വേറിട്ട ചിന്തകള്‍: 2 വൃത്തങ്ങള്‍

$A=\sqrt{abcd}$എന്ന സൂത്രവാക്യം കണ്ടിട്ടുണ്ടോ? A എന്നത് പരപ്പളവും a,b,c,d ചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുമാണ്.
ഒരു പ്രത്യേകതരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെ അവതരിപ്പിക്കുകയും അതിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പുതിയ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ പ്രസക്തി അന്വേഷണവിധേയമാകാകുകയുമാണ് ഇന്നത്തെ പോസ്റ്റ്
പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ കാഴ്ചപ്പാട് പൂര്‍ണ്ണതയിലെത്തുന്നത് അതിനപ്പുറത്തുള്ള കാഴ്ചകള്‍ കണ്ടെത്താന്‍ കുട്ടി പ്രാപ്തനാകുമ്പോഴാണ് . ഇവിടെ അദ്ധ്യാപകന്റെ റോള്‍ അതിനുള്ള പാശ്ചാത്തലം രൂപീകരിക്കുക എന്നതാണ്. ഇത്തരം ഒരു ചിന്തയിലേയക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു ചെറിയ സന്ദര്‍ഭം അവതരിപ്പിക്കുക മാത്രമാണ് ഈ പോസ്റ്റില്‍ ചെയ്യുന്നത്.
അന്തര്‍വൃത്തങ്ങള്‍ വരക്കാവുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമുക്കറിയാം. എല്ലാത്രികോണങ്ങള്‍ക്കും അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുമെങ്കിലും എല്ലാ ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ക്കും അത് സാധ്യമാകുകയില്ല.പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തില്‍ നിന്നും ചോദ്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കുമ്പോള്‍ സാധാരണ എഴുതാറുള്ള ഒരു ചോദ്യമുണ്ട് . അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ ഒരു ജോഡി എതിര്‍വശങ്ങളുടെ തുക മറ്റേജോഡി എതിര്‍വശങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും . ഇത് തെളിയിക്കുന്നതിനായി തൊടുവരകളുടെ അടിസ്ഥാനപ്രത്യേകത ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇതിന്റെ തുടര്‍പ്രവര്‍ത്തനമായി അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന സാമാന്തരീകങ്ങള്‍ സമഭുജസാമാന്തരീകങ്ങള്‍ തന്നെയെന്ന് കണ്ടെത്താന്‍ സാധിക്കും . ഇതൊക്കെ പറഞ്ഞത് നമ്മുടെ വിഷയത്തിനുള്ള ആമുഖമായാണ്.

ഇനി പരിവൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം. ഇവ ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ തന്നെയാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഇവയുടെ നാലുശീര്‍ഷങ്ങളിലൂടെയും കൂടി കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തം വരക്കാന്‍ പറ്റുമല്ലോ. ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങള്‍ a, b, c, d വീതമായാല്‍ ഇവ ഉപയോഗിച്ച് പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാനുള്ള മാര്‍ഗ്ഗമുണ്ട് . $s= \frac{a+b+c+d}{2}$ ആയാല്‍ പരപ്പളവ്
$‌ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ ആയിരിക്കും .
ഇനി നമുക്ക് പത്താം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകത്തിലേയ്ക്ക് തിരിച്ചുവരാം. ഇക്കാര്യം പാഠപുസ്തകത്തിലെ അന്‍പതാം പേജിലെ സൈഡ് ബോക്സായി നല്‍കിയിരിക്കുന്നു. ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വിശദീകരണങ്ങളില്‍നിന്നും ഇതിന്റെ ചരിത്രപശ്ചാത്തലം നമുക്ക് മനസിലാക്കാം . അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റുചില വസ്തുതകളും
ഈ രണ്ട് ആശയങ്ങളെയും ചേര്‍ത്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഒരു അന്വേഷണം ആരംഭിക്കാം .

ഒരേസമയം അന്തര്‍വൃത്തവും പരിവൃത്തവും വരക്കാന്‍ കഴിയുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ഉണ്ടാകുമല്ലോ? തീര്‍ച്ചയായും . ഇത്തരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ക്കുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം സമചതുരം തന്നെയാണ് . സമചതുരങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ അന്തര്‍വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും പരിവൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന് നിസ്സംശയം പറയാം. എന്നാല്‍ ഈ സവിശേഷസ്വഭാവമുള്ള മറ്റുചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഒരേ കേന്ദ്രം ആയിരിക്കില്ലല്ലോ. അതുകൊണ്ടുതന്നെ അത്തരം ചതുര്‍ഭുജങ്ങളെ ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങളെന്നു വിളിക്കട്ടെ!
കോമ്പസസ്സും സ്ക്കേലും ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം ചിത്രങ്ങള്‍ വരക്കുക ആയാസകരമാണ് . എന്നാല്‍ ജിയോജിബ്ര ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത്തരം ചിത്രങ്ങള്‍ ക്ഷണനേരം കൊണ്ട് വരച്ചെടുക്കാം. വശങ്ങളുടെ നീളം അളന്നെഴുതുകയും ചെയ്യാം
ഏതൊരന്വേഷണത്തിനും ഒരു പരികല്പന ഉണ്ടാകുമല്ലോ. സമചതുരമെന്ന ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
$a^2$ ആണല്ലോ. അതിനെ നമുക്ക് $ \sqrt{a^4}$ എന്ന് എഴുതാന്‍ സാധിക്കും . ഒന്നുകൂടി എഴുതിയാല്‍ പരപ്പളവ് $\sqrt{a \times a \times a \times a}$ എന്ന് എഴുതാന്‍ സാധിക്കും .
മറ്റ് ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഇത് ശരിയാകുമോ? തീര്‍ച്ചയായും ശരിയാണെന്നാണ് മനസിലാക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞത്
ഇനി വിവരശേഖരണത്തെക്കുറിച്ചാകാം. ധാരാളം ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ജിയോജിബ്രയുടെ സഹായത്താല്‍ വരക്കാം. വശങ്ങള്‍ a, b, c, d ആണെന്ന് കരുതുകയും അവ അളന്നെഴുതുകയും ചെയ്യാമല്ലോ. പോരെങ്കില്‍ പരപ്പളവ് കൃത്യമായി കണക്കാക്കാനുള്ള ടൂളും ഉണ്ട് ഇങ്ങനെ വിവരശേഖരണം നടത്തി അളവുകള്‍ പട്ടികയിലാക്കി , പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
മറ്റൊരുമാര്‍ഗ്ഗം വിവരങ്ങലെ സ് പ്രേഡ് ഷീറ്റിലാക്കി അപഗ്രഥനം നടത്തുകയാണ് .
അടിസ്ഥാനപരമായി ദ്വികേന്ദ്രചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ ചക്രീയചതുര്‍ഭുജങ്ങള്‍ തന്നെയാണല്ലോ. അതിനാല്‍
$‌ \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$എന്ന സൂത്രവാക്യവും ഉപയോഗിക്കാം . ഇതിനും സ് പ്രെഡ്ഷീറ്റ് സഹായം പ്രയോജനപ്പെടുത്താമല്ലോ.
ഈ പരപ്പവുകളെല്ലാം $A= \sqrt{abcd}$ എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്ന പരപ്പളവുമായി താരതമ്യം ചെയ്തുനോക്കുക
ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ പരപ്പളവുകാണുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യവും , അന്തര്‍വൃത്തം വരക്കാവുന്ന ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതയും സമന്വയിപ്പിച്ച് പുതിയ സൂത്രവാക്യം സൈദ്ധാന്തികമായി തെളിയിക്കാന്‍ പറ്റും . ഇതിന് ശ്രമിക്കുമല്ലോ?