ഗണിതം - ക്ലാസ് 9

പാലക്കാട് മാത്​സ് ബ്ലോഗ് ടീമംഗങ്ങള്‍ സജീവമായിരിക്കുന്നു. കണ്ണന്‍ സാറും ഹിതയും ആതിരയുമെല്ലാം പിണക്കങ്ങള്‍ക്ക് അവധി കൊടുത്ത് തിരിച്ചെത്തിയിരിക്കുന്നു. ഇക്കഴിഞ്ഞ ദിവസങ്ങളില്‍ രണ്ടാംപാദ ചോദ്യപേപ്പറുകളും ഉത്തരസൂചികകളുമായി അവര്‍ ബ്ലോഗില്‍ നിറഞ്ഞുനിന്നത് കണ്ടല്ലോ..?ഈ പോസ്റ്റിലൂടെ, കണ്ണന്‍സാര്‍ ലക്ഷ്യമിടുന്നത് ഒമ്പതാംക്ലാസ് ഗണിത പേപ്പറിന്റെ അവലോകനമാണ്. ഉത്തരസൂചിക നേരത്തേ കണ്ടുകാണുമല്ലോ..?പൊതുവെ നിലവാരം പുലര്‍ത്തിയ ഒരു പരീക്ഷ ആയിരുന്നു ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ രണ്ടാം പാദ വാര്‍ഷിക ഗണിത പരീക്ഷ.എ പ്ലസ് ഗ്രേഡുകാരുടെ എണ്ണം വളരെ കുറവായിരിക്കും എന്നാല്‍ എഴുത്ത് പരീക്ഷയില്‍ 30% മാര്‍ക്ക് നേടി ജയം കരസ്ഥമാക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്.ശരാശരിക്കാരെയും അതിബുദ്ധിമാന്മാരെയും ലക്ഷ്യം വച്ചുകൊണ്ടുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ കാണാമായിരുന്നു.രണ്ടര മണിക്കൂര്‍ സമയം പോരായിരുന്നു മുഴുവന്‍ ഉത്തരങ്ങളും എഴുതിത്തീര്‍ക്കാന്‍ എന്ന അഭിപ്രായം ചില കുട്ടികള്‍ എങ്കിലും ഉയര്‍ത്തിക്കാണും.ഇതൊക്കെ ആണെങ്കിലും ചോദ്യകര്‍ത്താവ് പരിപൂര്‍ണ്ണനീതി പുലര്‍ത്തിയാണ് മുന്നേറിയിരിക്കുന്നതെന്നതില്‍ തെല്ലും സംശയമില്ല.
1,2 ചോദ്യങ്ങള്‍ ആദ്യ അദ്ധ്യായമായ ബഹുഭുജങ്ങളില്‍ നിന്നും ആയിരുന്നു.ഇവ രണ്ടും കുട്ടികള്‍ ചെയ്തു പരിശീലിച്ചവ തന്നെ.മൂന്നാം ചോദ്യം ലളിതമായിരുന്നു.ഒമ്പതാം ചോദ്യം ത്രികോണംABC,ത്രികോണംQBP എന്നിവ സദൃശം എന്ന് കണ്ടെത്തി AQ=46cm എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതില്‍ ഭൂരിഭാഗം പേരും വിജയിക്കണമെന്നില്ല.പതിനൊന്നാം ചോദ്യം പ്രായോഗിക തലത്തില്‍ ഉള്ളതാണ്. രണ്ടു ത്രികോണങ്ങള്‍ സദൃശമാകുന്നതിനുള്ള മൂന്നാമത്തെ വഴി ഓര്‍മയില്‍ നിന്നും എടുത്ത് BC=15cm എന്ന് എഴുതുന്നതില്‍ ശരാശരിക്കാര്‍ പരാജയപ്പെടും.ഇരുപതാം ചോദ്യത്തില്‍ കോണ്‍ ACP= കോണ്‍ ABC=90 എന്ന് കൂടി ചേര്‍ക്കണമായിരുന്നു.ഇരുപത്തി രണ്ടാം ചോദ്യം ഉയര്‍ന്ന നിലവാരം പുലര്‍ത്തിയിരുന്നു.മിടുക്കരെ വരെ കുഴക്കിയ ചോദ്യമായിരുന്നു ഇത്.ഇതില്‍ അഞ്ചുമാര്‍ക്കും നേടിയ കുട്ടികളെ പ്രശംസിക്കാന്‍ അദ്ധ്യാപകര്‍ മറക്കരുത്.നാലാം ചോദ്യം വൃത്തങ്ങള്‍ എന്ന അദ്ധ്യായത്തില്‍ നിന്നും ആയിരുന്നു.ഒരു ത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും ചെറിയ കോണിന് എതിരെ ഉള്ളത് ഏറ്റവും ചെറിയ വശം ആണ് എന്നും വൃത്തകേന്ദ്രത്തില്‍ നിന്നും ഉള്ള അകലം കൂടുമ്പോള്‍ ഞാണിന്റെ നീളം കുറയുന്നു എന്ന ആശയം ഓര്‍മപ്പെടുത്തുന്ന ചോദ്യം. ചില കുട്ടികള്‍ എങ്കിലും പരിവൃത്തം വരച്ച് വശം അളന്നെഴുതാനും സാധ്യതയുണ്ട്. 5,10,15,17 എന്നിവ സമവാക്യ ജോഡികള്‍ എന്ന അദ്ധ്യായത്തില്‍ നിന്നും ആയിരുന്നു.5,10,15 ചോദ്യങ്ങള്‍ താരതമ്യേന ലളിതമാണ്.പതിനേഴാം ചോദ്യം പാഠപുസ്തകം പേജ് 94ലേതിന് സമാനമാണ്.ആറാം ചോദ്യം ഭിന്നകസംഖ്യകള്‍ എന്ന അദ്ധ്യായത്തില്‍ നിന്നും ആയിരുന്നു.5y=7x എന്ന ആശയം ഉപയാഗിച്ച് 4 എന്ന ഉത്തരത്തില്‍ എത്താന്‍ എളുപ്പമാണ്.ഏഴാം ചോദ്യം മിടുക്കരെ ലക്ഷ്യം വച്ചുകൊണ്ടാണ്.കൃഷിയിടത്തിന്റെ ഒരു വശം v8+ v18=5v2 എന്നും കൃഷിയിടത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 50ച.സെ എന്നും കണ്ടെത്തിയവര്‍ വളരേ കുറവായിരിക്കും.
8,16,23 എന്നിവ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് എന്ന അധ്യായത്തില്‍ നിന്നും ആയിരുന്നു. എട്ടാം ചോദ്യത്തില്‍ ദശാംശം ഉള്‍പ്പെടുത്തിയത് മാധ്യം കാണാന്‍ ശരാശരിക്കാരെ കുഴക്കി. 16, 23 ചോദ്യങ്ങള്‍ കുട്ടികള്‍ പ്രതീക്ഷിച്ചതും ചെയ്തുശീലിച്ചതും തന്നെ.
12,14,19 എന്നിവ പരപ്പളവ് എന്ന അധ്യായത്തില്‍ നിന്നുമായിരുന്നു. പന്ത്രണ്ടാം ചോദ്യത്തില്‍ ഹെറോണിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പരപ്പളവ് 84 സെ മീ എന്ന് കാണുമെങ്കിലും ലംബം 12 സെ മീഎന്ന് കണ്ടെത്തി മുഴുവന്‍ മാര്‍ക്കും നേടുന്നവര്‍ കുറവായിരിക്കും. ചോദ്യം 14 ശരാശരിക്കാരെ സന്തോഷിപ്പിക്കാനിടയില്ല, എന്നാല്‍ മിടുക്കരെ വലച്ചതുമില്ല. ചോദ്യം 19 കുട്ടികള്‍ പ്രതീക്ഷിച്ച നിര്‍മ്മിതി തന്നെ.
ചോദ്യം 13 ഗണിത ആശയം മനസ്സിലാക്കിയ കുട്ടികള്‍ക്ക് എളുപ്പമാണ്. വികര്‍ണ്ണത്തിന്റേയും വശത്തിന്റേയും അംശബന്ധം v2 എന്ന് എഴുതിയവര്‍ കുറവായിരിക്കും.1.41നോട് സമീപ വിലകള്‍ എഴുതിയ കുട്ടികള്‍ക്കു മുഴുവന്‍ മാര്‍ക്കും കൊടുക്കാം.18,21 എന്നിവ എട്ടാം അദ്ധ്യായമായ ജ്യാമിതീയ അംശബന്ധങ്ങളില്‍ നിന്നും ആയിരുന്നു.ഒരു ത്രികാണത്തിലെ ഒരു കൊണിന്റെ സമഭാജി എതിര്‍ വശത്തെ ആ കോണിന്റെ അംശബന്ധത്തില്‍ ഭാഗിക്കുന്നു എന്നു മനസ്സിലാക്കി QS:QR=12:16 എന്ന് എഴുതിയവര്‍ ചുരുക്കമായിരിക്കും. ഈ ആശയം മുന്‍നിര്‍ത്തി QS=7.5cm,SR=10cm എന്ന് കാണാം.പല ഗണിത അദ്ധ്യാപകരും ഇത്തരം ആശയങ്ങള്‍ കുട്ടികളിലേക്ക് എത്തിക്കാനും ശ്രമിക്കാറില്ല എന്നതും ശ്രദ്ധേയമാണ്.ചോദ്യം 21 കുട്ടികള്‍ പ്രതീക്ഷിച്ച നിര്‍മ്മിതി തന്നെ.

വേറിട്ട ചിന്തകള്‍: 2 വൃത്തങ്ങള്‍

$A=\sqrt{abcd}$എന്ന സൂത്രവാക്യം കണ്ടിട്ടുണ്ടോ? A എന്നത് പരപ്പളവും a,b,c,d ചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുമാണ്.
ഒരു പ്രത്യേകതരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെ അവതരിപ്പിക്കുകയും അതിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പുതിയ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ പ്രസക്തി അന്വേഷണവിധേയമാകാകുകയുമാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്
പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ കാഴ്ചപ്പാട് പൂര്‍ണ്ണതയിലെത്തുന്നത് അതിനപ്പുറത്തുള്ള കാഴ്ചകള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ കുട്ടി പ്രാപ്തനാകുമ്പോഴാണ് . ഇവിടെ അദ്ധ്യാപകന്റെ റോള്‍ അതിനുള്ള പാശ്ചാത്തലം രൂപീകരിക്കുക എന്നതാണ്. ഇത്തരം ഒരു ചിന്തയിലേയക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു ചെറിയ സന്ദര്‍ഭം അവതരിപ്പിക്കുക മാത്രമാണ് ഈ പോസ്റ്റില്‍ ചെയ്യുന്നത്.
അന്തര്‍വൃത്തങ്ങള്‍ വരക്കാവുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമുക്കറിയാം. എല്ലാത്രികോണങ്ങള്‍ക്കും അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുമെങ്കിലും എല്ലാ ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ക്കും അത് സാധ്യമാകുകയില്ല.പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ നിന്നും ചോദ്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കുമ്പോള്‍ സാധാരണ എഴുതാറുള്ള ഒരു ചോദ്യമുണ്ട് . അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ ഒരു ജോഡി എതിര്‍വശങ്ങളുടെ തുക മറ്റേജോഡി എതിര്‍വശങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും . ഇത് തെളിയിക്കുന്നതിനായി തൊടുവരകളുടെ അടിസ്ഥാനപ്രത്യേകത ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇതിന്റെ തുടര്‍പ്രവര്‍ത്തനമായി അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന സാമാന്തരീകങ്ങള്‍ സമഭുജസാമാന്തരീകങ്ങള്‍ തന്നെയെന്ന് കണ്ടെത്താന്‍ സാധിക്കും . ഇതൊക്കെ പറഞ്ഞത് നമ്മുടെ വിഷയത്തിനുള്ള ആമുഖമായാണ്.

ഇനി പരിവൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം. ഇവ ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ തന്നെയാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഇവയുടെ നാലുശീര്‍ഷങ്ങളിലൂടെയും കൂടി കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുമല്ലോ. ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങള്‍ a, b, c, d വീതമായാല്‍ ഇവ ഉപയോഗിച്ച് പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗ്ഗമുണ്ട് . $s= \frac{a+b+c+d}{2}$ ആയാല്‍ പരപ്പളവ്
$‌ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ ആയിരിക്കും .
ഇനി നമുക്ക് പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തിലേയ്ക്ക് തിരിച്ചുവരാം. ഇക്കാര്യം പാഠപുസ്തകത്തിലെ അന്‍പതാം പേജിലെ സൈഡ് ബോക്സായി നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വിശദീകരണങ്ങളില്‍നിന്നും ഇതിന്റെ ചരിത്രപശ്ചാത്തലം നമുക്ക് മനസിലാക്കാം . അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റുചില വസ്തുതകളും
ഈ രണ്ട് ആശയങ്ങളെയും ചേര്‍ത്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഒരു അന്വേഷണം ആരംഭിക്കാം .

ഒരേസമയം അന്തര്‍വൃത്തവും പരിവൃത്തവും വരക്കാന്‍ കഴിയുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകുമല്ലോ? തീര്‍ച്ചയായും . ഇത്തരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ക്കുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം സമചതുരം തന്നെയാണ് . സമചതുരങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ അന്തര്‍വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും പരിവൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന് നിസ്സംശയം പറയാം. എന്നാല്‍ ഈ സവിശേഷസ്വഭാവമുള്ള മറ്റുചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഒരേ കേന്ദ്രം ആയിരിക്കില്ലല്ലോ. അതുകൊണ്ടുതന്നെ അത്തരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെ ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങളെന്നു വിളിക്കട്ടെ!
കോമ്പസസ്സും സ്ക്കേലും ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം ചിത്രങ്ങള്‍ വരക്കുക ആയാസകരമാണ് . എന്നാല്‍ ജിയോജിബ്ര ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത്തരം ചിത്രങ്ങള്‍ ക്ഷണനേരം കൊണ്ട് വരച്ചെടുക്കാം. വശങ്ങളുടെ നീളം അളന്നെഴുതുകയും ചെയ്യാം
ഏതൊരന്വേഷണത്തിനും ഒരു പരികല്പന ഉണ്ടാകുമല്ലോ. സമചതുരമെന്ന ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
$a^2$ ആണല്ലോ. അതിനെ നമുക്ക് $ \sqrt{a^4}$ എന്ന് എഴുതാന്‍ സാധിക്കും . ഒന്നുകൂടി എഴുതിയാല്‍ പരപ്പളവ് $\sqrt{a \times a \times a \times a}$ എന്ന് എഴുതാന്‍ സാധിക്കും .
മറ്റ് ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഇത് ശരിയാകുമോ? തീര്‍ച്ചയായും ശരിയാണെന്നാണ് മനസിലാക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞത്
ഇനി വിവരശേഖരണത്തെക്കുറിച്ചാകാം. ധാരാളം ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ജിയോജിബ്രയുടെ സഹായത്താല്‍ വരക്കാം. വശങ്ങള്‍ a, b, c, d ആണെന്ന് കരുതുകയും അവ അളന്നെഴുതുകയും ചെയ്യാമല്ലോ. പോരെങ്കില്‍ പരപ്പളവ് കൃത്യമായി കണക്കാക്കാനുള്ള ടൂളും ഉണ്ട് ഇങ്ങനെ വിവരശേഖരണം നടത്തി അളവുകള്‍ പട്ടികയിലാക്കി , പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
മറ്റൊരുമാര്‍ഗ്ഗം വിവരങ്ങലെ സ് പ്രേഡ് ഷീറ്റിലാക്കി അപഗ്രഥനം നടത്തുകയാണ് .
അടിസ്ഥാനപരമായി ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ തന്നെയാണല്ലോ. അതിനാല്‍
$‌ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$എന്ന സൂത്രവാക്യവും ഉപയോഗിക്കാം . ഇതിനും സ് പ്രെഡ്ഷീറ്റ് സഹായം പ്രയോജനപ്പെടുത്താമല്ലോ.
ഈ പരപ്പവുകളെല്ലാം $A= \sqrt{abcd}$ എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്ന പരപ്പളവുമായി താരതമ്യം ചെയ്തുനോക്കുക
ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ പരപ്പളവുകാണുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യവും , അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാവുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതയും സമന്വയിപ്പിച്ച് പുതിയ സൂത്രവാക്യം സൈദ്ധാന്തികമായി തെളിയിക്കാന്‍ പറ്റും . ഇതിന് ശ്രമിക്കുമല്ലോ?

8,9 Answer Keys.

ഇന്നലെ അവസാനിച്ച 8,9 ക്ലാസ്സുകളിലെ കണക്കുപരീക്ഷയുടെ 'ആന്‍സ്വര്‍ കീ' എവിടെയെന്ന് ഇന്നലെ മുതല്‍ തന്നെ അധ്യാപകര്‍ വിളിച്ചു ചോദിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ഉത്തര സൂചികകള്‍ പി.ഡി.എഫ് ആയി തയ്യാറാക്കുന്ന പരിപാടി, അല്പം ശ്രമകരം തന്നെയാണ് കേട്ടോ..!
ഒന്നാമത്, കേരളത്തില്‍ വിവിധ സംഘടനകള്‍ തയ്യാറാക്കുന്ന, എത്രതരം ചോദ്യപേപ്പറുകളാണെന്നറിയാമോ? കൂടുതല്‍ സ്കൂളുകള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന കെ.പി.എസ്.എച്ച്.എ യുടെ ആന്‍സ്വര്‍ കീ മാത്രം ഇപ്പോള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നു.
തെക്ക്, മധ്യം, വടക്ക് എന്നീ മൂന്നു സോണുകളിലും വെവ്വേറെ ചോദ്യപേപ്പറാണ്.
ഡൌണ്‍ലോഡു ചെയ്തെടുത്തോളൂ....

മധ്യമേഖലാ എട്ടാം ക്ലാസ്സ് ഗണിത ഉത്തര സൂചിക
മധ്യമേഖലാ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സ് ഗണിത ഉത്തര സൂചിക

വടക്കന്‍ മേഖലാ എട്ടാം ക്ലാസ്സ് ഗണിത ഉത്തര സൂചിക
വടക്കന്‍ മേഖലാ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സ് ഗണിത ഉത്തര സൂചിക

തെക്കന്‍ മേഖലാ എട്ടാം ക്ലാസ്സ് ഗണിത ഉത്തര സൂചിക
തെക്കന്‍ മേഖലാ ഒന്‍പതാം ക്ലാസ്സ് ഗണിത ഉത്തര സൂചിക