പ്യുവര്‍ കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍

ഇന്നലെ വായിച്ച ആത്മാര്‍ത്ഥത നിറ‌ഞ്ഞ ഒരു കമന്റിന് വാക്കുകള്‍കൊണ്ടൊരു മറുപടി മതിയാവില്ലെന്നു തോന്നി.വിനോദ് സാറിനെക്കുറിച്ചുതന്നെയാണ് ഞാന്‍ പറയുന്നത്."ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രധാനമായും ചര്‍ച്ചചെയ്യുന്ന ഒരു ബ്ലോഗ്‌ മികച്ച ഒരു ഗണിത വിദ്യാര്‍ഥിയെ വളര്‍ത്തിയെടുക്കുന്നതിലായിരിക്കണം കൂടുതല്‍ ശ്രദ്ധ നല്‍കേണ്ടത് എന്ന് തോന്നുന്നു"ഈ വാക്കുകളിലാണ് ഞാന്‍ തരിച്ചുനിന്നത്.ഇതൊരു തിരിച്ചറിവിന് കാരണമായി.ശാസ്ത്രം സാങ്കേതിക വിദ്യയ്ക്ക് വഴികാട്ടിയാവണം.സാങ്കേതികത കാലത്തിനതീതമല്ല. ഒരിക്കലും ആകുകയുമില്ല.ശാസ്ത്രവും ചിന്തകളും കാലത്തെ അതിജീവിക്കുന്നു.ചിലപ്പോള്‍ പ്രക്യതിയുടെ സമസ്തസൗന്ദര്യവും ഒപ്പിയെടുക്കാന്‍ ശാസ്ത്രം നിമിത്തമാകുന്നു.മേഘം ,പച്ചിലപ്പടര്‍പ്പ്,കടല്‍തീരം എന്നിവയുടെ ഘടനയില്‍ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഗണിതാവിഷ്ക്കാരം ഗണിതവീദ്യാര്‍ഥികള്‍ക്ക് ഇന്ന് പഠനവിഷയമാണ്.

ശുദ്ധ ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതി(PURE CONSTRUCTION)യെക്കുറിച്ചുളള ചിന്തകളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്. ഗണിതശാസ്ത്ര മേളകളിലെ ഒരു മല്‍സരഇനമാണ് പ്യൂവര്‍കണ്‍സ്ട്രക്ഷന്‍.അളന്നെടുക്കുകയോ അളവെടുക്കുകയോ ചെയ്യാതെ കോമ്പസസ്സും റൂളറും ( straight edge) മാത്രമുപയോഗിച്ച് പൂര്‍ത്തിയാക്കുന്ന നിര്‍മ്മിതികളാണിവ. നിര്‍മ്മാണത്തിനാകട്ടെ നല്ല വ്യക്തതയും സൂഷ്മതയും അനിവാര്യവാണ്.ഈ നിര്‍മ്മിതിയൊന്നു നോക്കൂ...

ഒരു ത്രികോണത്തെ തുല്യവിസ്തീര്‍ണ്ണമുള്ള രണ്ടുഭാഗങ്ങളാകത്തക്കവിധം ഒരു വശത്തിനു സമാന്തരമായ രേഖകൊണ്ട് വിഭജിക്കുക.

നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കിക്കഴിയുമ്പോള്‍ ആദ്യം വരച്ച ത്രികോണം ഒരുലംബകമായും മറ്റോരു ത്രികോണമായും മാറിയിരിക്കും.അവയുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കും.

താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വിധം നമുക്ക് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കാം.



ത്രികോണം ABC വരക്കുക. ഏതുതരം ത്രികോണവുമാകാം.



AB എന്ന വശത്ത് ഒരു ബിന്ദു D അടയാളപ്പെടുത്തുക.



Dയിലൂടെ ABയ്ക്ക് ലംബമായി രേഖ വരക്കുക.



D കേന്ദ്രമായി DA ആരമായി വരക്കുന്ന ചാപം ലംബത്തെ Eയില്‍ മുറിക്കുന്നു.അപ്പോള്‍ AE എന്നത് root 2 * AD ആകുന്നു.



ഇനി EB വരക്കാം.A കേന്ദ്രമായി,AD ആരമായി വരക്കുന്ന ചാപം AE യെ F ല്‍ മുറിക്കുന്നു,ഇനി F ലൂടെ EBയ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരക്കുക ഈ രേഖ AB യെ Gയില്‍ സന്ധിക്കുന്നു.



ഇനി G യിലൂടെ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരച്ച് നിര്‍മ്മിതി പൂര്‍ത്തിയാക്കാം.



നിര്‍മ്മിതി ഒരു പ്രവര്‍ത്തനക്രമം മാത്രമാകരുത്. അത് ചിന്തയുടെ ഗണിതവല്‍ക്കരണം തന്നെയാണ്. ഏതൊരു ഘട്ടത്തിനു പിന്നിലും ഒരു ജ്യാമിതീയ തത്വം ഉണ്ടായിരിക്കും.ആ തത്വത്തിന്റെ ദൃശ്യവല്‍ക്കരണമായിരിക്കണം നിര്‍മ്മിതി.

ഇനി മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിലെക്കുതന്നെ പോകാം. ത്രികോണം AEB യില്‍ EB യ്ക്ക് സമാന്തരമായാണ് FG വരക്കുന്നത്.അതുകൊണ്ടുതന്നെ AF/AE = AG/AB = 1/root2 ആയിരിക്കും.G യിലൂടെ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരക്കുന്ന രേഖ AC യെ 1 : root 2 എന്ന അംശബന്ധത്തില്‍ വിഭജിക്കും. ഈ രേഖ AC യെ വിഭജിക്കുന്നത് H ലായാല്‍

AH:AC = 1: root 2

സദ്യശ്യത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ തുല്യമായ കോണുകള്‍ക്ക് എതിരെയുള്ള വശങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികം.

ത്രികോണം AGH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം : ത്രികോണം ABC യുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം = 1 : 2

അതായത് ത്രികോണം AGH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം = ലംബകം GBCH ന്റെ വിസ്തീണ്ണം



ഈ ചര്‍ച്ചയുടെ ഗതി ഏതാണ്ട് മനസ്സിലായിട്ടുണ്ടാകുമെന്നു കരുതി മറ്റൊരു നിര്‍മ്മിതിയെക്കുറിച്ചു പറയട്ടെ.

വിസ്തീര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ 1 : 2 : 3 ആകത്തക്കവിധം 3ഏക കേന്ദ്രവൃത്തങ്ങള്‍ വരക്കുക. വരച്ചു നോക്കി എങ്ങനെ അതിനു സാധിച്ചു എന്നു കൂടി വിശദീകരിക്കുമല്ലോ. ശുദ്ധ ജ്യാമിതീയ നിര്‍മ്മിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ചര്‍ച്ച സജീവമാകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട്.....