Fearless Symmetry 3/23: Permutations

I read the third chapter of Fearless Symmetry.

Part 1: Algebraic Preliminaries

Chapter 3: Permutations

In chapter 3 the concept of a permutation is explained and how they form groups.

Definition: A permutation is a one-to-one map from a set to itself.

Example 1:
Given the set {1,2} the possible one-to-one maps ( permutations ) are:
1->1, 2->2 and
1->2, 2->1.

Example 2:
For sets of three elements there are 6 = 3! possible permutations.

If we put all the permutations of a set in a set by itself and add the composition of permutations as the operation then this set becomes a group. Permutation groups are among the most important objects in group theory because every finite group is a subgroup of some permutation group.

There are two possible ways of notation when it comes to permutations. Let's consider the set {1,2,3,4} which has 24 possible permutations.

The permutation 1->1, 2->2, 3->4 and 4->3 can be written as [1 2 4 3] and also as (1)(2)(3 4) or short (3 4) this is the so called cycle notation. Thus (1 2 3) and [2 3 1] represent the same permutation. Clearly the cycle notation is more efficient, especially when considering permutations of large sets.

The composition of permutations means permuting one after the other. Unfortunately in some books it is done from left to right, in others from right to left.

Exercise 1:
Show that (ab)(cde)*(ae)(bc)(d)=(ac)(bde).

( I would solve it as follows: )
Right hand side:
A B C D E
_ D _ E B Apply (bde)
C D A E B Apply (ac)

Left hand side:
A B C D E
_ _ _ D _ Apply (d)
_ C B D _ Apply (bc)
E C B D A Apply (ae)

E C B D A
C D _ E _ Apply (cde)
C D A E B Apply (ab)

And it shows that LHS = RHS

Sets of permution form a group under composition because:
- composition leads to a new permutation ( closure )
- the neutral element is the do-nothing permutation, i.e. (1)(2)(3).
- every permutation has an inverse because it can be permuted back to the original positions.
- composition of permutations is associative.

Note that the composition of permutations is NOT ( always ) commutative.

To be continued with 4. Modular Arithmetic

M381 'Challenge Exercise' - Revisited

Sorry, Paddy and Jobidaker for the late reply. ( Auto-accepting comments has its drawbacks too. )

My solution for the 1/2, 1/3, 1/5 and 1/7 case is the following. Follow the pattern for the solution to the general case. Click to enlarge pic.

Please let me know if you think a smaller number qualifies.

Kuis Persamaan Garis Lurus

Persamaan Garis Lurus » test maker

Kisi-kisi UN 2012 Diberikan Akhir Tahun Ini

JAKARTA, KOMPAS.com - Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan akan mempercepat waktu pemberian kisi-kisi soal ujian nasional (UN) 2012. Kisi-kisi soal akan diberikan pada akhir tahun 2011 ini. Kepala Badan Penelitian dan Pengembangan Kemdikbud Khairil Anwar Notodiputro mengatakan, hal itu dilakukan untuk membantu sekolah dan para siswa lebih siap menghadapi UN tahun depan.

Khairil menjelaskan, rencana tersebut merupakan langkah untuk meningkatkan akseptabilitas, dan juga merupakan jawaban atas banyaknya masukan terkait penyelenggaraan UN. Dari sekian banyak masukan, yang kemudian dijadikan fokus oleh Balitbang Kemdikbud adalah akseptabilitas, kualitas, dan efektifitas penyelenggaraan UN.

"Dari sekian banyak rekomendasi yang disampaikan, yang paling banyak dipersoalkan adalah akseptabilitasnya," kata Khairil, kepada Kompas.com, Senin (7/11/2011), di Kemdikbud Jakarta.

Peningkatan akseptabilitas UN dinilai akan meminimalisir "ketakutan" para siswa dan guru saat akan menghadapi UN. Cara yang ditempuh adalah dengan melakukan dialog secara lebih intensif, dan memberikan kisi-kisi UN secepatnya.

Pemberian kisi-kisi UN juga bertujuan agar memudahkan pusat memberikan arahan kepada dinas pendidikan daerah dan guru-guru di sekolah agar pembuatan soal-soal ujian di sekolah merujuk dan disesuaikan dengan kisi-kisi UN yang diberikan.

"Ketakutan itu akan memicu penolakan. Untuk menekan itu, kita berencana menyampaikan kisi-kisi secepatnya. Jika dulu berbarengan, maka sekarang kisi-kisi UN 2012 akan kita berikan di tahun 2011, ini agar tercipta keselarasan soal dan membuat siswa terbiasa dengan soal yang akan diberikan" jelasnya.

Selain itu, hal lain yang akan dipertegas adalah memberikan pemahaman kepada seluruh masyarakat bahwa UN bukanlah satu-satunya penentu kelulusan. Meski proporsi penilaiannya membuat nilai UN mendominasi kelulusan, yaitu 60 persen nilai UN dan 40 persen nilai sekolah.

"Saya harap UN 2012 bisa lebih santai dan diterima. Secara politik, proporsi 60:40 itu sudah diterima, dan baru akan dievaluasi apakah tetap digunakan atau akan diubah setelah dua tahun digunakan, yaitu pada 2013," tuturnya.

"Nilai-nilai UN yang rendah juga dalam proses pengkajian. Ujungnya kita berharap ada kebijakan berdasarkan pengkajian mengapa nilainya menjadi rendah, apakah soal yang terlalu susah atau ada penyebab lain," tambah Khairil.

Sumber : KOMPAS.com

December 12, 2011

Interactive version of problem and solution.

MAA's 3 Books. 3 Days Sale is back for JMM 2012!

2012 Joint Mathematics Meetings

@JointMath

ബഹുപദങ്ങളില്‍ നിന്നും പരിശീലന ചോദ്യങ്ങള്‍

പത്താംക്ലാസിലെ ബഹുപദങ്ങളില്‍ നിന്നുള്ള പരിശീലന ചോദ്യങ്ങളാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ് . ബഹുപദത്തെ ദ്വിപദം കൊണ്ടുള്ള ഹരണക്രിയയിലൂടെ ശിഷ്ടം കാണുന്നത്, ഗുണോത്തരങ്ങള്‍ തുലനം ചെയ്തുകൊണ്ട് ശിഷ്ടം കാണുന്നത്, ശിഷ്ടസിദ്ധാന്തവും പ്രയോഗവും , ഘടകസിദ്ധാന്തം , അതിന്റെ വിവിധ സാഹചര്യങ്ങളിലുള്ള പ്രയോഗം , ഘടകമാണോ എന്ന പരിശോധന, ഘടകമാണെന്ന് തന്നിരുന്നാല്‍ ചില ഗുണോത്തരങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തല്‍ എന്നിങ്ങനെ പരമാവധി മേഖലകളില്‍ നിന്നും ചോദ്യങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ട്. ചുവടെയുള്ള ലിങ്കില്‍ നിന്നും അവ ഡൗണ്‍ലോഡ് ചെയ്തെടുക്കാം.

പരിക്ഷ കഴിയുന്ന മുറയ്ക്ക് SCERT പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ചോദ്യബാങ്ക് നമുക്ക് തുറന്നുതരുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാം. കേരളത്തിലെ എല്ലാ ജില്ലകളിലും തയ്യാറാക്കിയ ചോദ്യപേപ്പറുകള്‍ പരീക്ഷകഴിഞ്ഞ് അയച്ചു തന്നാല്‍ ഒന്നിച്ച് പോസ്റ്റായി പ്രസിദ്ധീകരിക്കാന്‍ തയ്യാറാണ്. അനേകം അധ്യാപകര്‍ക്കും കുട്ടികള്‍ക്കും മാതാപിതാക്കള്‍ക്കും അത് ഉപകാരപ്രദമായിരിക്കും. ഏതാനും യൂണിറ്റുകളുടെ കൂടി ചോദ്യങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനുണ്ട്. അതിന്റെ പണിപ്പുരയിലാണ്. ഓരോ പോസ്റ്റിനോടൊപ്പം കൃഷ്ണന്‍ സര്‍ അയച്ചു തരുന്ന പുതിയ ചോദ്യങ്ങള്‍ കൂടിയാകുമ്പോള്‍ അതൊരു മുതല്‍ക്കൂട്ടാകും. പിന്നെ നമ്മുടെ ഹിത ചോദ്യങ്ങള്‍ അയച്ചുതരും .

പരീക്ഷകഴിഞ്ഞ് പ്രത്യേക റിവിഷന്‍ പാക്കേജ് പ്രസിദ്ധീകരിക്കാന്‍ തയ്യാറെടുക്കുകയാണ്. ഗണിതപഠനത്തില്‍ പിന്നോക്കം നില്‍ക്കുന്ന കുട്ടികള്‍ക്കായി പ്രത്യേക വിഭവങ്ങള്‍ വേണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെട്ട് ധാരാളം മെയിലുകള്‍ വരുന്നുണ്ട് . അതിനേക്കുറിച്ചും ഗൗരവത്തോടെ തന്നെ ആലോചിക്കുന്നുണ്ട് . ഓരോ കരിക്കുലാര്‍ ഒബ്‌ജറ്റീവിനെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി അടിസ്ഥാനചോദ്യങ്ങള്‍ അത്തരം പാക്കേജില്‍ ഉണ്ടാകും .ഗണിതാദ്ധ്യാപകരുടെയും കുട്ടികളുടെയും മറ്റ് അഭ്യുദയകാംക്ഷികളുടെയും സഹകരണം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ബഹുപദങ്ങളിലെ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കായി ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക

Rigor and Relevance in Parallel

(The math is at the end of this one.)

Last week I had one of those teaching collisions where it felt like every idea was dovetailing.  First some twitterer retweeted Terie Engelbrecht's post on rigor and relevance in the context of motivating students with respect not points. Her post was a riff on this International Center for Leadership in Education chart. My preservice high school teachers had asked for parallel lines, circles and proof for our geometry topic.  Elissa Miller tweeted about parallel lines in a way that also brought up relevance.

Rigor, Relevance, Relationships

Fig 1.1 from this ASCD article

Some comments from my colleague Dave Coffey connected the Relevance framework to the Levels of Transfer, a professional development framework from Joyce and Showers. Before I switched to a communication framework, I tried to grade using that framework! Very ingenuous, as most students are not at an executive level of transfer, and it is not fair as an expectation for a large quantity of work. I did like the sense of ownership that it promoted, and the encouragement for students to show that they had made the learning their own. When it came time to convert to grades, Integrated Use was an A, and Executive an A+. Is that fair?

Terie's central question was: 'So why not change the "doing the work for points" idea into a "doing the work to improve my learning?" idea?' This has been an issue all semester with this particular group of students for me. Because this is a teaching class, we've even explicitly discussed from whence comes thier lack of responsibility. (As in the Condition of Learning, Responsibility; not as in a guilt trip from your parents. I hope.)

So I brought the framework into class and asked them to classify the kind of lessons they saw in observation... 10 to 15 lessons over the course of the semester.  I was seriously surprised how well distributed the X's were on the relevance framework, but not surprised by the low range of rigor. The students discussed how the ABCD was confusing, as D was the "best." They had quite an interesting discussion about whether math should be 'real world' or not. You all know the discussion: why do they ask us (math teachers)? Do they ask their history teacher? What about learning the math for math's sake? Sometimes the applications are so artificial.  The students hate the applications so much, why make them do them?

I think, from their discussions as well as their observation journals, I would have put most of their X's in A.  The application in the rigor framework led to a lot of the marks being along that line, as we haven't studied Bloom's, nor have they in other classes.  Personally, I do wonder about what the classroom should look like in terms of this scale. I like the idea of flexible access, and I want students to transition to analysis, synthesis and evaluation. The application framework seems like you do want a diversity of those problem types. Regardless, I'm really interested in what other teachers think about the framework.

To support the students in thinking about implementing this, I brought what I had thought of after Elissa's prompt. Their task:

Our question is: how can we plan a lesson or lessons that will support our students in moving towards being able to make proofs, understanding the required angle content, and engaging them all the while?

Consider the following and please add your own:
a) a puzzle made from parallels and transversals
b) a map of city streets
c) a classic Japanese problem using these ideas

Where do these ideas fall on the rigor/relevance chart? How should we sequence them or structure class to get to our objective?

Explore the activities in your groups, or design your own, and then we’ll come back together to discuss the ideas.

The puzzle: (Actually revised a bit from their use, based on play; changes were made to make it more accessible and focus on the mathematical properties. Click on the image for full size.)

The map: (Grand Rapids)

Tasks suggested for this were identifying parallel and perpendicular lines, vertical and transversal pairs of angles, combining measurement of street intersections, make informal arguments for congruent pairs, etc.

The Japanese angle problem:

(The top angle is 50 degrees, the bottom 30 degrees.)


Find the angle x. “Please solve the problem and if you can make an explanation that is amazing.” From the TIMSS video at http://timssvideo.com/66 (Love this problem; thanks to Rebecca Walker who first found it.)

Students tried all three, and they typically wanted a combination of them in their lessons for their hypothetical students.  The discussion of rigor in these problems gave us a lot of material (by which I guess I mean gave me a lot of informal assessment data) for a discussion of answer, solution, argument, proof in a later class.

I think these problems are pretty good samples of A, B and C lessons; I confess to being a bit stumped as to what a D lesson/problem/activity might be for this topic. The nature of abstraction in mathematics will lead to a lot of good lessons proceeding from B to C. Opportunities to venture onto D might be more rare. I'm very curious to hear what other people think.

Fearless Symmetry 2/23: Groups

I read the second chapter of Fearless Symmetry.

Part 1: Algebraic Preliminaries

Chapter 2: Groups

Definition: A group G is a set with a composition defined on pairs of elements, as long as three axioms hold true:
1. For any three elements x,y,z in G: x*(y*z) = x*(y*z)
2. G contains an element e such that for all x in G: x*e = e*x = x.
3. For any element x in G, there is an element y in G such that x*y=e.

Example 1:
The group of rotations of the sphere in R3: SO(3) or the Special Orthogonal Group in 3 dimensions. -The set G is the collection of all rotational symmetries of the sphere, i.e. if we rotate the sphere by any angle, the sphere doesn't noticeably change. The group property basically means that if we rotate the sphere over any angle A, after this over an angle B, it is the same if we would have rotated it in one go, but over some different angle. Also any rotation has an inverse: rotating it over the opposite angle. This makes the rotations a group. SO(3) is in fact a Lie group because these rotations can be done arbitrary small which is not the case when considering the symmetry group of for example a cube. Lie groups capture the concept of "continuous symmetries".

For me personally, this is the time to review chapters 1,2 and 3 of Naive Lie Theory by John Stillwell, Springer 2008. There you will find that the ( 4 dimensional ) quaternions are intimately related to the group SO(3) and that the quaternions can be expressed as 'complex 2-dimensional rotations' or complex 2 by 2 matrices. - This explains why quaternions are frequently used in 3D-(game)-programming.

To be continued with 3. Permutations

Fearless Symmetries - Reviews

In the eye of the general public the protypical math student suffers a range of personality disorders, i.e. autism, Asperger of course. When they suffer from a Narcissistic Personality Disorder as well, they merely look dumb and arrogant, the complete opposite of what they are trying to achieve.

Perhaps the most accessible introduction for a "very naive layperson" is Ash and Gross's Fearless Symmetry.

by Anonymous on Mathematics StackExchange

Anyway, Ash, one of the authors of Fearless Symmetry listed several reviews of the book on his page here.

Mathemusician puts Pi to music.

I -love- creative people.

Berita MGMP Matematika SMP Jakarta Timur

Jumat dan Sabtu, 9-10 Desember 2011 MGMP Matematika SMP Jakarta Timur sesuai dengan Program Kerja MGMP, Mengadakan Workshop Bedah SKL dan Bedah Soal Ujian Nasional dan Soal Olimpiade serta Koordinasi Pengurus MGMP Kecamatan.

Kegiatan yang dilaksanakan di Wisma Pendawa, Ciloto, Cianjur ini adalah swadaya murni dari Peserta. Kegiatan ini dimaksud adalah untuk meningkatkan perolehan nilai Ujian Nasional.

Adapun Agenda kegiatan adalah :
1. Penilaian Kinerja Guru (Sriyadi, S.Pd)
2. Koordinasi Pengurus MGMP Matematika (Sadono, S.Pd, M.Pd)
3. Bedah SKL (Sulis Riyanto, S.Pd)
4. Pemantapan Jambore Matematika (Purwanto, S.Pd)
5. Smart Solution (Kurniawan, S.Pd, M.Si)

Maju terus MGMP Matematika.....

Lihat Photo Kegiatan


.

അനന്തതയിലേക്കുള്ള പാത.

ഡോ. ജോര്‍ജ്ജ് ഗീവര്‍ഗ്ഗീസ് ലോകപ്രശസ്തനായ ഗണിതശാസ്ത്രാധ്യാപകനും ഗവേഷകനുമാണ്. ജന്മം കൊണ്ട് ഇന്ത്യക്കാരനാണെങ്കിലും ജീവിതം കൊണ്ട് വിദേശിയായ ഈ മനുഷ്യന്‍ വേണ്ടി വന്നൂ നമുക്ക് നമ്മുടെ അമൂല്യങ്ങളായ ഗണിത ഈടുവെപ്പുകള്‍ കണ്ടെത്താനും ലോകജനതയ്ക്കുമുമ്പില്‍ അവതരിപ്പിക്കാനും! ലോകചിന്തയില്‍ ശ്രദ്ധേയങ്ങളായ ചലനങ്ങള്‍ സൃഷ്ടിച്ച അദ്ദേഹത്തിന്റെ 'പാസേജ് ടു ഇന്‍ഫിനിറ്റി' എന്ന ഗ്രന്ഥത്തെ അവലേകനം ചെയ്തുകൊണ്ട് ഐടി@സ്കൂള്‍ കോഴിക്കോട് ജില്ലാ കോര്‍ഡിനേറ്റര്‍ ശ്രീ വി കെ ബാബുസാര്‍ എഴുതി കഴിഞ്ഞ സെപ്തംബര്‍ 25 ന്റെ ലക്കം മാതൃഭൂമി ആഴ്ചപ്പതിപ്പില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ലേഖനം, അദ്ദേഹത്തിന്റെ അനുവാദത്തോടെ പുന:പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയാണിവിടെ.
ഗണിതശാസ്ത്രപുരോഗമനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള യൂറോ കേന്ദ്രീകൃതപരിപ്രേക്ഷ്യത്തെ പിടിച്ചുലക്കാന്‍ പോന്ന പുതുചരിത്രാഖ്യാനമാണ് 'അനന്തതയിലേക്ക് ഒരു പാത'(Passage to Infinity).പാശ്ചാത്യേതരസമൂഹങ്ങളിലെ ആധുനികപൂര്‍വ്വ ഗണിതപാരമ്പര്യങ്ങളുടെ വിസ്തൃത സ്ഥലിയില്‍ ഭാരതീയവും കേരളീയവുമായ ഈടുവെയ്പുകളെ അതിന്റെ ചരിത്രപരതയില്‍ സ്ഥാനപ്പെടുത്തുന്ന ഈ പുസ്തകം 'മയൂരശിഖ'(The Crest of the Peacock )യുടെ കര്‍ത്താവില്‍ നിന്നുതന്നെയാണ് നമുക്ക് ലഭിച്ചിരിക്കുന്നത്.'മയൂരശിഖ'യിലൂടെ ഗണിതപദ്ധതികളുടെ ബഹുസ്വരത അനാവരണം ചെയ്ത് ഈ രംഗത്തെ യൂറോപ്യന്‍ അധിനിവേശചിന്തയെ പ്രഹരിച്ച ജോര്‍ജ് ഗിവര്‍ഗീസ് ജോസഫ് ഇവിടെ കേരളിയഗണിത പദ്ധതിയുടെ വിനിമയം യൂറോപ്യന്‍ പദ്ധതിയുടെ അടിസ്ഥാനമായിട്ടുണ്ട് എന്ന അനുമാനത്തെ ശാസ്ത്രീയാന്വേഷണത്തിലൂടെ കണ്ടെത്താനാണ് ശ്രമിക്കുന്നത്. കെട്ടുകഥകളേയും ഐതിഹ്യങ്ങളേയും ആശ്രയിക്കുന്ന രാഷ്ട്രീയഹിന്ദുത്വത്തിന്റെ ജ്ഞാനാന്വേഷണങ്ങളില്‍ നിന്ന് മാറി സഞ്ചരിക്കുന്ന ഈ അന്വേഷണം,വിവിധ നാഗരികതകളില്‍ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രയോഗവിദ്യകളെന്ന നിലയില്‍ വികസിച്ച ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുതകളുടെ സ്വതന്ത്ര പുനരാവിഷ്കാരങ്ങളായി ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ കാണുന്ന ജനാധിപത്യവീക്ഷണമാണ് വികസിപ്പിക്കുന്നത്.

ഇംഗ്ലീഷില്‍ രചിക്കപ്പെട്ട കൃതിയുടെ ഈ മലയാളമൊഴിമാറ്റം നടത്തിയിരിക്കുന്നത് ആര്‍.പദ്മരാജ് ആണ്.യൂറോപ്പിനു പുറത്ത് ഉത്ഭവിച്ചിരിക്കാനിടയുള്ള ആധുനികഗണിതശാസ്‍ത്രത്തിന്റെ ആദിസ്പന്ദനങ്ങളടങ്ങിയ ആശയങ്ങളും സങ്കേതങ്ങളും യൂറോപ്പിലേക്കു വിനിമയം ചെയ്യപ്പെട്ടിരിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യതയുടെ അന്വേഷണമാണ് പരാമൃഷ്ട ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ പ്രധാനപ്രമേയം.പതിനഞ്ചും പതിനാറും നൂറ്റണ്ടുകളില്‍ കേരളത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന സംഗമഗ്രാമ മാധവന്‍,പരമേശ്വരന്‍,ദാമോദരന്‍ ,നീലകണ്ഠ സോമയാജി,ജ്യേഷ്ഠദേവന്‍,ചിത്രഭാനു, ശങ്കരവാരിയര്‍,അച്യുതപിഷാരടി തുടങ്ങിയ ഗണിതജ്ഞരുടെ സംഭാവനകള്‍ ഉള്‍ക്കൊണ്ട കേരളീയ ഗണിത പദ്ധതി (Kerala School of Mathematics) യാണോ ഈ സ്പന്ദനങ്ങളുടെ പ്രഭവസ്ഥാനം എന്നത് സവിശേഷമായും പരിശോധിക്കുന്നു.ഭാരതീയവും കേരളീയവുമായ ഗണിതസരണിയുടെ ദീപ്തമായ വശങ്ങളെ വിലയിരുത്താനും ഉള്‍ക്കൊള്ളാനും ഉള്ള ഈ ദൗത്യം ഗണിതശാസ്ത്രതത്പരരെ മാത്രം ആകര്‍ഷിക്കുന്ന ഒന്നല്ല.സ്വന്തം ദേശത്തിന്റെ ചിന്താപൈതൃകത്തെ കാലോചിതമായി സ്വാംശീകരിക്കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്ന സംസ്കാരപഠിതാക്കളേയും ചരിത്രഗവേഷകരേയും വിദ്യാഭ്യാസ പ്രവര്‍ത്തകരേയും പുസ്തകം ആകര്‍ഷിക്കും.

രചനയുടെ ലക്ഷ്യത്തിനനുഗുണമായിതന്നെ ഉള്ളടക്കം സംവിധാനം ചെയ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെന്നു പറയാം.കേരളിയ ഗണിതപദ്ധതിയുടെ സാമൂഹികമായ സ്രോതസ്സുകളെ ആദ്യം തന്നെ വിശദമായി പരിശോധിക്കുന്നു.സാമൂഹികസ്രോതസ്സുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിസ്തൃതപഠനം ലേഖകന്റെ വാദങ്ങള്‍ക്ക് അധികയുക്തി പ്രദാനം ചെയ്യുന്നുണ്ട്.പതിനാലാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യദശകങ്ങളോടെ ദൃശ്യമായിത്തുടങ്ങിയ ഈ ഗണിത-ജ്യോതിശാസ്ത്ര പുഷ്കലതയുടെ സാമൂഹികവും രാഷ്‍ട്രീയവും സാസ്‍കാരികവുമായ വേരുകള്‍ കണ്ടെടുക്കുയാണ് ഇതിലൂടെ .ഒന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ കുലശേഖര ആഴ്‍വാറിന്റെ കാലത്തു മുതല്‍ ഉണ്ടായ സര്‍വതലസ്‍പര്‍ശിയായ ഉണര്‍വ് മധ്യകാലം (1102-1498) മുഴുവന്‍ തുടര്‍ന്നത് തദ്ദേശീയമായ ഗണിത-ജ്യോതിശാസ്‍ത്രപദ്ധതിയുടെ തിടം വെയ്ക്കലിന് ഫലഭുയിഷ്ഠമായ മണ്ണൊരുക്കി.മധ്യകാലകേരളത്തിലെ ജീവിതരീതി, ക്ഷേത്രസംസ്കാരം, വിജ്ഞാനസമ്പാദന പ്രക്രിയ, വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങള്‍ തുടങ്ങിയവയുടെ സമഗ്രമായ ഒരു പരിശോധനയിലൂടെയാണ് ഗ്രന്ഥകര്‍ത്താവ് ഈ നിഗമനങ്ങളിലേക്ക് എത്തിച്ചേരുന്നത്.

മുന്‍കാല ഭാരതീയ ഗണിത-ജ്യോതിശാസ്‍ത്ര ഉപലബ്‍ധികളെ ആധാരമാക്കിയുള്ള ഭാഷ്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിലും കൃഷി,കാലാവസ്ഥാ പ്രവചനം,സമുദ്രതരണം,ഗ്രഹസ്ഥിതി നിര്‍ണ്ണയം തുടങ്ങിയ ജീവിതാവശ്യങ്ങളുടെ ആവിഷ്‍കാരമായ സ്വതന്ത്രമായ കൃതികളുടെ രൂപത്തിലും ഒരു മൗലികമുദ്രയുള്ള ഗണിതപദ്ധതി (school of mathematics) സാവധാനം വികസിച്ചുവന്നതിന്റെ ചിത്രം മിഴിവോടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു ഇവിടെ.സംഗമഗ്രാമ മാധവന്‍ മുതല്‍ കേരളീയ ഗണിതപദ്ധതിയിലെ ഗണനീയരായ എല്ലാവരുടേയും സംഭാവനകള്‍ അവയുടെ ചരിത്രപരമായ പ്രാധാന്യം എടുത്തുകാട്ടി വിവരിക്കുന്നുമുണ്ട് ഈ പ്രബന്ധത്തില്‍.കേരളീയപദ്ധതിയിലെ നിര്‍ണ്ണായക ഗ്രന്ഥമാണ് ജ്യേഷ്ഠദേവന്‍ നമ്പൂതിരി (1500-1610) രചിച്ച 'യുക്തിഭാഷ'.മലയാളത്തില്‍ എഴുതപ്പെട്ട ഈ ഗ്രന്ഥം സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ എല്ലാ തെളിവുകളും സഹിതം സമര്‍ഥിക്കപ്പെട്ട ,കാല്‍ക്കുലസിന്റെ പിതൃത്വം അവകാശപ്പെടാവുന്ന ഒന്നത്രെ.

കേരളീയപദ്ധതിയുടെ ഗണിതസ്രോതസ്സുകള്‍ വിവരിക്കുന്ന അധ്യായത്തില്‍ പ്രധാന സംഭാവനകളുടെ വിശദമായ കണക്കെടുപ്പാണ്.പാശ്ചാത്യവും പാശ്ചാത്യേതരവുമായ ഗണിതപദ്ധതികളില്‍ നിന്നും കേരളീയപദ്ധതിയുടെ വ്യതിരിക്തത സോദാഹരണം വ്യക്തമാക്കുന്നു. ആര്യഭടീയത്തിന്റെ സ്വാധീനം വിശദമാക്കുന്നതിന് ഏറെ പേജുകള്‍ നീക്കിവെച്ചിരിക്കുന്നു.121 ശ്ലോകങ്ങളിലായി ഗണിതവും ജ്യോതിശാസ്‍ത്രവും പ്രതിപാദിക്കുന്ന പ്രസ്‍തുത കൃതിയുടെ പ്രഭാവം യൂക്ലീഡിന്റെ എലിമെന്റ്സ് പാശ്ചാത്യലോകത്തുണ്ടാക്കിയ സ്വാധീനത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ലേഖകന്‍ കണ്ടെത്തുന്നുണ്ട്.ന്യൂട്ടണ്‍-ഗ്രിഗറി സീരീസ് എന്നറിയപ്പെട്ടിരുന്ന അനന്തശ്രേണിയെ മാധവ-ഗ്രിഗറി സീരീസ് എന്ന് പുനര്‍നാമകരണം ചെയ്യല്‍ സാധ്യമാക്കിയതിന്റെ അടിസ്ഥാനം പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ടിടെ.അതുമാത്രം പോരെന്നാണ് ലേഖകന്റെ മതം. നക്ഷത്രതുല്യരായി ഗണിക്കപ്പെടുന്നവരുടെ ആകാശത്തിലിടം നേടാന്‍ കേരളീയ പദ്ധതിയിലെ അനുഗൃഹീത ഗണിതശാസ്‍ത്രജ്ഞര്‍ക്ക് യോഗ്യതയുണ്ട്.

എ.ഡി. 14 മുതല്‍ 17 വരെയുള്ള നൂറ്റാണ്ടുകളില്‍ കേരളത്തില്‍ തികച്ചും തദ്ദേശീയമായി വളര്‍ന്നു വികസിച്ച ഗണിതരംഗത്തെ മികവ് ലോകത്തിന്റെ മറ്റ് ഭാഗങ്ങളില്‍ മാത്രമല്ല ഭാരതത്തിന്റെ ഇതരഭാഗങ്ങളിലും അജ്ഞാതമായിരുന്നു.കേരളപദ്ധതിയിലെ നാല് ഗ്രന്ഥങ്ങളെ ഉദ്ധരിച്ചുകൊണ്ട് 1834 ല്‍ ചാള്‍സ് വിഷ് ചില കേരളീയ കണ്ടെത്തലുകളെ വെളിവാക്കും വരെ ഇത് തുടര്‍ന്നു. വിലോമസ്‍പര്‍ശരേഖയ്‍ക്കുള്ള ഗ്രിഗറി ശ്രേണി(Gregory series for inverse tangent), π യ്‍ക്കുള്ള ലെബനിറ്റ്സ് ഘാതശ്രേണി (Leibnitz power series for π ),സൈന്‍/കൊസൈന്‍ എന്നിവയുടെ ന്യൂട്ടന്‍ ഘാതശ്രേണി (Newton power series for Sine/Cosine) ,ത്രികോണമിതിക ഏകദങ്ങളുടെ യുക്തിശോധനകള്‍(Rational approximations of Trigonometric functions) എന്നിവ വിഷ് എടുത്തുകാട്ടി.ഇക്കാര്യം വിശകലനം ചെയ്ത് ലേഖകന്‍ വസ്തുനിഷ്ഠമായി കേരള പദ്ധതിയുടെ പ്രമുഖാംശങ്ങളെ നാലാം അധ്യായത്തില്‍ വിവരിക്കുന്നു.ഗണിതശാസ്‍ത്രത്തിന്റെ ചരിത്രത്തില്‍ ഇടം നേടാനര്‍ഹമായ എട്ട് നിര്‍ണ്ണായകമായ സംഭാവനകള്‍ കേരളീയ പദ്ധതിയുടേതായി ഗ്രന്ഥകര്‍ത്താവ് കണ്ടെടുത്ത് അവതരിപ്പിക്കുന്നുണ്ട്.ഇവയില്‍ പലതും യൂറോപ്യന്‍മാര്‍ കണ്ടെത്തുന്നത് നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്ക് ശേഷമത്രെ.അഭിമാനകരമായ തിരിച്ചറിവുകള്‍ മലയാളി വായനക്കാര്‍ക്ക് നല്‍കുന്ന സന്ദര്‍ഭമാണിത്.

ഭാരതീയ ത്രികോണമിതിയുടെ പ്രാചീനകാലം മുതലുള്ള സംഭാവനകള്‍ വ്യക്തമാക്കുന്ന ഒരു ഗവേഷണപ്രബന്ധവും തുടര്‍ന്ന് ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നു.കേരളീയ പദ്ധതിയുടെ ഈ രംഗത്തെ സംഭാവനകളുടെ ചരിത്രപരമായ വികാസം അടുത്തറിയാന്‍ ഇതുപകരിക്കും.ജ്യോതിശാസ്‍ത്ര/ജ്യോതിഷ ഉപാധിയെന്ന നിലയ്ക്കു നേരിടേണ്ടിയിരുന്ന പ്രശ്നങ്ങളാണ് ആദ്യകാല ത്രികോണമിതിയുടെ ഉള്ളടക്കം.ഭാരതീയ ത്രികോണമിതിയിലെ അടിസ്ഥാന സങ്കല്‍പ്പങ്ങള്‍ രൂപപ്പെട്ടത് ഈ പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കുള്ള സമാധാനം എന്ന നിലയ്ക്കാവും.ആര്യഭടന്‍,വരീഹമിഹിരന്‍,ഭാസ്കരന്‍ ഒന്നാമന്‍,ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍,ഭാസ്കരന്‍ രണ്ടാമന്‍,നീലകണ്ഠന്‍ മുതലായവരുടെ ഈ രംഗത്തെ സംഭാവനകള്‍ വിശദമായി പ്രതിപാദിച്ചിരിക്കുന്നു.ഗ്രഹസ്ഫൂടങ്ങള്‍,ഗ്രഹചാരങ്ങള്‍ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ജ്യോതിശാസ്ത്ര ആവശ്യങ്ങള്‍ മുന്‍നിര്‍ത്തിയുള്ള വികാസപരിണാമങ്ങള്‍ ത്രികോണമിതിയിലെ കേരളീയപദ്ധതിയുടെ പുരോഗതിയുടെ അടിസ്ഥാനമായി ഭവിച്ചതിന്റെ ദൃഷ്ടാന്തം നീലകണ്ഠന്റെ 'ഗോളസാരം' എന്ന കൃതിയെ ആസ്പദമാക്കി സവിസ്തരം പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ട്.

നേര്‍രേഖയും വക്രരേഖയും തമ്മില്‍ ഗണിതശാസ്‍ത്രപരമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കണമെന്ന ആശയമാണ് കേരളീയ ഗണിത പദ്ധതിയുടെ അടിസ്ഥാന പ്രചോദനമായി ഭവിച്ചതെന്ന് ലേഖകന്‍.ഒരു നിശ്ചിത വ്യാസത്തിന് കൃത്യമായ വൃത്തപരിധിമൂല്യം നിര്‍ണ്ണയിക്കാനാവുന്നില്ലെന്ന സമസ്യയ്ക്ക് ഉത്തരം തേടി കേരളിയ ഗണിതജ്ഞരും അലഞ്ഞിരിക്കണം.1593 ല്‍ ഫ്രാന്‍സിയോസ് വിറ്റേ യൂറോപ്പില്‍ ആദ്യമായി π യെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാന്‍ ഗണിതക്രിയാശ്രേണി രപപ്പെടുത്തി എന്നത് ചരിത്രം.എന്നാല്‍ അതിന് 250 വര്‍ഷം മുന്‍പ് സംഗമഗ്രാമ മാധവന്‍ π/4=1-1/3+1/5-1/7+.....എന്ന ഫലത്തിന് തത്തുല്യമായത് കണ്ടെത്തിയിരുന്നു. (വൃത്തപരിധി കണക്കാക്കാന്‍ 'വ്യാസത്തെ 4 ല്‍ ഗുണിച്ച് ; ഗുണിച്ചതിനെ ഒറ്റ സംഖ്യകള്‍ കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ; ഹരണഫലം മേല്‍പറഞ്ഞതിനോട് മാറി മാറി കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക' എന്ന് മാധവന്‍). അനന്തശ്രേണികളും സമാകലിതങ്ങളും(integrals) അടിസ്ഥാനമാക്കിയ രീതി ഉപയോഗിച്ച കേരളീയര്‍ പാരിമിത്യം (limit) എന്ന ആശയത്തിന് സമീപമെത്തിയിട്ടും കലന(calculus)ത്തിന്റെ അല്‍ഗരിതങ്ങള്‍ നിര്‍മിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കാതെ ജ്യാമിതീയസമീപനത്തില്‍ തുടരുകയായിരുന്നു.ഇതാകട്ടെ യൂറോപ്യന്‍ ഗണിതജ്ഞര്‍ കലനം മുഖേന സാധിച്ചെടുക്കുകയും ചെയ്തതായി പ്രൊഫ.ജോസഫ് കണ്ടെത്തുന്നു.ഈ അനന്തശ്രേണി കേരളീയ ഗണിതജ്ഞര്‍ എപ്രകാരം നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്‍തെടുത്തു എന്ന് വിസ്തരിച്ചിരിക്കുന്നു പുസ്തകത്തില്‍.പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ഉത്തരാര്‍ദ്ധത്തിലാണ് ഈ ദിശയിലുള്ള പഠനങ്ങള്‍ ഗ്രിഗറിയും ലെബനിറ്റ്സും നടത്തിയതെന്നോര്‍ക്കുക.

ഇന്ന് ഐസക് ന്യൂട്ടന്റെ പേരിലറിയപ്പെടുന്ന സൈന്‍, കൊസൈന്‍ ഘാതശ്രേണികള്‍ യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ മാധവന്റെ പേരിലാണ് അറിയപ്പെടേണ്ടത് എന്ന കണ്ടെത്തലാണ് കേരളീയരുടെ ഞരമ്പുകളിലെ ചോരയെ തിളപ്പിക്കുക.വൃത്തത്തിന്റെ ആദ്യപാദത്തില്‍ സ്ഥതിചെയ്യുന്ന ചാപത്തിന്റെ നീളം ജ്യോതിശാസ്‍ത്രപരമായ ആവശ്യങ്ങള്‍ക്കയി കൃത്യതയോടെ കണക്കാക്കാനുള്ള ശ്രമമാണ് കേരളീയ ഗണിതകാരന്‍മാരെ സൈന്‍,കൊസൈന്‍ അനന്തശ്രേണികളുടെ ഗൗരവമായ പഠനത്തിലേക്ക് നയിച്ചിട്ടുണ്ടാവുക .'യുക്തിഭാഷ'യിലെ ബന്ധപ്പെട്ട ശ്ലോകങ്ങളെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആധുനിക ഭാഷാചിഹ്നപ്രയോഗത്തിലേക്ക് വിവര്‍ത്തനം ചെയ്ത് തന്റെ മില്യന്‍ ഡോളര്‍ കണ്ടെത്തലിനെ സ്ഫടികവ്യക്തതയോടെ സാധൂകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുണ്ട് ലേഖകന്‍.ഭാരതീയവും ആധുനികവുമായ ഗണിതങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള രീതിശാസ്‍ത്രപരവും ജ്ഞാനശാസ്ത്രപരവും ദാര്‍ശനികവുമായ വ്യത്യസ്തതകളെ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോള്‍ , ഭാരതീയഗണിതത്തിന് ഉപപത്തി (proof) ഇല്ല എന്നതുപോലുള്ള പാര്‍ശ്വവല്‍കരണങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന സാമാന്യവത്കരണങ്ങളും താരതമ്യങ്ങളും അപകടകരമാണെന്ന ഗ്രന്ഥകര്‍ത്താവിന്റെ നിരീക്ഷണം ശ്രദ്ധയമാണ്.

ഭാരതീയഗണിതത്തോടുള്ള ഇസ്ലാമിക്/അറബ് കാഴ്ചപ്പാടുകളില്‍ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി യൂറോപ്യന്‍മാരുടേത് മേല്‍ക്കോയ്മയുടേതായിരുന്നു. പത്തൊമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടോടെ സെഡില്ലോട്ടും ബെന്റ്ലിയും ലോകാംഗീകാരം നേടിയ ഭാരതീയ ഗണിതത്തിന്റെ മൗലികതയെ ചോദ്യം ചെയ്തു.ഈ ധാരണക്കുറവ് ഇന്നും തുടരുന്നവരുമുണ്ട്.അവര്‍ക്കെല്ലാമുള്ള മറുപടിയാണ് ലേഖകന്റെ കേരളീയ പദ്ധതിയെക്കുറിച്ചുള്ളതടക്കമുള്ള അനാവരണങ്ങള്‍.യൂറോ കേന്ദ്രീകൃതമായ മേധാവിത്ത മുന്‍വിധിയില്‍ നിന്നും വിടുതല്‍ നേടി യൂറോപ്യന്‍ പണ്ഠിതര്‍ ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ രണ്ടാം പകുതിയോടെയാണ് കേരളീയ പദ്ധതിയുടെ നേട്ടങ്ങളെ വിശകലനം ചെയ്യാന്‍ തുടങ്ങിയത്.സാധൂകരണമാര്‍ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യസ്തതകളെ പരിഗണിക്കാതെയുള്ള നോട്ടങ്ങളും ദ്വിതീയസ്രോതസ്സുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള നിഗമനങ്ങളും ആണ് കേരളീയ ഗണിതത്തിന്റെ ഗുണനിര്‍ണയത്തെ ഋണാത്മകമായി സ്വാധിനിക്കുന്നത്.

വിജ്ഞാന വിനിമയ വാദത്തിനു് യൂറോപ്യന്‍ പണ്ഠിതര്‍ അവലംബിച്ച മാര്‍ഗങ്ങള്‍ തന്നെ ഉപയോഗിച്ച് കേരളീയ പദ്ധതിയുടെ വിനിമയസാധ്യത തെളിയിക്കാനാകുമോ എന്ന ശ്രമമാണ് ലേഖകന്‍ നടത്തുന്നത്.വിനിമയം തെളിയിക്കുന്നതിന് ന്യൂഗബോര്‍ സിദ്ധാന്തിക്കുന്ന കാര്യങ്ങളും വാന്‍ഡര്‍ വാര്‍ഡന്റെ പൊതുസ്രോതസ്സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ചുള്ള ഘടകങ്ങളും ഉണ്ടായിട്ടും കേരളീയഗണിതം യൂറോപ്പിലേക്ക് വിനിമയം ചെയ്യപ്പെട്ടുവെന്ന അനുമാനത്തിന് സാഹചര്യത്തെളിവ് പോരാതെ വരുന്നു.യൂറോപ്യന്‍ ഗണിതചരിത്രത്തിലൊന്നും ഇത്തരമൊരു വിനിമയസാധ്യതയുടെ സൂചനകളില്ലെന്നിരിക്കേ ,സാഹചര്യാധിഷ്ഠിതമായ മറ്റു തെളിവുകള്‍ എടുത്തുകാട്ടുന്നുണ്ട്.ഒപ്പം സാര്‍വ്വലൗകികമായിത്തീര്‍ന്ന ഒരു വിനിമയത്തിന്റെ ഉദ്ഭവവും വളര്‍ച്ചയും ഘട്ടങ്ങളും തന്റെ വാദത്തിന് ഉപോത്ബലകമായി വിസ്തരിക്കുന്നു.നൂറ്റാണ്ടുകളിലൂടെ ഭാരതത്തിനകത്തു തന്നെ പരിണമിച്ചുണ്ടായ പൂജ്യത്തോടുകൂടിയ,സ്ഥാനമൂല്യസംവിധാനത്തോടെയുള്ള സംഖ്യാപദ്ധതിയുടെ പടിഞ്ഞാട്ടുള്ള ഗതി അല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല അത്.

കേരളീയഗണിതം യൂറോപ്പിലേക്കു വിനിമയം ചെയ്യപ്പെട്ടിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതാപഠനം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ലേഖകന്റെ നേതൃത്തിലുള്ള ഗവേഷണപ്രൊജക്ടിലെ കണ്ടേത്തലുകളാണ് അവസാനഭാഗം. പ്രേരണ,അവസരം,സാഹചര്യത്തെളിവുകള്‍,രേഖകള്‍ തുടങ്ങി എല്ലാം നിറഞ്ഞ ഈ 'കുറ്റാന്വേഷണ' ഡയറിക്കുറിപ്പുകള്‍ ആകാംക്ഷയോടെ വായിച്ചുപോകാന്‍ പാകത്തിലാണുള്ളത്. സമുദ്രതരണത്തിനുള്ള കൃത്യമായ കണക്കുകളുടെ ആവശ്യകത,ഗാമയുടെ വരവോടെ തുറന്നുകിട്ടിയ സഞ്ചാരപഥം,ഗണിത /സമുദ്രതരണ /ജ്യോതിശാസ്ത്ര ങ്ങളില്‍ പ്രവീണരായ ജെസ്യൂട്ട് പാതിരിമാരുടെ സാന്നിദ്ധ്യം ,പാതിരിമാര്‍ അയച്ച റിപ്പോര്‍ട്ടുകളും കത്തുകളിലേയും ഉള്ളടക്കം, യൂറോപ്യന്‍ ലൈബ്രറികളിലെ ഭാരതീയ ശാസ്ത്ര കൈയെഴുത്തുകളിലെ പരാമര്‍ശങ്ങള്‍, തുടങ്ങിയവ പരിഗണിച്ചുള്ള ശാസ്ത്രീയമായ പരിശോധനയാണ് ഇവിടെ.

വിനിമയം നടന്നിട്ടുണ്ട് എന്നുള്ള മുന്‍വിധി ഇല്ല എന്നത് എടുത്തുപറയേണ്ടിയിരിക്കുന്നു. കേരളത്തില്‍ വികസിച്ചുവന്ന തദ്ദേശീയ ശാസ്ത്രവിജ്ഞാനം കൈക്കലാക്കാനുള്ള തീവ്രപ്രചോദനം ജെസ്യൂട്ട് പാതിരിമാര്‍ക്കുണ്ടായിരുന്നെന്ന മുന്‍ കണ്ടെത്തലിനെ ഉറപ്പിക്കാനായെങ്കിലും കേരളീയ ഗണിതമടങ്ങിയ താളിയോലകള്‍ അവര്‍ നേരിട്ട് കൈവശപ്പെടുത്തിയെന്നോ മൂന്നാമതൊരാള്‍ വഴി സ്വന്തമാക്കിയെന്നോ ഉള്ള വാദങ്ങളെ സാധൂകരിക്കുന്ന പ്രത്യക്ഷ തെളിവുകള്‍ ലഭിച്ചില്ല എന്ന വസ്തത ഇവിടെ സമ്മതിക്കുന്നുണ്ട്.തുടര്‍ന്ന് മറ്റു തരത്തിലുള്ള വിനിമയ സാധ്യതകളും യൂഗോ ബാള്‍ഡിനി അടക്കമുള്ളവരുടെ എതിര്‍വാദങ്ങളും ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നു.രേഖാപരമല്ലാത്ത വിനിമയത്തിനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള അരുണ്‍ ബാലയുടെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ വെളിച്ചത്തില്‍ ചില അനുമാനങ്ങളും മുന്നോട്ടുവെക്കുന്നു.ഭൂപടനിര്‍മാതാക്കള്‍,നാവികര്‍,പഞ്ചാംഗകര്‍ത്താക്കള്‍ തുടങ്ങിയവരിലൂടെ ഉപയോഗമൂല്യം മാത്രമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിലാവും പാശ്ചാത്യര്‍ക്ക് അത് ഒരുപക്ഷേ ലഭിച്ചിട്ടുണ്ടാവുക.

ചില സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലെങ്കിലും ഗണിത പദാവലികള്‍ങ്ങള്‍ക്കുള്ള മലയാള തര്‍ജ്ജമ (ഉദാ:-chordന് ജ്യാവ്) മലയാള മാധ്യമത്തില്‍ പഠനം നടത്തിയവര്‍ക്ക് അല്പം അപരിചിതത്വം സൃഷ്ടിക്കാം. ഐസക് ന്യൂട്ടനും ലെബനിറ്റ്സിനും മുന്‍പ് കാല്‍കുലസിന്റെ ആദ്യസിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ കേരളീയപദ്ധതിയുടെ ഭാഗമായിരുന്നു എന്നത് ,എലിമെന്ററി ഗണിതത്തിലിടം നല്‍കി നോണ്‍-യൂറോപ്യന്‍ സംഭാവനകളെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയ അധിനിവേശചിന്താ സരണികള്‍ക്ക് വെടിമരുന്ന് നിറഞ്ഞ ഒരറിവാകാതെ വയ്യ.

Video lectures on Theory Of Automata, Formal Languages and Computation

NPTEL released a new series of video lectures featuring Prof.Kamala Krithivasan from the Department of Computer Science and Engineering IIT in Madras on  the Theory of Automata, Formal Languages and Computation. The first lecture in the series is called GRAMMARS AND NATURAL LANGUAGE PROCESSING.

Fearless Symmetry 1/23: Representations

I read the first chapter of Fearless Symmetry. See: Reading ( conflicts time management ) for the history on this topic.

Part 1: Algebraic Preliminaries

Chapter 1: Representations

The goal of the book is 'Mod p linear representations of Galois groups' and how these representations help to clarify the general problem of solving systems of polynomial equations with integer coefficients.

It is very important to know that a mathematical definition can redefine a commonly word used elsewhere. ( A simple group is not 'simple' but complex. A tree is a graph, a 'tree' in the forest is not. ) Sometimes an object is defined by listing its properties and following that a proof is given of the existence of such an object.

Definition: A set is a collection of things which are the elements of the set.

Definition: A function f: A-> B from a set A to a set B is a rule that assigns to each element in A an element of B.

Definition: A morphism is a function from A to B that "captures at least part of the essential nature" of the set A in its image in B. ( Clearly "captures at least part of the essential nature" needs to be refined later. )

Definition: A representation is a morphism from a source object to a standard target object.

Example 1: Take A,B and the fact that B represents A. A may be a citizen, B her state rep and X the legal fact that B represents A by voting in the legislature on her behalf. A may be a(n abstract) group, B a group of matrices, and X a morphism from A to B. The ultimate in abstraction is representing A,B as dots and X as an arrow from A to B.

Example 2: In the context of counting, given any two finite sets A and B, a morphism is a one-to-one correspondence from A to B. A representation in this case is a morphism from a given finite set to one of the sets {1}, {1,2}, {1,2,3} and so on. So a flock of three sheep has the set {1,2,3} as its target.

To be continued with 2. Groups.

December 9, 2011

Interactive version of problem and solution.

2012 Joint Mathematics Meetings

@JointMath