്കാം.
Biology യിലെ ഒരു പ്രവര്ത്തനം
ഒരു സസ്യകോശത്തിന്റെ ചിത്രം Geogebra തലത്തില് ഉള്പ്പെ
ടുത്തി അതില് കോശകേന്ദ്രം, മൈറ്റോകോണ്ട്രിയ എന്നിവ
അടയാലപ്പെടുത്തുക.
സ്ലൈഡറുകള്
രൂപങ്ങള് നാം നിര്ദ്ദശിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് ചലിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള
സംവിധാനമാണ് സ്ലൈഡറുകള്. സ്ലൈഡര് ടൂള് എടുത്ത് സ്ലൈഡര് ഉള്പ്പെടുത്തേണ്ട സ്ഥലത്ത് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. സ്ലൈഡറിലുള്ള 'a' എന്ന ബിന്ദു -5 മുതല് 5 വരെ ചലിപ്പിക്കും എന്നതാണ് കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഇവ നമ്മുടെ
ആവശ്യങ്ങള്ക്കനുസരിച്ച് മാറ്റാം. തുടര്ന്ന് apply ക്ലിക്ക് ചെയ്താല് slider പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.
slider ന്റെ വില നാം മാറ്റുന്നതിനനുസരിച്ച് നീളം കൂടിവരുന്ന
രേഖ (വര) വരയ്ക്കുക Segment with given length from point എന്ന ടൂളാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. slider ന്റെ വില നാം മാറ്റുന്നതിനനുസരിച്ച് ആരം കൂടിവരുന്ന വൃത്തം വരയ്ക്കുക. Circle with center and radius എന്ന ടൂളാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. ടൂള് എടുത്ത് വൃത്തകേന്ദ്രം വരേണ്ട സ്ഥലത്ത് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. ആരം എത്ര വേണം എന്ന് നിര്ദ്ദശിക്കാനുള്ള ജാലകം തുറന്നുവരും. slider ന്റെ പേര് (a) നല്കി OK ക്ലിക്ക് വൃത്തം ലഭിക്കും.
ലഭിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരം സ്ലൈഡറിലെ a യുടെ അളവ് മാറുന്നതിനനുസരിച്ച് മാറും. ഇതിന് move ടൂള് ഉപയോഗിക്കാം
slider ല് കോണളവും
കോണളവും സ്ലൈഡറുപയോഗിച്ച് നിയന്ത്രിക്കാനാകും. ഇതിന്
slider ല് Number എന്നതിനുപകരം Angle എന്ന് മൗസ് ക്ലിക്ക്
വഴി തെരഞ്ഞെടുക്കണം. സ്ലൈഡറിലുള്ള എ ∝ എന്ന കോണിന്റെ വില 00 തൊട്ട് 3600 വരെയാക്കാം.
പ്രവര്ത്തനം 2.
ഒരു സ്ലൈഡര് നിര്മ്മിക്കുക. സ്ലൈഡറിലെ ചരത്തിന്റെ പരിധി 2 മുതല് 10 വരെ നല്കുക. വര്ദ്ധന 1. ഒരു സമബഹുഭുജും (Regular polygon) നിര്മ്മിക്കുകയും വശങ്ങളുടെ എണ്ണം സ്ലൈഡറിലെ ചരം നല്കുക. സ്ലഡൈര് ചലിപ്പിച്ച് മാറ്റം നിരീക്ഷിക്കുക. സ്ലൈഡറിന് അനിമേഷന് നല്കി നോക്കൂ.
Steps
1. ജിയോജിബ്ര ജാലകം തുറന്ന് പത്താമത്തെ ടൂള് സെറ്റില് നിന്നും
Slider ടൂള് എടുത്ത് Drawing Pad ല് ഒഴിഞ്ഞ സ്ഥലത്ത് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. അപ്പോള് വരുന്ന Slider ഡയലോഗ് ബോക്സില് Number ബട്ടണ് സെലക്ട് ചെയ്ത് Interval എന്നതില് minimum, maximum, increment എന്നിവ 2, 10, 1 യഥാക്രമം(ആവശ്യാനുസരണം) നല്കി Apply ബട്ടണില് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.അപ്പോള് ഒരു പേരോടുകൂടിയ ( a )Slider പ്രത്യക്ഷപ്പെടും.
2. അഞ്ചാമത്തെ ടൂള് സെറ്റില് നിന്നും Regular Polygon എന്ന ടൂള് എടുത്ത്
Drawing Pad ല് രണ്ട് ബിന്ദുക്കള് സെലക്ട് ചെയ്യുമ്പോള് Regular Polygon
എന്ന പേരോടുകൂടി വരുന്ന ഡയലോഗ് ബോക്സില് number of vertices നു പകരം slider ന്റെ പേര് (a ) നല്കി O K ബട്ടണില് ക്ലിക്ക് ചയ്താല് മതി.
പ്രവര്ത്തനം 3.
മുകളില് കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ചിത്രം ജിയോജിബ്രയില് വരയ്ക്കുക. കോണ് ABCയുടെ അളവ് സ്ലൈഡറില് ക്രമീകരിക്കുക. ത്രികോണത്തിലെ മറ്റ് കോണുകള് അളക്കുക. കോണ് CBD, കോണ് C, കോണ് A ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണ്ടെത്തുക. സ്ലൈഡര് ചലിപ്പിച്ച് നിരീക്ഷിക്കുക. C യില്ക്കൂടി AB ക്ക് സമാന്തം വരക്കുക. AB പാദമായി C യില്ക്കൂടിയുള്ള സമാന്തരത്തില് ശീര്ഷം വരത്തക്കവിധം മറ്റൊരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക. ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീര്ണ്ണങ്ങള് താരതമ്യം ചെയ്യുക. സ്ലൈഡര് ചലിപ്പിച്ച് നിരീക്ഷിക്കുക. തയ്യാറാക്കുന്ന ഇത്തരം അപ് ലറ്റുകള് ഒരു ഫോള്ഡറില് save ചെയ്യാന് മറക്കരുത്.
Steps
- ടൂള് ബാറിലെ മൂന്നാമത്തെ സെറ്റില് നിന്നും Line through Two Pointsഎന്ന ടൂള് എടുത്ത് രേഖാഖണ്ഡം (വര) AD വരയ്ക്കുക.
- രണ്ടാമത്തെ ടൂള് സെറ്റില് നിന്നും New Point എന്ന ടൂള് എടുത്ത് രേഖാഖണ്ഡം (വര) AD യില് B എന്ന ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക.
- കോണ് ABC യുടെ അളവ് സ്ലൈഡറില് ക്രമീകരിക്കുന്നതിനുവേണ്ടി പത്താമത്തെ ടൂള് സെറ്റില് നിന്നും Slider ടൂള് എടുത്ത് Drawing Pad ല് ഒഴിഞ്ഞ സ്ഥലത്ത് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. അപ്പോള് വരുന്ന Slider ഡയലോഗ് ബോക്സില് Angle സെലക്ട് ചെയ്ത് Interval എന്നതില് minimum, maximum, increment എന്നിവ ആവശ്യാനുസരണം നല്കി Apply ബട്ടണില് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. അപ്പോള് ഒരു പേരോടുകൂടിയ Slider പ്രത്യക്ഷപ്പെടും.
- B ശീര്ഷമായി Slider ചലിപ്പിക്കുമ്പോള് മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന കോണ് ലഭിക്കുന്നതിനായി എട്ടാമത്തെ ടൂള് സെറ്റില് നിന്നും Angle with Given Size ടൂള് എടുത്ത് ആദ്യം A യിലും പിന്നീട് Bയിലും ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. അപ്പോള് വരുന്ന Angle with Given Size ഡയലോഗ് ബോക്സില് 45o മാറ്റി Slider ന്റെ പേര് വലതുഭാഗത്തെ ബട്ടണില് നിന്നും (α, β, γ …) സെലക്ട് ചെയ്ത് , clockwise ബട്ടണില് ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.
- അപ്പോള് ലഭിക്കുന്ന പുതിയ ബിന്ദു B യുമായി മൂന്നാമത്തെ ടൂള് സെറ്റിലെ Segment between Two Points എന്ന ടൂള് ഉപയോഗിച്ച് യോജിപ്പിക്കുക.
- ത്രികോണത്തിലെ മറ്റ് കോണുകള് അളക്കുന്നതിന് എട്ടാമത്തെ ടൂള് സെറ്റില് നിന്നും Angle എന്ന ടൂളുപയോഗിക്കാം. അങ്ങനെ കോണ് CBD, കോണ് C, കോണ് A ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണ്ടെത്താം. സ്ലൈഡര് ചലിപ്പിച്ച് വ്യത്യസ്ത ആകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളില് നിരീക്ഷിച്ച് പൊതു തത്വത്തില് എത്തിച്ചേരാം.
- C യില്ക്കൂടി AB ക്ക് സമാന്തം വരയ്ക്കുന്നതിന് നാലാമത്തെ ടൂള് സെറ്റില് നിന്നും Parallel Line ടൂള് എടുത്ത് Cഎന്ന ബിന്ദുവിലും പിന്നീട് ABഎന്ന രേഖയിലും ക്ലിക്ക് ചെയ്താല് മതി.
- AB പാദമായി C യില്ക്കൂടിയുള്ള സമാന്തരത്തില് ശീര്ഷം വരത്തക്കവിധം മറ്റൊരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുന്നതിന് സമാന്തരരേഖയില് ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തി A, B എന്നീ ബിന്ദുക്കളുമായി യോജിപ്പിടച്ചാല് മതി.
- നാലാമത്തെ ടൂള് സെറ്റില് നിന്നും Polygon എന്ന ടൂള് ഉപയോഗിച്ച് ABC, ABE എന്ന ത്രികോണവും വരച്ചാല് അവയുടെ വിസ്തീര്ണ്ണങ്ങള് എട്ടാമത്തെ ടൂള് സെറ്റില് നിന്നും Area എന്ന ടൂളുപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം.
Sabtu, 04 September 2010
Goedel's surprise
 |
| Goedel (l), Einstein (r) pic from LIFE mag |
Mathematical surprises, a blog article by Dave Richeson. Very interesting list. I don't know how it is with you ( fellow math students ) but I often have the feeling that I know absolutely nothing about mathematics. Like today for example, even though I understood about 15 or so topics on the list of 23. Strange. - Godels incompleteness theorems ( suprise #1 and I agree ) are a major topic of the M381 Number Theory / Logic course. I am definitely looking forward to that course! - I found this article because I subscribed to some twitter accounts of mathematicians. I already was but I am now even more convinced that Twitter does have a function.
Jumat, 03 September 2010
റൂട്ട് നാല് അഭിന്നകമാണോ?
നമ്മുടെ ടീം മെമ്പറായ മുരളീധരന് സാറിനെക്കുറിച്ച് ഒരാമുഖത്തിന്റെ ആവശ്യമില്ല. അദ്ദേഹം ആദ്യമായെഴുതുമ്പോള് രണ്ട് വാക്ക് പറയാതെ ശരിയാകുമോ? മുമ്പൊരിക്കല് ബ്ലോഗിലൂടെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ചോദ്യപേപ്പര് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിരുന്നു, കേട്ടോ. പാലക്കാട് ജില്ലയില് നിന്നുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര റിസോഴ്സ് പേഴ്സണ് ആണ് മുരളിസാര്. DRG പരിശീലനക്യാമ്പുകളിലെ നിറസാന്നിധ്യമാണ് അദ്ദേഹം. വളരെക്കുറച്ച് സംസാരിക്കുന്ന വ്യക്തി. പറയുന്നത് ഗണിതമായിരിക്കും. അതിന് കനമുണ്ടായിരിക്കും. പണ്ട്, ഗണിതബ്ലോഗിന്റെ ആദ്യകാലങ്ങളില് കമന്റുചെയ്യുന്നതില് നിന്നും മുരളിസാറിനെ വിലക്കിയതോര്ക്കുന്നു. എന്തിനായിരുന്നു അത്? പസിലുകള് നിറഞ്ഞൊഴുകുന്ന കാലം. അഞ്ചുമണിവെളുപ്പിന് പോസ്റ്റുവന്നാല് അഞ്ചുമിനിറ്റിനുള്ളില് ഉത്തരമിട്ട് മുരളിസാര് നാടുവിട്ടിരിക്കും. മറ്റുള്ളവര്ക്ക് ഒന്നു ചിന്തിക്കാന് പോലും ഇടനല്കാതെ.... അഭിന്നകസംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് മുരളിസാര് എഴുതുന്നു. നമ്മള്, ഗണിതാദ്ധ്യാപകര്ക്ക് ചിന്തിക്കാനുള്ള ഒരു വഴിതുറക്കുകയാണ് അദ്ദേഹം. എവിടെയോ ഒളിഞ്ഞിരിക്കുന്ന യുക്തിഭംഗത്തെ തിരിച്ചറിഞ്ഞുതന്നെയാണ് ഇതെഴുതിയത്. വിരോധാഭാസവഴിയിലൂടെ നടന്നുനീങ്ങുന്ന ഒരാള്ക്ക് പറ്റിയേക്കാവുന്ന അബദ്ധമായിരിക്കാം അദ്ദേഹം മറനീക്കുന്നത്. എന്തായാലും മുരളി സാര് ഒരു അധ്യാപികയുടെ ക്ലാസിലേക്ക് നമ്മുടെ ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കുകയാണ്. നമുക്കൊന്നു ശ്രദ്ധിക്കാം.
√2 അഭിന്നകമാണെന്ന് സ്ഥാപിക്കാന് ടീച്ചറുടെ ശ്രമം. √2 ഒരു ഭിന്നകമാണെങ്കില് ആ ഭിന്നകത്തിന്റെ വര്ഗ്ഗം 2 ആകണമല്ലോ. ഇതിനു വേണ്ടി ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ വര്ഗ്ഗം ഇരട്ടസംഖ്യകളാണെന്നും ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ വര്ഗ്ഗം ഒറ്റസംഖ്യകളാണെന്നും അനേകം ഉദാഹരണങ്ങള് സഹിതം കുട്ടികളെ ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നു . ഇരട്ടസംഖ്യകള് 2 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളാകയാല് 2 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ വര്ഗ്ഗം 2ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായിരിക്കും എന്ന നിഗമനത്തിലെത്തിച്ചേരുന്നു.
അതുപോലെ 3 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ വര്ഗ്ഗം 3ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായിരിക്കും എന്നും കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാല് 2 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ വര്ഗ്ഗമൂലങ്ങളും 2ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും എന്നും 3 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ വര്ഗ്ഗമൂലങ്ങളും 3ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും എന്നും കണ്ടെത്തുന്നു.
ഇനി √2 ഭിന്നകമാണെന്ന് സങ്കല്പ്പിക്കുന്നു. ഈ ഭിന്നകത്തിന്റെ ലഘുരൂപം p/q ആണെന്നു സങ്കല്പ്പിക്കുന്നു.
ie √2 = p/q (p,q ഇവയ്ക്ക് പൊതു ഗുണിതങ്ങളില്ല.)
=> 2 = p2/q2
=> p2 = 2q2
=> p2 രണ്ടിന്റെ ഗുണിതം
=> p രണ്ടിന്റെ ഗുണിതം say 2k
=> (2k)2 = 2q2
=> q2 രണ്ടിന്റെ ഗുണിതം
=>q രണ്ടിന്റെ ഗുണിതം
=> p , q ഇവ രണ്ടിന്റെ ഗുണിതങ്ങള്
=> ഇത് സങ്കല്പത്തിനെതിര്
=> അതിനാല് √2 ഭിന്നകമല്ല. (ഒരു ഭിന്നകത്തിന്റെയും വര്ഗ്ഗം 2 അല്ല.)
ഇതുപോലെ 2 ന്റെ ഗുണിതം എന്നതിനു പകരം 3 ന്റെ ഗുണിതം എന്നെടുത്താല് √3 ഉം ഭിന്നകമല്ല എന്നു തെളിയിക്കാം എന്നു ടീച്ചര് പറയുന്നു.
അപ്പോള് ഒരു കുട്ടി √6 ഭിന്നകമല്ല എന്നു തെളിയിക്കാമോ എന്നു ചോദിക്കുന്നു.
ഇതിന് 6 ന്റെ ഗുണിതം എന്ന ആശയം എടുത്താല് മതി എന്ന് ടീച്ചര് പറയുന്നു.
√6 = p/q (p,q ഇവയ്ക്ക് പൊതു ഗുണിതങ്ങളില്ല.)
=> 6 = p2/q2
=> p2 = 6q2
=> p2 ആറിന്റെ ഗുണിതം
=> p ആറിന്റെ ഗുണിതം say 6t
=> (6t)2 = 6q2
=> q2 = 6t2
=> q2 ആറിന്റെ ഗുണിതം
=>q ആറിന്റെ ഗുണിതം
=> p , q ഇവ ആറിന്റെ ഗുണിതങ്ങള്
=> ഇത് സങ്കല്പത്തിനെതിര്
=> അതിനാല് √6 ഭിന്നകമല്ല. (ഒരു ഭിന്നകത്തിന്റെയും വര്ഗ്ഗം 6 അല്ല.)
ഇനി നിങ്ങള്ക്കിഷ്ടമുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഭിന്നകമല്ലെന്നു തെളിയിക്കൂ എന്നു ടീച്ചര് കുട്ടികളോടാവശ്യപ്പെടുന്നു. ഒരു കുട്ടി ചെയ്തതിങ്ങനെ.
√4 = p/q (p,q ഇവയ്ക്ക് പൊതു ഗുണിതങ്ങളില്ല.)
=> 4 = p2/q2
=> p2 = 4q2
=> p2 നാലിന്റെ ഗുണിതം
=> p നാലിന്റെ ഗുണിതം say 4a
=> (4a)2 = 4q2
=> q2 = 4a2
=> q2 നാലിന്റെ ഗുണിതം
=>q നാലിന്റെ ഗുണിതം
=> p , q ഇവ നാലിന്റെ ഗുണിതങ്ങള്
=> ഇത് സങ്കല്പത്തിനെതിര്
=> അതിനാല് √4 ഭിന്നകമല്ല.
ഇതു കണ്ട ടീച്ചര് അന്തം വിട്ടു നില്ക്കുന്നു. (കുറച്ചു നേരത്തേക്കെങ്കിലും). ഇവിടെ പിശകിയത് എവിടെയാണ്? ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ അഭിന്നകങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ചര്ച്ച പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ചോദ്യങ്ങളും സംശയങ്ങളുമൊക്കെയാകാം.
സമാന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കണ്ണൂര് ജില്ലയിലെ കുഞ്ഞിമംഗലത്തു നിന്നും സി. മോഹനന് സാര് അയച്ചു തന്ന ഒരു ഡോക്യുമെന്റ് ഇതോടൊപ്പമുണ്ട്. ഇതു കൂടി ചര്ച്ചയ്ക്ക് വിധേയമാക്കുമല്ലോ.
അധ്യാപക അവാര്ഡ് മാത്സ് ബ്ലോഗിലെ രാമനുണ്ണി മാഷിന്
നമ്മുടെ ബ്ലോഗ് ടീമംഗമായ രാമനുണ്ണി മാഷിന് ഈ വര്ഷത്തെ അധ്യാപക അവാര്ഡ് ലഭിച്ചു. പാലക്കാട് കെ.ടി.എം.എച്ച്.എസിലെ പ്രധാന അധ്യാപകനും എഴുത്തുകാരനുമാണ്. ശാസ്ത്ര-സാഹിത്യ-സാമൂഹിക-വൈജ്ഞാനിക-മാധ്യമ രംഗത്ത് നിറഞ്ഞു നില്ക്കുന്ന ഈ ബഹുമുഖ പ്രതിഭയ്ക്ക് ലഭിച്ച അംഗീകാരത്തില് മാത്സ് ബ്ലോഗ് കുടുംബം ഒന്നടങ്കം ആഹ്ലാദിക്കുന്നു. ഈ മധുരം നമുക്കും നുകരാം. രാമനുണ്ണി മാഷിന് അഭിനന്ദനങ്ങള്
Preassessment, Part I
Classes have started this week at Grand Valley, and I wanted to share from my two preassessments. This first part is from giving the growth mindset survey to our preservice student teacher assistants. The field experience for the professional program here is one semester in schools in the morning, where the TA teaches at least one unit for one class (though most do much more), and then a semester of traditional student teaching. After our getting to know you time (Piece of Me plus student interviews of each other), I showed a Prezi on what do we mean by professional development (emphasis on student TEACHER rather than STUDENT teacher).
From the always funny Speed Bump.
Then we did the growth mindset survey. (Developed with Sue Van Hattum.) We discussed a few of the questions and made a human bargraph so we could see where people are. A lot of agreement this semester, and a pretty reform minded bunch, I'd say.
So they're pretty countercultural about their beliefs about mathematics, and at least open to a growth mindset on the surface. (There's lots of good research contrasting surface beliefs with the beliefs that cause actions.) And they seem to be open to differentiation practices with how students learn math, strongly endorsing visuals, communication and questioning. The question for Rebecca and I becomes how do we support and encourage them in this direction. They are mostly placed in pairs (except for the odd man out), which we think will help, and did in the pilot pair placements. I'm wondering if the hedging (mostly vs. strongly) is a sign of underlying belief vs. what we've been telling them in the university, or their developing belief vs. cultural truism.
Their comments about 10/15 and 18 were also interesting.
Pick one statement you agree with and explain.
8. You can greatly change your ability to do math.
- The biggest thing you can change about math ability is your mindset. If you believe you can’t, then you won’t be able. If you believe you can do it, then you will be able to do it. Might take some extra work.
- All things take help, and some take extra practice.
- Being able to see the situation helps me organize.
- Drawing pictures help me learn and do math. They help me to see what is known and what needs to be solved.
- Explaining forces one to view math in different ways.
- I have experienced this several times myself. I want my students to have the chance to teach each other.
- It wasn’t till I started tutoring calculus that I started understanding the underlying complexities and the power of it all.
- You can say your answer and get it correct, but it doesn’t mean you know math. You might know 2x3=6 from memorization, but if you can’t say why then you do not know math.
- Explaining helps me check and see it in a different way.
- After trying a problem it helps to clarify a question or reinforces my confidence.
- Forces you to put your thoughts in a logical order and may force you to see the problem in a new light – how the other person sees it.
- Helps you learn because it is a good measurement of how well you know something. It’s easy to explain to yourself, but explaining it to someone else helps a lot.
- To explain it is to know it so well that you can approach the idea from any angle.
2. How intelligent you are mostly determines how well you can do math.
- There are many subjects and you can be intelligent without math.
- Memorization gets a correct answer not understanding.
- Girls can do anything as well as boys. (Look around the room.)
- You might be the slowest person at getting an answer, but make less mistakes or just need time.
- Could be chance.
- There are so many factors that go into taking a test.
- Never is there one way.
- You can understand each step and make a simple mistake and get the wrong answer.
- Students can learn a lot on the way of solving a probem.
- Math is about learning the process. That is the most important thing.
- The right answer may be wrong from rounding error, etc…
Let me state unequivocally: I have every confidence in each of these teachers' mathematical ability. This is a measure of their self-perception, not their competence.
5
6 6
7 7 7 7
8 8.5
9 9 9
10
This makes me wonder about our schooling. Why don't they all consider themselves mathematicians? What damage have we done? If a college math major with a 2.8 GPA minimum is a 5, what is a struggling high school student?
So, that's my data. It has me very hopeful for the semester. I'll be working to support them in their fledgling positive beliefs (hoping their data supports it, too), and in helping them transfer those solid math beliefs to teaching.
What do you see in this data? I'd love to hear in the comments, if you have the inclination.
Kamis, 02 September 2010
3x+1 look alike
Number theory fascinates me. I studied elementary number theory, the next step, analytical number theory requires knowledge of group and representatuon theory ( characters ) and complex analysis. I am working hard on that. In the meanwhile I like to study the famous but accessible problems of number theory. An interesting problem is the following.
It has been conjectured that the function $x_n = f(x_{n-1})$ with $x_0 \in \mathbf{N}$ always ends in $1,4,2,1,4,2,1 \cdots$ where
$$f: x \mapsto \begin{cases}
\frac{x}{2} \text{ if } x \equiv 0 \mod{2} \\
3x+1 \text{ if } x \equiv 1 \mod{2}
\end{cases}$$
Example:
27
82
41
124
62
31
94
47
142
71
214
107
322
161
484
242
121
364
182
91
274
137
412
206
103
310
155
466
233
700
350
175
526
263
790
395
1186
593
1780
890
445
1336
668
334
167
502
251
754
377
1132
566
283
850
425
1276
638
319
958
479
1438
719
2158
1079
3238
1619
4858
2429
7288
3644
1822
911
2734
1367
4102
2051
6154
3077
9232
4616
2308
1154
577
1732
866
433
1300
650
325
976
488
244
122
61
184
92
46
23
70
35
106
53
160
80
40
20
10
5
16
8
4
2
1
A fornal proof that this sequence ends like this is unknown. According to Conway it is even undecidable. Many papers have been written on the problem and it has several dedicated websites.
Very similar, but nevertheless generally generating smaller sequences is the function
$$f: x \mapsto \begin{cases}
1 \text{ if } x = 2 \\
\text{ else } x \mapsto \begin{cases}
\frac{x}{4} \text{ if } x \equiv 0 \mod{4} \\
6x+2 \text{ if } x \equiv 1 \text{ or } 3 \mod{4} \\
\frac{x-2}{4} \text{ if } x \equiv 2 \mod{4}
\end{cases}
\end{cases}$$
27
164
41
248
62
15
92
23
140
35
212
53
320
80
20
5
32
8
2
1
It has been conjectured that the function $x_n = f(x_{n-1})$ with $x_0 \in \mathbf{N}$ always ends in $1,4,2,1,4,2,1 \cdots$ where
$$f: x \mapsto \begin{cases}
\frac{x}{2} \text{ if } x \equiv 0 \mod{2} \\
3x+1 \text{ if } x \equiv 1 \mod{2}
\end{cases}$$
Example:
27
82
41
124
62
31
94
47
142
71
214
107
322
161
484
242
121
364
182
91
274
137
412
206
103
310
155
466
233
700
350
175
526
263
790
395
1186
593
1780
890
445
1336
668
334
167
502
251
754
377
1132
566
283
850
425
1276
638
319
958
479
1438
719
2158
1079
3238
1619
4858
2429
7288
3644
1822
911
2734
1367
4102
2051
6154
3077
9232
4616
2308
1154
577
1732
866
433
1300
650
325
976
488
244
122
61
184
92
46
23
70
35
106
53
160
80
40
20
10
5
16
8
4
2
1
A fornal proof that this sequence ends like this is unknown. According to Conway it is even undecidable. Many papers have been written on the problem and it has several dedicated websites.
Very similar, but nevertheless generally generating smaller sequences is the function
$$f: x \mapsto \begin{cases}
1 \text{ if } x = 2 \\
\text{ else } x \mapsto \begin{cases}
\frac{x}{4} \text{ if } x \equiv 0 \mod{4} \\
6x+2 \text{ if } x \equiv 1 \text{ or } 3 \mod{4} \\
\frac{x-2}{4} \text{ if } x \equiv 2 \mod{4}
\end{cases}
\end{cases}$$
27
164
41
248
62
15
92
23
140
35
212
53
320
80
20
5
32
8
2
1
Rabu, 01 September 2010
Belajar Matematika Dengan Puisi
Suatu waktu, ketika mengawali pelajaran pada jam ke delapan (12.45 Wib), saya meminta para siswa untuk membuat sebuah puisi. Pada awalnya para siswa hanya terbengong. Untuk beberapa saat mereka seolah tidak percaya dengan apa yang akan dilakukan. “Pelajaran matematika membuat puisi?” mungkin pertanyaan itu yang singgah di benak para siswa, sebab hal itu mungkin menjadi pengalaman pertama bagi mereka. Saya pun kembali meyakinkan mereka, bahwa pelajaran jam tersebut adalah membuat puisi, tapi “Puisi Matematika”. Kontan berbagai komentar dan pertanyaan muncul dari para siswa. Setelah saya memberikan penjelasan secukupnya, para siswa pun dengan bersemangat mulai membuat “Puisi Matematika”, sambil masih menyisakan senyum di bibirnya. Mungkin mereka masih menganggap pelajaran siang itu cukup aneh. Namun dari ekspresi yang tercermin dari raut wajah mereka, saya yakin mereka cukup senang dan menikmati pelajaran matematika jam terakhir tersebut.
“Puisi Matematika” yaitu puisi yang disusun dengan menggunakan istilah-istilah, rumus-rumus, dan simbol-simbol dalam matematika dan didasarkan pada konsep-konsep matematika, memang masih terdengar asing di telinga kita. Selama ini kita cenderung menganggap bahwa puisi dan matematika merupakan dua hal yang terpisah dan tidak memiliki keterkaitan satu sama lain. Puisi dan matematika dianggap sebagai dua kutub yang berbeda, puisi adalah puisi dan matematika adalah matematika, yang satu sangat erat kaitannya dengan ekspresi perasaan (rasa, hati) dan yang lainnya berkait dengan penalaran (pikiran, akal budi).
Matematika sebagai bagian integral dari kebudayaan manusia, mengandung dimensi kemanusiaan dan memiliki keindahannya tersendiri serta memiliki banyak sisi menarik. Namun seringkali hal tersebut tidak dihadirkan dalam proses pembelajaran matematika. Akibatnya siswa mengenal matematika tidak secara utuh. Matematika hanya dikenal oleh siswa sebagai kumpulan rumus-rumus dan simbol-simbol belaka, tanpa dapat memahami makna dibalik rumus atau simbol-simbol tersebut.
Pembelajaran matematika yang mengabaikan sisi kemanusiaan dan keindahan matematika, menjadikan matematika dipandang sebagai ilmu yang kering dan membosankan. Tanpa menghadirkan sisi kemanusiaan dan keindahan matematika dalam proses pembelajaran matematika, guru hanya akan mengajarkan kepada siswa untuk menghitung dan menyelesaikan soal-soal. Guru hanya seperti mengajarkan siswa untuk membaca dan menulis, guru tidak mungkin dapat mengajar siswa untuk mengapresiasi, menyukai dan mencintai, atau bahkan untuk sekedar memahami matematika (Tymoczko, 1993).
Dan “Puisi Matematika” dapat menjadi salah satu alternatif model pembelajaran yang bisa mendekatkan dan mengakrabkan siswa dengan istilah, rumus, simbol maupun konsep-konsep matematika, sehingga siswa dapat lebih memahami makna dibalik rumus, simbol, maupun konsep matematika tersebut. Dengan demikian matematika tidak melulu dipandang sebagai ilmu yang kering dan abstrak, tidak manusiawi dan sama sekali tidak memiliki keindahan.
Matematika Sebagai Bahasa
Philip J. Davis dari Brown University mengungkapkan bahwa “Mathematics is partly a language. Certain things are communicated by it. Things can be described, predicted, and prescribed by it. The ability of mathematics to provide framework, of reality and of action, and its ability to change our perception of what is, is very great.”
Bahasa adalah suatu sistem yang terdiri dari lambang-lambang, kata-kata, dan kalimat-kalimat yang disusun menurut aturan tertentu dan digunakan orang untuk berkomunikasi. Dengan pengertian tersebut, kiranya matematika dapat dipandang sebagai suatu bahasa, karena dalam matematika juga terdapat sekumpulan lambang/simbol, kata maupun kalimat.
Bahasa matematika digunakan oleh para matematikawan maupun oleh mereka yang belajar dan mengajar matematika. Komunitas pengguna bahasa matematika bercorak global/universal/internasional dan tidak dibatasi oleh suku bangsa, negara, budaya, maupun bahasa sehari-hari yang mereka gunakan. Dan makna yang dikomunikasikan dalam dan oleh matematika bisa bermacam-macam.
Suatu ungkapan dalam bahasa akan kehilangan makna yang sebenarnya atau memperoleh makna yang tidak seperti dimaksudkan apabila terlepas dari konteksnya. Demikian pula matematika, jika dipahami terlepas dari kekayaan konteks kehidupan dan peradaban manusia, akan tereduksi menjadi sekumpulan lambang dan rumus dan seperangkat teknik kalkulasi dan penalaran yang kering dan tidak bermakna, serta sama sekali tidak menarik. (Susilo, Majalah Basis, Juli-Agustus 2004).
Puisi dan Matematika
Menurut Rachmat Djoko Pradopo (1999), puisi itu mengekspresikan pemikiran yang membangkitkan perasaan, yang merangsang imajinasi panca indera, dinyatakan dengan menarik dan memberi kesan. Puisi itu merupakan rekaman dan interpretasi pengalaman manusia yang penting, digubah dalam wujud yang paling berkesan. Dari pengertian tersebut, jelas bahwa puisi juga merupakan ekspresi pemikiran, tidak melulu hanya melibatkan perasaan semata. Dengan demikian, suatu pemikiran, termasuk pemikiran dalam matematika, dapat digubah menjadi sebuah puisi. Selain itu, seperti sudah dipaparkan di atas, matematika juga merupakan suatu bahasa. Dan sebagai bahasa kiranya matematika juga dapat digunakan untuk mengekspresikan pemikiran, gagasan, maupun perasaan secara menarik dan mengesan dalam suatu bentuk puisi. Ada ungkapan bahwa “Matematika dan puisi adalah bahasa universal umat manusia”.
Dusa McDuff dalam Mathematical Notices vol. 38, no, 3, March 1991 menceritakan perjumpaannya dengan Gel’fand yang membawanya pada pandangan baru tentang matematika. Gel’fand menyatakan kepadanya bahwa matematika itu ibarat sebuah puisi. Dibalik artikel matematika yang panjang dengan rumus-rumus yang berisikan ide-ide permulaan yang masih samar yang hanya bisa ditunjukkan, tetapi belum bisa dijelaskan secara gamblang, Gel’fand menemukan “landak yang tiba-tiba menyelinap muncul dari persembunyiannya” di antara barisan rumus-rumus tersebut. Sebelum perjumpaan itu, McDuff selalu berpikir bahwa matematika merupakan hal yang sudah seperti itu: rumus adalah rumus dan aljabar adalah aljabar.
Keterkaitan antara puisi dan matematika juga dapat dilihat dari beberapa pernyataan berikut. William James misalnya, mengungkapkan bahwa “The union of the mathematician with the poet, fervor with measure, passion with corectness, this surely is the ideal”. Sementara itu Weierstrass menyatakan “Tidak ada matematikawan yang dapat menjadi seorang ahli matematika dengan sempurna, kecuali jika ia juga seperti seorang sastrawan.” Dalam The Humanistic Aspects Of Mathematics and Their Importance, Philip J. Davis menuliskan “Matematika, seperti juga puisi, mempunyai ambiguitas dan tidak dapat dirumuskan secara total”. Keterkaitan antara puisi dan matematika juga disampaikan oleh Aleksandr Sergeyevich Pushkin (1799–18370), “Inspirasi dibutuhkan dalam geometri, sebanyak dalam puisi.” Hal senada juga diungkapkan oleh Gustave Flaubert (1821 – 1880) bahwa “Poetry is as exact ascience as geometry”.
Tawa dari Kelas Matematika
Setelah para siswa menyelesaikan “Puisi Matematika”-nya, saya meminta beberapa siswa untuk maju di depan kelas membacakan “Puisi Matematika” karyanya. Gelak tawa dan berbagai komentar pun muncul di kelas matematika siang hari itu. Memang puisi itu terdengar lucu, dan terasa agak janggal di telinga, karena bahasa ungkapnya berbeda dengan bahasa puisi yang selama ini mereka kenal. Selain itu, kelucuan itu terjadi karena istilah, rumus dan simbol matematika tersebut selama ini jarang mereka rangkai dan mereka pergunakan secara bersama-sama untuk mengungkapkan sesuatu. Mereka lebih banyak menggunakan rumus, atau simbol melulu untuk mengerjakan soal-soal matematika.
Setelah siswa selesai membacakan puisinya, saya mengajak mereka untuk mengapresiasi dan mengkritisi “Puisi Matematika” tersebut. Mulai dari yang paling umum, apakah puisi tersebut bermakna, dan bisa mengungkapkan secara jelas gagasan/ide yang ingin disampaikan oleh penulisnya? Bagian mana yang dirasa agak janggal? Adakah istilah, rumus atau simbol yang digunakan dalam puisi tersebut yang tidak sesuai? Jika ada yang tidak sesuai, seharusnya istilah, rumus atau simbol apa yang pas untuk digunakan? Beberapa pertanyaan tersebut berguna untuk membantu siswa mengapresiasi dan mendiskusikan “Puisi Matematika” mereka.
Dari diskusi tersebut, secara tidak langsung siswa memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang istilah, rumus, simbol dan konsep dalam matematika. Dan diskusi tersebut sekaligus menjadi ruang bagi para siswa untuk merekonstruksi kembali pemahaman terhadap istilah, rumus, maupun simbol dalam matematika yang selama ini mungkin dipahami secara keliru. Selain itu, dari diskusi tersebut siswa dapat melihat keterkaitan matematika yang dipelajarinya dengan realitas kehidupan mereka sehari-hari, bahwa apa yang dipelajari dalam matematika sebenarnya terkait dengan kehidupan nyata, bahkan para siswa mungkin pernah menemukan atau mengalaminya sendiri. Dengan demikian pembelajaran matematika akan lebih bermakna bagi siswa. Lebih jauh, kesempatan itu menjadi ruang bagi siswa untuk mengekspresikan diri; ide, gagasan dan kreatifitasnya.
Berdasarkan pengalaman, “Puisi Matematika” dapat menjadi sebuah alternatif model pembelajaran dalam situasi kelas yang tidak menguntungkan seperti ketika kelelahan, kebosanan dan kejenuhan mulai menghinggapi para siswa dalam mengikuti pelajaran matematika, khususnya pelajaran matematika pada jam-jam siang hari. Dengan “Puisi Matematika” ternyata di kelas matematika kami bisa tertawa bersama, ketika ada siswa yang membacakan “puisi matematika”nya.
Di Balik “Puisi Matematika”
Agar siswa dapat mempelajari matematika dengan baik, salah satu yang harus dilakukan adalah mengetahui konsep-konsep dasar dan teknik-teknik sederhana dalam matematika, dan “Puisi Matematika” dapat membantu untuk hal tersebut, demikian Sandra Liatsos mengungkapkannya dalam buku Poems to Count on: 30 Terrific Poems and Activities to help Teach Math Concept. “Puisi Matematika” dapat digunakan sebagai media untuk membantu siswa mengingat konsep-konsep kunci dalam matematika. Selain itu, “Puisi matematika” dapat menjadi jalan untuk membantu siswa melihat berbagai keterkaitan antara matematika dengan bidang-bidang yang lain.
Membuat “Puisi Matematika” merupakan salah satu cara untuk memfasilitasi proses berpikir. Ketika seseorang merangkai kalimat untuk membuat puisi dengan menggunakan istilah, rumus, maupun simbol tertentu dalam matematika, maka di sana dibutuhkan proses untuk berpikir. Orang akan berpikir terlebih dulu, berusaha memahami arti atau makna istilah, rumus, atau simbol matematika tersebut, baru kemudian bisa menyatakannya dalam satu kalimat dan merangkai kalimat-kalimat tersebut menjadi sebuah puisi. Dari proses tersebut akan dapat diketahui sejauh mana pemahaman siswa terhadap istilah, rumus, atau simbol-simbol matematika tersebut.
Dari puisi yang ditulis dengan menggunakan istilah-istilah, rumus-rumus, dan simbol-simbol matematika itu, terlihat sejauh mana siswa menguasai dan memahami konsep matematika dan keterkaitan antara satu konsep dengan konsep yang lainnya. Ketika membuat puisi matematika tersebut sebenarnya siswa merekonstruksi kembali pengetahuan, pemahaman mereka tentang konsep-konsep matematika yang sudah dipelajari sebelumnya. Dalam puisi tersebut konsep matematika berperan sebagai bahasa ungkap. Tanpa menguasai konsep matematika, siswa akan kesulitan mengungkapkan idenya ke dalam bentuk puisi matematika.
Membuat puisi matematika, sebenarnya lebih ditujukan untuk membantu siswa ‘membahasakan’ matematika. Kecenderungannya, seringkali siswa hanya hafal dengan rumus dan simbol-simbol matematika, tapi siswa tidak memamahami arti, tanpa tahu makna di balik rumus ataupun simbol-simbol tersebut. Jika siswa mampu ‘membahasakan’ matematika, maka siswa akan dapat melihat keindahan matematika yang mengagumkan. Bagaimana sesuatu yang dibahasakan dengan begitu panjang (jika dinyatakan dengan menggunakan bahasa sehari-hari), ternyata dapat dinyatakan dengan singkat dalam matematika, dengan mengunakan lambang atau simbol-simbol matematika. Inilah salah satu keindahan matematika yang bisa jadi selama ini tidak pernah ditangkap oleh siswa, sebaliknya, dianggap tidak menarik, lantaran tidak paham makna di baliknya.
Namun demikian, model pembelajaran dengan “Puisi Matematika” tersebut juga memiliki keterbatasan. Model pembelajaran demikian tidak mungkin digunakan sebagai model pembelajaran utama, namun lebih ditujukan sebagai model pembelajaran alternatif dan pendukung saja. Jelas bahwa “Puisi Matematika” tidak mungkin diberikan setiap kali pelajaran matematika. “Puisi Matematika” dapat diberikan pada situasi-situasi tertentu atau pada saat akhir semester. Selain untuk menjaga agar “Puisi Matematika” tidak kehilangan daya tariknya bagi siswa, biasanya jika diberikan pada akhir semester perbendaharaan istilah, rumus, simbol dan konsep yang diketahui siswa relatif semakin banyak. Dan “Puisi Matematika” tersebut dapat menjadi media untuk evaluasi dan refleksi, untuk mengevaluasi sejauh mana pemahaman siswa terhadap keseluruhan materi pembelajaran, maupun untuk berefleksi bagaimana proses siswa dalam menjalani pembelajaran matematika selama satu semester atau satu tahun pelajaran.@
HJ. Sriyanto
Guru SMA Kolese Debritto
“Puisi Matematika” yaitu puisi yang disusun dengan menggunakan istilah-istilah, rumus-rumus, dan simbol-simbol dalam matematika dan didasarkan pada konsep-konsep matematika, memang masih terdengar asing di telinga kita. Selama ini kita cenderung menganggap bahwa puisi dan matematika merupakan dua hal yang terpisah dan tidak memiliki keterkaitan satu sama lain. Puisi dan matematika dianggap sebagai dua kutub yang berbeda, puisi adalah puisi dan matematika adalah matematika, yang satu sangat erat kaitannya dengan ekspresi perasaan (rasa, hati) dan yang lainnya berkait dengan penalaran (pikiran, akal budi).
Matematika sebagai bagian integral dari kebudayaan manusia, mengandung dimensi kemanusiaan dan memiliki keindahannya tersendiri serta memiliki banyak sisi menarik. Namun seringkali hal tersebut tidak dihadirkan dalam proses pembelajaran matematika. Akibatnya siswa mengenal matematika tidak secara utuh. Matematika hanya dikenal oleh siswa sebagai kumpulan rumus-rumus dan simbol-simbol belaka, tanpa dapat memahami makna dibalik rumus atau simbol-simbol tersebut.
Pembelajaran matematika yang mengabaikan sisi kemanusiaan dan keindahan matematika, menjadikan matematika dipandang sebagai ilmu yang kering dan membosankan. Tanpa menghadirkan sisi kemanusiaan dan keindahan matematika dalam proses pembelajaran matematika, guru hanya akan mengajarkan kepada siswa untuk menghitung dan menyelesaikan soal-soal. Guru hanya seperti mengajarkan siswa untuk membaca dan menulis, guru tidak mungkin dapat mengajar siswa untuk mengapresiasi, menyukai dan mencintai, atau bahkan untuk sekedar memahami matematika (Tymoczko, 1993).
Dan “Puisi Matematika” dapat menjadi salah satu alternatif model pembelajaran yang bisa mendekatkan dan mengakrabkan siswa dengan istilah, rumus, simbol maupun konsep-konsep matematika, sehingga siswa dapat lebih memahami makna dibalik rumus, simbol, maupun konsep matematika tersebut. Dengan demikian matematika tidak melulu dipandang sebagai ilmu yang kering dan abstrak, tidak manusiawi dan sama sekali tidak memiliki keindahan.
Matematika Sebagai Bahasa
Philip J. Davis dari Brown University mengungkapkan bahwa “Mathematics is partly a language. Certain things are communicated by it. Things can be described, predicted, and prescribed by it. The ability of mathematics to provide framework, of reality and of action, and its ability to change our perception of what is, is very great.”
Bahasa adalah suatu sistem yang terdiri dari lambang-lambang, kata-kata, dan kalimat-kalimat yang disusun menurut aturan tertentu dan digunakan orang untuk berkomunikasi. Dengan pengertian tersebut, kiranya matematika dapat dipandang sebagai suatu bahasa, karena dalam matematika juga terdapat sekumpulan lambang/simbol, kata maupun kalimat.
Bahasa matematika digunakan oleh para matematikawan maupun oleh mereka yang belajar dan mengajar matematika. Komunitas pengguna bahasa matematika bercorak global/universal/internasional dan tidak dibatasi oleh suku bangsa, negara, budaya, maupun bahasa sehari-hari yang mereka gunakan. Dan makna yang dikomunikasikan dalam dan oleh matematika bisa bermacam-macam.
Suatu ungkapan dalam bahasa akan kehilangan makna yang sebenarnya atau memperoleh makna yang tidak seperti dimaksudkan apabila terlepas dari konteksnya. Demikian pula matematika, jika dipahami terlepas dari kekayaan konteks kehidupan dan peradaban manusia, akan tereduksi menjadi sekumpulan lambang dan rumus dan seperangkat teknik kalkulasi dan penalaran yang kering dan tidak bermakna, serta sama sekali tidak menarik. (Susilo, Majalah Basis, Juli-Agustus 2004).
Puisi dan Matematika
Menurut Rachmat Djoko Pradopo (1999), puisi itu mengekspresikan pemikiran yang membangkitkan perasaan, yang merangsang imajinasi panca indera, dinyatakan dengan menarik dan memberi kesan. Puisi itu merupakan rekaman dan interpretasi pengalaman manusia yang penting, digubah dalam wujud yang paling berkesan. Dari pengertian tersebut, jelas bahwa puisi juga merupakan ekspresi pemikiran, tidak melulu hanya melibatkan perasaan semata. Dengan demikian, suatu pemikiran, termasuk pemikiran dalam matematika, dapat digubah menjadi sebuah puisi. Selain itu, seperti sudah dipaparkan di atas, matematika juga merupakan suatu bahasa. Dan sebagai bahasa kiranya matematika juga dapat digunakan untuk mengekspresikan pemikiran, gagasan, maupun perasaan secara menarik dan mengesan dalam suatu bentuk puisi. Ada ungkapan bahwa “Matematika dan puisi adalah bahasa universal umat manusia”.
Dusa McDuff dalam Mathematical Notices vol. 38, no, 3, March 1991 menceritakan perjumpaannya dengan Gel’fand yang membawanya pada pandangan baru tentang matematika. Gel’fand menyatakan kepadanya bahwa matematika itu ibarat sebuah puisi. Dibalik artikel matematika yang panjang dengan rumus-rumus yang berisikan ide-ide permulaan yang masih samar yang hanya bisa ditunjukkan, tetapi belum bisa dijelaskan secara gamblang, Gel’fand menemukan “landak yang tiba-tiba menyelinap muncul dari persembunyiannya” di antara barisan rumus-rumus tersebut. Sebelum perjumpaan itu, McDuff selalu berpikir bahwa matematika merupakan hal yang sudah seperti itu: rumus adalah rumus dan aljabar adalah aljabar.
Keterkaitan antara puisi dan matematika juga dapat dilihat dari beberapa pernyataan berikut. William James misalnya, mengungkapkan bahwa “The union of the mathematician with the poet, fervor with measure, passion with corectness, this surely is the ideal”. Sementara itu Weierstrass menyatakan “Tidak ada matematikawan yang dapat menjadi seorang ahli matematika dengan sempurna, kecuali jika ia juga seperti seorang sastrawan.” Dalam The Humanistic Aspects Of Mathematics and Their Importance, Philip J. Davis menuliskan “Matematika, seperti juga puisi, mempunyai ambiguitas dan tidak dapat dirumuskan secara total”. Keterkaitan antara puisi dan matematika juga disampaikan oleh Aleksandr Sergeyevich Pushkin (1799–18370), “Inspirasi dibutuhkan dalam geometri, sebanyak dalam puisi.” Hal senada juga diungkapkan oleh Gustave Flaubert (1821 – 1880) bahwa “Poetry is as exact ascience as geometry”.
Tawa dari Kelas Matematika
Setelah para siswa menyelesaikan “Puisi Matematika”-nya, saya meminta beberapa siswa untuk maju di depan kelas membacakan “Puisi Matematika” karyanya. Gelak tawa dan berbagai komentar pun muncul di kelas matematika siang hari itu. Memang puisi itu terdengar lucu, dan terasa agak janggal di telinga, karena bahasa ungkapnya berbeda dengan bahasa puisi yang selama ini mereka kenal. Selain itu, kelucuan itu terjadi karena istilah, rumus dan simbol matematika tersebut selama ini jarang mereka rangkai dan mereka pergunakan secara bersama-sama untuk mengungkapkan sesuatu. Mereka lebih banyak menggunakan rumus, atau simbol melulu untuk mengerjakan soal-soal matematika.
Setelah siswa selesai membacakan puisinya, saya mengajak mereka untuk mengapresiasi dan mengkritisi “Puisi Matematika” tersebut. Mulai dari yang paling umum, apakah puisi tersebut bermakna, dan bisa mengungkapkan secara jelas gagasan/ide yang ingin disampaikan oleh penulisnya? Bagian mana yang dirasa agak janggal? Adakah istilah, rumus atau simbol yang digunakan dalam puisi tersebut yang tidak sesuai? Jika ada yang tidak sesuai, seharusnya istilah, rumus atau simbol apa yang pas untuk digunakan? Beberapa pertanyaan tersebut berguna untuk membantu siswa mengapresiasi dan mendiskusikan “Puisi Matematika” mereka.
Dari diskusi tersebut, secara tidak langsung siswa memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang istilah, rumus, simbol dan konsep dalam matematika. Dan diskusi tersebut sekaligus menjadi ruang bagi para siswa untuk merekonstruksi kembali pemahaman terhadap istilah, rumus, maupun simbol dalam matematika yang selama ini mungkin dipahami secara keliru. Selain itu, dari diskusi tersebut siswa dapat melihat keterkaitan matematika yang dipelajarinya dengan realitas kehidupan mereka sehari-hari, bahwa apa yang dipelajari dalam matematika sebenarnya terkait dengan kehidupan nyata, bahkan para siswa mungkin pernah menemukan atau mengalaminya sendiri. Dengan demikian pembelajaran matematika akan lebih bermakna bagi siswa. Lebih jauh, kesempatan itu menjadi ruang bagi siswa untuk mengekspresikan diri; ide, gagasan dan kreatifitasnya.
Berdasarkan pengalaman, “Puisi Matematika” dapat menjadi sebuah alternatif model pembelajaran dalam situasi kelas yang tidak menguntungkan seperti ketika kelelahan, kebosanan dan kejenuhan mulai menghinggapi para siswa dalam mengikuti pelajaran matematika, khususnya pelajaran matematika pada jam-jam siang hari. Dengan “Puisi Matematika” ternyata di kelas matematika kami bisa tertawa bersama, ketika ada siswa yang membacakan “puisi matematika”nya.
Di Balik “Puisi Matematika”
Agar siswa dapat mempelajari matematika dengan baik, salah satu yang harus dilakukan adalah mengetahui konsep-konsep dasar dan teknik-teknik sederhana dalam matematika, dan “Puisi Matematika” dapat membantu untuk hal tersebut, demikian Sandra Liatsos mengungkapkannya dalam buku Poems to Count on: 30 Terrific Poems and Activities to help Teach Math Concept. “Puisi Matematika” dapat digunakan sebagai media untuk membantu siswa mengingat konsep-konsep kunci dalam matematika. Selain itu, “Puisi matematika” dapat menjadi jalan untuk membantu siswa melihat berbagai keterkaitan antara matematika dengan bidang-bidang yang lain.
Membuat “Puisi Matematika” merupakan salah satu cara untuk memfasilitasi proses berpikir. Ketika seseorang merangkai kalimat untuk membuat puisi dengan menggunakan istilah, rumus, maupun simbol tertentu dalam matematika, maka di sana dibutuhkan proses untuk berpikir. Orang akan berpikir terlebih dulu, berusaha memahami arti atau makna istilah, rumus, atau simbol matematika tersebut, baru kemudian bisa menyatakannya dalam satu kalimat dan merangkai kalimat-kalimat tersebut menjadi sebuah puisi. Dari proses tersebut akan dapat diketahui sejauh mana pemahaman siswa terhadap istilah, rumus, atau simbol-simbol matematika tersebut.
Dari puisi yang ditulis dengan menggunakan istilah-istilah, rumus-rumus, dan simbol-simbol matematika itu, terlihat sejauh mana siswa menguasai dan memahami konsep matematika dan keterkaitan antara satu konsep dengan konsep yang lainnya. Ketika membuat puisi matematika tersebut sebenarnya siswa merekonstruksi kembali pengetahuan, pemahaman mereka tentang konsep-konsep matematika yang sudah dipelajari sebelumnya. Dalam puisi tersebut konsep matematika berperan sebagai bahasa ungkap. Tanpa menguasai konsep matematika, siswa akan kesulitan mengungkapkan idenya ke dalam bentuk puisi matematika.
Membuat puisi matematika, sebenarnya lebih ditujukan untuk membantu siswa ‘membahasakan’ matematika. Kecenderungannya, seringkali siswa hanya hafal dengan rumus dan simbol-simbol matematika, tapi siswa tidak memamahami arti, tanpa tahu makna di balik rumus ataupun simbol-simbol tersebut. Jika siswa mampu ‘membahasakan’ matematika, maka siswa akan dapat melihat keindahan matematika yang mengagumkan. Bagaimana sesuatu yang dibahasakan dengan begitu panjang (jika dinyatakan dengan menggunakan bahasa sehari-hari), ternyata dapat dinyatakan dengan singkat dalam matematika, dengan mengunakan lambang atau simbol-simbol matematika. Inilah salah satu keindahan matematika yang bisa jadi selama ini tidak pernah ditangkap oleh siswa, sebaliknya, dianggap tidak menarik, lantaran tidak paham makna di baliknya.
Namun demikian, model pembelajaran dengan “Puisi Matematika” tersebut juga memiliki keterbatasan. Model pembelajaran demikian tidak mungkin digunakan sebagai model pembelajaran utama, namun lebih ditujukan sebagai model pembelajaran alternatif dan pendukung saja. Jelas bahwa “Puisi Matematika” tidak mungkin diberikan setiap kali pelajaran matematika. “Puisi Matematika” dapat diberikan pada situasi-situasi tertentu atau pada saat akhir semester. Selain untuk menjaga agar “Puisi Matematika” tidak kehilangan daya tariknya bagi siswa, biasanya jika diberikan pada akhir semester perbendaharaan istilah, rumus, simbol dan konsep yang diketahui siswa relatif semakin banyak. Dan “Puisi Matematika” tersebut dapat menjadi media untuk evaluasi dan refleksi, untuk mengevaluasi sejauh mana pemahaman siswa terhadap keseluruhan materi pembelajaran, maupun untuk berefleksi bagaimana proses siswa dalam menjalani pembelajaran matematika selama satu semester atau satu tahun pelajaran.@
HJ. Sriyanto
Guru SMA Kolese Debritto
പൈത്തണ് പാഠം 6 - റേഞ്ച്, ഫോര്
എട്ടാം ക്ലാസില് പഠിപ്പിക്കുന്ന ഐടി അധ്യാപകര് പൈത്തണ് പ്രോഗ്രാമിങ്ങ് പഠിപ്പിച്ചു തുടങ്ങിയോ? ഇതിന്റെ തുടര്ച്ചയായി ഒന്പതിലും പത്തിലും പ്രോഗ്രാമിങ്ങ് കുറേക്കൂടി ശക്തിപ്രാപിക്കും. ഇതു മുന്നില് കണ്ടാണ് അധ്യാപകരുടെ ആവശ്യപ്രകാരം മാത്സ് ബ്ലോഗ് പൈത്തണ് പാഠങ്ങള് ആരംഭിച്ചത്. ഫിലിപ്പ് മാഷൊരുക്കുന്ന പൈത്തണ് പാഠങ്ങള് നിശ്ശബ്ദ വിപ്ലവം സൃഷ്ടിച്ചു കൊണ്ട് മുന്നേറുകയാണല്ലോ. കേവലം അഞ്ച് പാഠങ്ങള് കൊണ്ടു തന്നെ പൈത്തണിന്റെ സാധ്യതകള് ലളിതമലയാളത്തില് വിശദീകരിക്കാന് അദ്ദേഹത്തെക്കൊണ്ട് കഴിഞ്ഞു. അസാധ്യസുന്ദരമായ പ്രയോഗങ്ങള് രസകരമായ ഒരു വായനയ്ക്കും സുഗമമായ പഠനത്തിനും വക നല്കുന്നു. ബൃഹത്തായ, ഏറെ സാധ്യതകളുള്ള ഒരു പ്രോഗ്രാമിങ്ങ് ഭാഷ പഠിക്കുകയാണെന്ന തോന്നലിന് ഇടനല്കാതെ എട്ടാം ക്ലാസുകാരനു പോലും മനസ്സിലാക്കാവുന്ന വിധമാണ് ആഖ്യാനം. അധ്യാപകര്ക്കടക്കം സ്വതന്ത്രസോഫ്റ്റ്വെയറുകളെ സ്നേഹിക്കുന്നവര്ക്ക് ഈ സാധ്യതകളെ മുഴുവനായും മുതലെടുക്കാനൊരു അവസരമൊരുക്കുന്നതിന് ചെന്നൈയിലെ IMSC യിലെ ഗവേഷകന് ആയ ഫിലിപ്പ് സാറിന് അധ്യാപകരുടെ പേരിലുള്ള നന്ദി എത്ര പ്രകടിപ്പിച്ചാലും മതിയാകില്ല. ഇതുവരെ എഴുതിയ പ്രോഗ്രാമുകളൊക്കെ മനുഷ്യര്ക്കായാലും അധികം ക്ളേശമില്ലാതെ ചെയ്യാവുന്ന കാര്യങ്ങളായിരുന്നല്ലോ. ആറാം പാഠത്തില് ഇതുവരെ കണ്ടതിനെക്കാള് ശക്തവും അതുകൊണ്ടുതന്നെ പ്രയോഗിക്കാന് ഇതിലേറെ രസകരവുമായ ഒരു പ്രോഗ്രാമിംഗ് സങ്കേതമാണ് അദ്ദേഹം പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത്. പുതിയ സങ്കേതം കൈവശമാകുന്നതോടെ കംപ്യൂട്ടറിന്റെ ഭീമമായ ശക്തി നമ്മുടെ ആവശ്യമനുസരിച്ച് എടുത്ത് പ്രയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ് നമുക്ക് ആദ്യമായി കൈവരികയാണ്. ഈ പാഠത്തില് range, for തുടങ്ങിയ കമാന്റുകളുടെ ഉപയോഗങ്ങളെക്കുറിച്ച് വിശദീകരിക്കുകയാണ് അദ്ദേഹം. ഒപ്പം അഭാജ്യസംഖ്യകളെ അരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോഗ്രാമും പഠനപുരോഗതിയെ സഹായിക്കുന്ന ചില പ്രവര്ത്തനങ്ങളും. പൈത്തണ് പുതുതായി പഠിക്കാനാഗ്രഹിക്കുന്നവര്ക്കും അഞ്ചു പാഠങ്ങളുടെ ലിങ്ക് പൈത്തണ് പേജില് നല്കിയിട്ടുണ്ട്. നോക്കുമല്ലോ.
Read More | തുടര്ന്നു വായിക്കുക
Langganan:
Postingan (Atom)