ഘനരൂപങ്ങള്‍ - ചോദ്യപേപ്പര്‍

ലേടെക്കിന്റെ വിശാലമായ ക്യാന്‍വാസില്‍ പത്താംക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകം കൃഷ്ണന്‍സാര്‍ തന്റെ ലാപ് ടോപ്പില്‍ ചെയ്തിരുന്നത് ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടുണ്ട് . അതില്‍ എന്നെ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ ആകര്‍ഷിച്ചത് ഘനരൂപങ്ങളാണ്. ജീവന്‍ തുടിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങളായിരുന്നു അവ. സ്തൂപികയുടെ ഉള്ളിലേയ്ക്ക് നിഴലും വെളിച്ചവും സമ്മേളിച്ചുകൊണ്ട് ത്രിമാനചിത്രങ്ങള്‍ രൂപപ്പെട്ടിരിക്കുന്നകാഴ്ച മനോഹരമാണ്. ലേടെക്കുമായി ഇനിയും ഒത്തിരി ദൂരം യാത്രയുണ്ട്. ഘനരൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് പോസ്റ്റെഴുതവേ സാന്ദര്‍ഭീകമായി പറഞ്ഞതാണ് ഇത്രയും. പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ 116-ം മത്തെ പുറം വായിക്കുന്നു. ചതുരപ്പലകകളടുക്കി സമചതുരസ്തൂപികയുടെ ഏകദേശചിത്രം ഉണ്ടാക്കിയതുപോലെ വട്ടപ്പലകകളടുക്കി വൃത്തസ്തൂപികയുടെ ഏകദേശരൂപങ്ങള്‍ ചമയ്ക്കാം. തൊട്ടുപുറകിലെ പേജുകളില്‍ ഇപ്രകാരം നിര്‍മ്മിച്ച സമചതുരസ്തൂപികയുടെ വ്യാപ്തം കാണുന്ന പ്രവര്‍ത്തനം അനുബന്ധമായുണ്ട്. ഈ പ്രവര്‍ത്തനം വൃത്തസ്തൂപികയില്‍ ഒന്നു പ്രയോഗിച്ചുനോക്കാം.

വൃത്താകൃതിയില്‍ ധാരാളം കാഡ്ബോര്‍ഡ് കഷങ്ങള്‍ മുറിച്ചെടുക്കുന്നു. അടുത്തടുത്തുള്ള രണ്ട് തകിടുകളുടെ ആരവ്യത്യാസം പരമാവധി കുറവായിരിക്കണം. ഏറ്റവും ചെറിയ വട്ടം ഏറ്റവും മുകളില്‍ വരട്ടെ...
$‌\mathbf{h}$ ഉയരവും $‌\mathbf{r}$ആരവുമുള്ള ഒരു വൃത്തചതുരസ്തൂപിക കാണുക.ഇതിനെ മേല്‍പറഞ്ഞപോലെ പരമാവധി കനം കുറച്ച് തകിടുകളാക്കുന്നു. എല്ലാതകിടിനും ഒരേ കനമാണെങ്കില്‍ , ആകെ $\mathbf{n}$ തകിടുകളുണ്ടെങ്കില്‍ ഏറ്റവും മുകളിലെ തകിടിന്റെ ആരം $‌\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{n}}$ആണെന്ന് ഉറപ്പാണല്ലോ?
ഏറ്റവും മുകളിലെ തകിടിന്റെ ആരം $\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{n}}$ , അതിനു താഴെയുള്ള തകിടിന്റെ ആരം $\frac{\mathbf{2r}}{\mathbf{n}}$, ആതിനുതാഴെയുള്ള തകിടിന്റെ ആരം $\frac{\mathbf{3r}}{\mathbf{n}}$ എന്നിങ്ങനെ പോകുന്നു. എല്ലാതകിടിന്റെയും ഉയരം $\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{n}}$ആകുന്നു.
ഏറ്റവും മുകളിലുള്ള തകിടിന്റെ വ്യാപ്തം $‌\pi \times (\frac{r}{n})^2 \times \frac{h}{n}$
മുകളില്‍ നിന്നും രണ്ടാമത്തെ തകിടിന്റെ വ്യാപ്തം $‌\pi \times (\frac{2r}{n})^2 \times \frac{h}{n}$


മുകളില്‍ നിന്നും മൂന്നാമത്തെ തകിടിന്റെ വ്യാപ്തം $‌ \pi \times (\frac{3r}{n})^2 \times \frac{h}{n}$

അവസാന തകിടിന്റെ വ്യാപ്തം $‌ \pi \times (\frac{nr}{n})^2 \times \frac{h}{n}$
ഇനി ഈ വ്യാപ്തങ്ങളൊക്കെ കൂട്ടി നോക്കാം. അപ്പോള്‍ വൃത്തസ്തൂപികയുടെ വ്യാപ്തം കിട്ടുമല്ലോ.
വ്യാപ്തം = $\pi\times \frac{ r^2}{6}\times h (1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})$
വൃത്തത്തകിടുകളുടെ എണ്ണം പരമാവധി കൂട്ടുക. അതായത് $n$ വില അനന്തമാക്കുകയെന്നൊക്കെ പറയാം .ഇപ്പോള്‍ എന്തു സംഭവിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കാമല്ലോ. $\frac{1}{n}$ ​എന്നതും $\frac{2}{n}$എന്നതും പൂജ്യത്തോടടുക്കുന്നു. ആകൃതി വൃത്തസ്തൂപികയോടടുക്കുമല്ലോ. അപ്പോള്‍ വൃത്തത്തകിടുകളുടെ എണ്ണം അനന്തമാകുമ്പോഴാണ് ആകൃതി വൃത്തസ്തൂപികയാകുന്നത്. വ്യാപ്തം = $ \frac{1}{3} \pi r^2 h$ ആകുന്നു
ഒരു പാഠഭേദം
സമാന്തരശ്രേണിയില്‍ സൈഡ് ബോക്സില്‍ ആദ്യത്തെ n എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$എന്നുതെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇതിന്റെ ഉപയോഗം ഒരു വൃത്തസ്തൂപികയുടെയും സമചതുരസ്തൂപികയുടെയും വ്യാപ്തം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്താനാണ്. മറ്റൊരു ഉപയോഗം ഓര്‍ക്കുന്നു..
ചെസ്സ് ബോഡില്‍ എത്ര സമചതുരങ്ങളുണ്ടാകും?
ക്വിസ്സ് മല്‍സരങ്ങളിലെ ഒരു സാധാരണചോദ്യമാണിത് . തിരശ്ചീനമായി എട്ട് $1 \times 1$ സമചതുരങ്ങളുണ്ട് . എതുപോലെ ലംബമായും 8 എണ്ണം ഉ​ണ്ടാകും .ആകെ ഇത്തരം $ 8^2$
തിരശ്ചീനമായി ഏഴ് $2 \times 2 $ സമചതുരങ്ങളും ലംബമായി ഏഴ് $ 2 \times 2 $ സമചതുരങ്ങളും ഉണ്ടാകും .ആകെ $7^2$ ​എണ്ണം ഉണ്ടാകും
തിരശ്ചീനമായി ആറ് $3 \times 3 $ സമചതുരങ്ങളും ലംബമായി ആറ് $ 3 \times 3$ സമചതുരങ്ങളും ഉണ്ടാകും . എണ്ണം $6^2$
ഇതുപോലെ തുടര്‍ന്നാല്‍ ഒരു $ 8 \times 8$ സമചതുരം ഉണ്ട് . അതാണ് ബോഡ് എണ്ണം $1^2$
ആകെ സമചതുരങ്ങളുടെ എണ്ണം = $\frac{8(8+1)(2 \times 8 +1)}{6}$ = 204
ഘനരൂപങ്ങളില്‍ നിന്നുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കായി ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക